指對同構（教師版）

1、 同構基礎：切線不等式常見的指數(shù)放縮：常見的對數(shù)放縮：常見三角函數(shù)的放縮：學習指對數(shù)的運算性質(zhì)時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：（1） 且時，有（2） 當 且時，有再結合指數(shù)運算和對數(shù)運算的法則，可以得到下述結論（其中）（3）（4）（5）（6）再結合常用的切線不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的結論，這里僅以第（3）條為例進行引申：（7）；（8）；注：所有公式先證后用，否則扣分。一指數(shù)切線的放縮的推廣1.下面我對其原式“加減乘除”并進行推廣： 如果我把原式替換成了則又變成了： 切點： 如果我把原式替換成了用則又變成了：，切點： 如果我把原式替換成了則又變成了： 切點：，又可表示為：） 如果我

2、把中的替換成了則又變成了： 切點：對于常見的變換：2.下面我對其原式“丟 換”并進行推廣： 如果我把原式1丟掉，則變成了： 如果我把中替換成，則變成了： 如果我把原式替換成，則變成了： 如果我把原式替換成，則變成了：3.常見函數(shù)的切點構造 對于原式我們還可以有：；(泰勒展開）；二對數(shù)切線的放縮的推廣1.下面我對其原式“加減乘除”并進行推廣： 如果我把原式替換成了則又變成了： ?。?則： ?。簞t： 如果我把原式替換成了則又變成了： 2.對均不等式的兩種證明與幾個重要的不等式鏈兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術平均、幾何平均的大小關系：（此式記為對數(shù)平均不等式） 取等條件：當且僅當時，等號成

3、立.只證：當時，.不失一般性，可設. 證明如下：先證：不等式構造函數(shù)，則.因為時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；（II）再證：不等式構造函數(shù)，則.因為時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當且僅當時，等號成立.3定義：設，則，其中為對數(shù)平均數(shù)。4重要不等式鏈的證明，；證明：構造函數(shù)，則，而，故當時，；當時構造函數(shù)，則，而，故當時，；當時，（證明對數(shù)平均不等式的常用模型）把上式中的換成，得：； 所以，整理得： 同 構 基 礎：常見的同構函數(shù)圖像函數(shù)表達式圖像函數(shù)表達式圖像函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點過定點函數(shù)極值點

4、函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點同構基礎：同構式的基本概念與導數(shù)壓軸題1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構式的應用：（1）在方程中的應用：如果方程和呈現(xiàn)同構特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現(xiàn)同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式。指對各一邊，參數(shù)是關鍵；常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關鍵；信手拈來湊同構，湊常數(shù)、參數(shù)；復合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍.（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則

5、該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數(shù)列便于求解1. 若，則（ ）A. B. C. D. 答案：C解： A選項：，設 ，設，則有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，使得，由單調(diào)性可判斷出： ，所以在不單調(diào)，不等式不會恒成立B選項：，設可知單調(diào)遞增。所以應該，B錯誤C選項：，構造函數(shù)，則在恒成立。所以在單調(diào)遞減，所以成立D選項：，同樣構造，由C選項分析可知D錯誤. 2.已知函數(shù)（為常數(shù)）若，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：由題意得：；即：因為，當且僅當時等號成立，構造容易得：，所以只需要滿足。3.已

6、知函數(shù)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析：由題意得：，即，又因為，所以：，又在單增，且，所以不等式恒成立滿足即可。4.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：由題意得：，構造，當且僅當時等號成立，即，即5.已知函數(shù)當時，不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析：當取等，所以：.6.已知函數(shù)，若在上成立，求的取值范圍解析：，當取等，；7.已知函數(shù)當時，求的最小值解析：，令.8.設，.當時，設恒成立，求的取值范圍解析：,令9.已知函數(shù)若在，恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析：10.函數(shù)，當時，不等式恒成立，求的取值范圍（）解析：，構造，易知單增，11.已知，函

7、數(shù)，若，證明解析：，由，當且僅當時取等，得，證畢。12.若對任意的，恒有，則實數(shù)的最小值為（ ）解析：構造，容易知單增，13.已知時函數(shù)的零點，則（ ）解析：14.已知是方程的一個根，則的值是（ ）A.3 B.4 C.5 D.6解析：令15.已知函數(shù),當時，證明：.解析：先證明，且設，則因為當時，；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當時，取得最小值所以，即所以（當且僅當時取等號）再證明由，得（當且僅當時取等號）因為，且與不同時取等號，所以綜上得證。16.已知函數(shù).當時，證明：.設，則取得最小值所以，即（當且僅當時取等號）由，得（當且僅當時取等號）所以（當且僅當時取等號）再證明因為，且與不

8、同時取等號，所以綜上可知，當時，17.若當時，若恒成立，則的取值范圍（ ）解析：構造：單增，時，恒成立 時，18.已知函數(shù)在有三個不同的解，求的范圍？解析： 當時，成立當時，又因為在單增，19.設實數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則的取值范圍？解析：令，所以20.若不等式對任意的都成立，則的取值范圍（ ）解析：，21.已知，求最大值解析：，當時取最大值為22.已知函數(shù)最小值為，最小值為則（ A ）A. B. C. D.不確定解析：；，當?shù)忍柍闪ⅰ?3.已知不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）解析：不妨令,所以當當時，與無法比較，不滿足恒成立。當24.已知函數(shù)，當時，恒成立，則實數(shù)的范圍（ ）解析：構造：，知在25.不等式恒成立，則得取值范圍為（ ）答案：，解析：取等。 26.已知函數(shù)，若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍（ ）解析：要證：只需要證：同構：取等，27.（焦作市2021屆高三一模理12）已知對任意的都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）解析：構造，即，由于為任意實數(shù)，,滿足題意 綜上所述：28.已知函數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）解析：由得：29.已知函數(shù)，若，若，則的最小值（ ）解析：，構造，單增，30.已知函數(shù)，