隨機(jī)過程第三章復(fù)習(xí)題及其解答泊松過程

1、 tt tt )第 3 測(cè)驗(yàn)題解答一、填空題1. X t t 0 參數(shù)為 泊松過程對(duì)任意 t , ，且s ，則均值函數(shù)為_ _；相關(guān)函數(shù)為_ _。答案：均值函數(shù)為： (t ) E X (t ) E (t (0) X相關(guān)函數(shù)為： ( t ) s ) (t ) ( s (t ) ( X ( ) XE X ( s) X (t ) ( ) X ( )2 X ( ) E X (t ) ( s) D ( s) ( s) ) 2 2. (t ), t 是具有參 泊松過程T , 是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列則隨機(jī)變 ( 1,2,.)獨(dú)立同分布服從_答案：均值 1/ 指數(shù)分布3. W , n 0 是與泊松過程 (t t

2、 0 對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則 W 服從 n_，概率密度為_。答案：參數(shù)為 n 的分布f( t ) ( ( )!t t 4.泊松過程的定義：稱計(jì)數(shù)過程 滿足下列條件： (2) 增量過程； ： (t ) (t 0 泊松過程，若它 PX (t ) X (t )5 . X t t 0 參數(shù)為 的泊松過程對(duì)任意 t , s 0,，且s ，方差函數(shù)為_；協(xié)方差函數(shù)為_。方差函數(shù)為：2) X t ) tX ( , ) ( t ) ( m (t ) 協(xié)方差函數(shù)為：X X 6. X t t 0 參數(shù)為 泊松過程對(duì)任意 t , ，且s ，特征函數(shù)為_。特征函數(shù)為： (u ) E iuX ( t ) exp (

3、 e iu 1)7.計(jì)數(shù)過程 （t）在t,t+s內(nèi)s0事 A 發(fā)生的次數(shù) N（t+s）-N（t）僅與時(shí)間差 s 有關(guān)，而與 t 無關(guān)，則計(jì)數(shù)過程 （t）是 答案：平穩(wěn)增量二、簡(jiǎn)答題過程。1.設(shè)在事件 A 已發(fā)生 次 0 t 于 解：利用條件概率及泊松分布得：0 P ( ) | X t .PX ( | t ) ( s) , (t ) PX (t ) PX ( ) (t ) ( ) PX (t ) e k! ) e ( )! e n!s ( ) (1 ) t ts的二項(xiàng)分布。這是一個(gè)參數(shù)為 n 和t2. 12 泊松過程 求 E t sin t sin m E X ( ) (t ) tds 1 D

4、X (t ) ( ) X1 (t 2 )設(shè)到達(dá)某商店顧客組成強(qiáng)度為 的泊松過程，每個(gè)顧客購買商店的概率為 ，且與其它顧客是否購買商品無關(guān) , t 是購買商品的顧客數(shù) Y , t 0是強(qiáng)度為的泊松過程。證明: 商店的顧客數(shù) 示第 i 個(gè)顧客購物與否，即：ii個(gè)顧客購i0,第i則由題意 ，2，獨(dú)立同分布，且 (t ) 獨(dú)立。i p 0 ii因此，錯(cuò)誤找到引源。Y( X(t)i是復(fù)合泊松過程，iEY t ) i (t )的強(qiáng) EY (t )/ t 得證。4.設(shè)電話總機(jī)在（，t內(nèi)接到電話呼叫總數(shù) （t）是具有強(qiáng)度（每分鐘） 的泊松過程，求（1）兩分鐘內(nèi)接到 3 次呼叫的概率；（2）“第二分鐘內(nèi)收到第三

5、次呼叫”的概率。 20 20 某刊物購部的顧客數(shù)是平均速率為 6 人天 泊松過程訂 1 年 年或 的概率分別為 1/2,1/3 和 1/6，且相互獨(dú)立。設(shè)定一年時(shí)，可 元手續(xù)費(fèi)，以 的總手續(xù)費(fèi)，求均值 DX(t)和方差 DX(t).X 記在上得到解：因?yàn)轭櫩蛿?shù)是=5的泊松過程，而E 11 1 2 ，E 11 1 20 10 2 ，以 E t t 2 6 6 D 20t6某商店日 時(shí)始營業(yè)，從 時(shí) 11 時(shí)均顧客達(dá)率線性增加，在 時(shí)顧客平均達(dá)率為 人/時(shí)，11 時(shí)達(dá)率達(dá)最高峰 人/。從 11 時(shí) ，平均顧客到達(dá)率維持不變，為 /時(shí)，從 13 時(shí) 時(shí)，顧客到達(dá)率線性下降，到 17 時(shí)客到達(dá)率為 12 /。假定在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問在 間無顧客 到達(dá)商店的概率是多少？在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少？解： 設(shè)X 有參 和 的互立泊過， 1 2 1 2證（1） 1 2是有數(shù) 1 2的松程n n n n （2Z 1 證（1）然