河南省洛陽市2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題(含答案)

河南省洛陽市2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫答題卡上。2.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知某次降雨過程中,洛陽市區(qū)降雨量(單位:與時間(單位:的函數(shù)關(guān)系可近似表示為,則在時的瞬時降雨強度(某一時刻降雨量的瞬時變化率)為A. B. C. D.2.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)共有A.48個 B.24個 C.18個 D.12個3.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.4.A. B. C. D.5.已知函數(shù),則A.10 B. C.12 D.14.6.洛陽市牡丹文化節(jié)期間,5名志愿者準備到3個博物館參加志愿服務,若每個博物館至少接受1名志愿者,則不同的分配方案有A.90種 B.150種 C.240種 D.300種7.已知奇函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,若,則A. B.0 C. D.18.已知,則A. B. C. D.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求，全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。9.對于的展開式,下列說法正確的是A.展開式共有6項 B.展開式中的常數(shù)項是20C.展開式中各項系數(shù)之和為0 D.展開式中的二項式系數(shù)之和為6410.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是A.是函數(shù)的極大值點 B.的單調(diào)增區(qū)間是C.當時,直線與函數(shù)的圖象有3個交點D.若函數(shù)在區(qū)間上,對為一個三角形的三邊長,則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]上是“三角形函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍為11.5名同學站成一橫排照畢業(yè)照,下列說法正確的是A.甲不排在最中間,則不同的排法有72種 B.甲乙不相鄰,則不同的排法有72種C.甲乙必須相鄰,且甲在乙的右邊,則不同的排法有72種D.甲乙立三人中有且僅有兩人相鄰,則不同的排法有72種12.已知,則使恒成立的值可以是A. B.2 C.4 D.5三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,的系數(shù)為_________________.14.曲線在點處的切線方程是_________________.15.已知正四棱錐,從底面四個頂點A,B,C,D和四條側(cè)棱的中點共8個點中任選4個作為三棱錐的頂點,可得三棱錐_________________個.(用數(shù)字作答)16.已知函數(shù),直線,若滿足點在直線上方的正整數(shù)恰有一個,則實數(shù)的取值范圍是_________________.四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(10分)(1)計算:;(2).18.(12分)已知斜率為1的直線與曲線相切.(1)求直線的方程;(2)若直線分別交曲線和于M,N兩點,求的面積的最大值.(其中0為坐標原點)19.(12分)已知的展開式中第3項與第9項的二項式系數(shù)相等.(1)求展開式的通項公式和中間一項;(2)設,求.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點的個數(shù).21.(12分)已知.(1)當時,求函數(shù)的最值;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.22.(12分)給定函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并求出函數(shù)的極值;(2)證明:當時,.洛陽市2023——2024學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷參考答案一、單項選擇題1-4ACBD 5-8BBCA二、多項選擇題9.CD 10.ABD 11.BD 12.ABC三、填空題13.112 14. 15.58 16.四、解答題17.解:(1)……..3分.…..5分…..8分.….10分18.解:(1)設切點為,因為,所以切線的斜率,解得,…..2分此時,即切點為,………………..4分所以切線的方程為,即.………………..6分(2)因為分別交曲線和于點M,N,所以.因為,則,所以.………………..7分此時的面積,,令,得,………………..9分當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,………………..11分所以當時,有最大值且.………………..12分19.解:(1)因為,所以,解得.………………..2分的展開式的通項………………..3分,………………..5分令,展開式的中間一項為.………………..7分(2)因為,所以.………………..9分的展開式的通項,令,……………….10分令……………….11分則.…………….12分20.解:(1)當時,…………….1分令,得或；令,得或;令,得或;………….3分則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.………………4分(2)由,得.……………5分設函數(shù).討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)等價于研究函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)的交點的個數(shù).由知,…………6分當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.當時,在區(qū)間內(nèi)取最小值.…………………8分又,且當時,,…………………9分綜上,當時,函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)無交點,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點;當或時,函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)有一個交點,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點;………………12分21.解:(1)由,得.……………1分令,解得.當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增.當時,有極小值,即最小值.……………3分又綜上,當時,有最大值,最大值為0,當時,有最小值,最小值為-1.………………………5分(2)當時,.即當時,.令函數(shù).則當時,.故.即.……………6分下證時,恒成立.設，則,①當時,設,,由知,即在上單調(diào)遞增,且,故在上單調(diào)遞減.即.……………8分②當時,由知.即在上單調(diào)遞增,即.…………10分此時由得.……………11分綜上,實數(shù)的取值范圍是.…………12分22.解:(1)函數(shù)的定義域為..………………………1分令,解得.當變化時,的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增……3分在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時,有極小值.……………………4分(2)要證明當時,,即證明當時,.令函數(shù).則.………………5分當時,.設函數(shù).則,故在上單調(diào)遞增.又所