2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)

1、2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)題型解讀在近幾年中考中,我們常常遇見一類求線段最大值、最小值的問題.這類問題知識覆蓋面較廣,綜合性較強(qiáng).在復(fù)習(xí)中有必要把這些相似的、存在聯(lián)系的題目及解決方法進(jìn)行系統(tǒng)地概括歸納,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性,形成統(tǒng)一的模型,以加深對此類題目的理解.對于單線段最值問題, 往往利用“垂線段最短”或“點到圓的距離”來求解; 對于線段和的最值問題往往可以利用“將軍飲馬”模型或者“胡不歸” “阿氏 圓”模型來解決.題型解讀在近幾年中考中,我們常常遇見一類求線段最大值、最小值 例1 常規(guī)題型 點P是RtABC斜邊AB

2、上一點,PEAC于點E,PFBC于點F, BC=6,AC=8,則線段EF長的最小值為.|類型一|線段的最值問題圖Z6-1 例1 常規(guī)題型 點P是RtABC斜邊AB上一點,PE【分層分析】連結(jié)PC,根據(jù)矩形對角線相等,可得EF=CP,因為點C為定點,點P為線段AB上的一個動點,利用“垂線段最短”的性質(zhì)即可求得CP的最小值,從而得到EF的最小值.【分層分析】答案 4.8答案 4.8 例2 如圖Z6-2,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點(不與點B重合),將BCP沿CP所在的直線翻折,得到BCP,連結(jié)BA,則BA長度的最小值是.【分層分析】由翻折可知CB=CB始終成立,

3、即CB=3為定值.由勾股定理可求得AC=4,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得BA的最小值.圖Z6-2 例2 如圖Z6-2,在ABC中,ACB=90,AB答案 1答案 1點A,B是直線l外同側(cè)兩點,在直線l上求作一點P,使AP+BP最小.解決方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A.連結(jié)AB,交直線l于點P,則點P使AP+BP最小.|類型二|將軍飲馬類最值問題圖Z6-3點A,B是直線l外同側(cè)兩點,在直線l上求作一點P,使AP+B例3 2018永州節(jié)選 如圖Z6-4,拋物線的頂點A的坐標(biāo)為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點,與y軸交于點E(0,3).(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)已知點F(0,-3),在

4、拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EG+FG最小?如果存在,求出點G的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.圖Z6-4例3 2018永州節(jié)選 如圖Z6-4,拋物線的頂點A【分層分析】(1)已知拋物線的頂點坐標(biāo),故設(shè)出頂點式方程y=a(x-1)2+4,將E點坐標(biāo)代入求出a的值,即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式; 解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2+4,拋物線與y軸交于點E(0,3),a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.【分層分析】解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1例3 2018永州節(jié)選 如圖Z6-4,拋物線

5、的頂點A的坐標(biāo)為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點,與y軸交于點E(0,3).(2)已知點F(0,-3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EG+FG最小?如果存在,求出點G的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.圖Z6-4例3 2018永州節(jié)選 如圖Z6-4,拋物線的頂點A【分層分析】(2)由于點E,F位于拋物線的對稱軸的同側(cè),因此,只需要作出其中一個點關(guān)于對稱軸的對稱點,再連結(jié)這個對稱點與另外一個點,所得直線與對稱軸的交點,即為所求的點G,使得EG+FG最小.【分層分析】2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)胡不歸模型解析:如圖Z6-5,已知A是直線BC外一點,A,B為定

6、點,P在BC上運動,求AP+kPB (0k1)的最小值.|類型三|PA+kPB型最值問題(胡不歸和阿氏圓問題)圖Z6-3胡不歸模型解析:|類型三|PA+kPB型最值問題(胡不歸和解決方法:在B處構(gòu)造直線l,使l與BC的夾角為,且滿足sin=k,過P向l作垂線,垂足為Q,則PQ=kPB,過A向直線l作垂線,分別交BC,l于Pmin,Qmin兩點,于是AP+kPB= AP+PQAQmin.圖Z6-3解決方法:在B處構(gòu)造直線l,使l與BC的夾角為,且滿足si圖Z6-6圖Z6-62020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)答案 B答案 B“阿氏圓”模型解析:如圖Z6-7所示,O的半徑為r,點

7、A,B都在O外,P為O上的動點,已知r=kOB.連結(jié)PA,PB,求“PA+kPB”的最小值.圖Z6-7“阿氏圓”模型解析:圖Z6-7解決方法:找另一個定點C,使得P在圓周上運動時,總有PC=kPB,這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為常見的求線段PA+PC和的最小值問題.如圖,在線段OB上截取OC,使OC=kr,則可說明BPO與PCO相似,得kPB=PC,則本題求“PA+kPB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值,當(dāng)A,P,C三點共線,且P在線段AC上時最小.圖Z6-7解決方法:找另一個定點C,使得P在圓周上運動時,總有PC=k圖Z6-8圖Z6-82020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)答

8、案 A答案 A| 題型精練 |1.如圖Z6-9,BAC=30,M為AC上一點,AM=4,點P是AB上一動點,PQAC,垂足為點Q,則PM+PQ的最小值為.圖Z6-9| 題型精練 |1.如圖Z6-9,BAC=30,M為AC2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)2.如圖Z6-10,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,點P,E分別在AC,AD上,則PE+PD的最小值是.圖Z6-102.如圖Z6-10,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=32020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)圖Z6-11圖Z6-112020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)4.如圖Z

9、6-12,點A,B在O上,OA=OB=6,且OAOB,點C是OA的中點,點D在OB上,且OD=4,動點P在O上,則2PC+PD的最小值為.圖Z6-124.如圖Z6-12,點A,B在O上,OA=OB=6,且OA2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：幾何最值問題(含解析)圖Z6-13圖Z6-13答案 5答案 5圖Z6-14圖Z6-14答案 D答案 D圖Z6-15圖Z6-15答案 B答案 B8.如圖Z6-16,點P是AOB內(nèi)任意一點,OP=5 cm,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,若PMN周長的最小值是5 cm,則AOB的度數(shù)是()A.25B.30C.35D.40圖Z6-168.如圖Z6-16

10、,點P是AOB內(nèi)任意一點,OP=5 cm答案 B答案 B9.如圖Z6-17,四邊形ABCD中,C=50,B=D=90,E,F分別是BC,DC上的點,當(dāng)AEF的周長最小時,EAF的度數(shù)為()A.50B.60C.70D.80圖Z6-179.如圖Z6-17,四邊形ABCD中,C=50,B=答案 D解析分別作A關(guān)于BC和CD的對稱點A,A,連結(jié)AA,交BC于E,交CD于F,則AA長即為AEF周長的最小值.作DA延長線AH,易知DAB=130,HAA=50.又EAA=EAA,FAD=A, 且EAA+EAA=AEF,FAD+A=AFE,所以AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A=2(AAE+A)=2HAA=100,所以EAF=180-100=80,故選D.答案 D圖Z6-18圖Z6-18圖Z6-18圖Z6-182020年中