二章離散型隨機(jī)變量課件

1、 為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, 有必要引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.例 電腦壽命可用一個(gè)連續(xù)變量 T 來(lái)描述.例 檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 也可以用一個(gè)離散 變量來(lái)描述第二章 離散型隨機(jī)變量第一節(jié) 隨機(jī)變量設(shè) 是試驗(yàn)E的樣本空間, 若則稱(chēng) X ( ) 為 上的 隨機(jī)變量r.v.一般用大寫(xiě)字母 X, Y , Z , 或小寫(xiě)希臘字母 , , 表示.定義按一定法則簡(jiǎn)記 r.v. X .隨機(jī)變量 是上的映射, 此映射具有如下特點(diǎn) 定義域 事件域 隨機(jī)性 r.v. X 的可能取值不止一個(gè), 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值，但不 能預(yù)知取哪個(gè)值 概率特性 X 以一

2、定的概率取某個(gè)值 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件, 例如 表示 “某天9:00 10:00 接到電話(huà)次數(shù)超過(guò)100次” 這一事件為事件A 的示性變量 r.v.的函數(shù)一般也是r.v. 可根據(jù)隨機(jī)事件定義 r.v. 設(shè) A 為隨機(jī)事件，則稱(chēng)離散型非離散型r.v. 分類(lèi) 其中一種重要的類(lèi)型為 連續(xù)性 r.v.引入 r.v.重要意義 任何隨機(jī)現(xiàn)象可 被 r.v.描述 借助微積分方法 將討論進(jìn)行到底2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè), 則稱(chēng) X 為離散型隨機(jī)變量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律X P 或離散隨機(jī)變量及分布律即

3、F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度 pk .離散隨機(jī)變量及分布函數(shù)其中 . 解 例1 設(shè)汽車(chē)在開(kāi)往甲地途中需經(jīng) 過(guò) 4 盞信號(hào)燈, 每盞信號(hào)燈獨(dú)立地 以概率 p 允許汽車(chē)通過(guò). 出發(fā)地甲地首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈盞數(shù), 求 X 的概率分布與 p = 0.4 時(shí)的分布函數(shù).令 X 表示01234xxkpk 0 1 2 3 40.60.240.0960.03840.0256代入 01234xF( x)oo1ooo用分布律或分布函數(shù)來(lái)計(jì)算事件的概率例2 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計(jì) 算解或此式應(yīng)理解為極限一、 0

4、1 分布是否超標(biāo)等等. 凡試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果, 常用0 1分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p M，n N-M， s=minM，N，則稱(chēng) 服從超幾何分布。定理 在超幾何分布中，設(shè)n固定不變，M依賴(lài)于N的變化，且極限 存在 ，則有2.5 超幾何分布定義 滿(mǎn)足一下條件的稱(chēng)為負(fù)二項(xiàng)分布 （1）. 實(shí)驗(yàn)包含一系列獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)； （2）. 每個(gè)實(shí)驗(yàn)都有成功、失敗兩種結(jié)果； （3）. 成功的概率是恒定的； （4）. 實(shí)驗(yàn)持續(xù)到r次成功，r為正整數(shù).當(dāng)r是整數(shù)時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布又稱(chēng)帕斯卡分布，其概率函數(shù)為它表示，在一連串伯努利試驗(yàn)中，第r次成功正好出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)，前k-1次試驗(yàn)中有r-1次成功. 取r = 1，負(fù)二項(xiàng)分布等于幾何分布。其概率函數(shù)為 P39例2.6.12.6 負(fù)二項(xiàng)分布（帕斯卡分布）定義 若已知 ，且函數(shù) 的一切可能值兩