問題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一

1、問題變式：構(gòu)造與功能的統(tǒng)一摘要：數(shù)學問題變式可分為程度變式和垂直變式，問題變式本身展示了構(gòu)造與功能的統(tǒng)一。關鍵詞：問題變式；構(gòu)造；功能；認知本文以數(shù)學問題變式為例，闡述問題變式中構(gòu)造與功能的統(tǒng)一。近幾十年來，數(shù)學學習中，問題受到了很好的注意。但很多研究更多地關注單個問題，數(shù)學問題與數(shù)學問題之間的關系，并未加以應有的關注。事實上，學生往往不是解一道題，而是解幾道題，學生可能從題題之間不變的關系中抽象出數(shù)學意義，進而把問題分類，使題目類型化。變式教學是數(shù)學老師非常熟悉的教學思想、教學理念，這方面有很多理論，可理論研究還很弱。為什么該教學方法有用？變式教學的合理之處是什么？本文嘗試以此為“透鏡，通過

2、題題之間的構(gòu)造，透視數(shù)學問題變式的功能。最近，以artn為首的歐洲學派的變式學習理論研究，逐步在香港教育界扎根并開花結(jié)果。artn變式學習理論認為經(jīng)歷事物的方式就是學習artnBth，1997。把“變的局部和“不變的局部加以區(qū)別，人們所經(jīng)歷的過程，稱為變式學習。一、數(shù)學教學中的問題變式變式，可以說是中國內(nèi)地“外鄉(xiāng)化的實用教學經(jīng)歷。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學時的一個小故事談起。一位小學老師出了一道題：的是多少？當時大家都不會做。于是這位老師就說：“以后解題，凡看見的多少，用除法?？匆娛嵌嗌?，用乘法。所以這道題用乘法。于是我會做這類題了，卻根本不懂什么意思。后來，這位數(shù)學老師繼續(xù)上課，他

3、用一串啟發(fā)性的由淺入深的題組下表，令我豁然開朗。這就是問題變式。題目：的倍是多少？我們一般把將源問題加以變化的這些新問題，稱為變式題。將源問題加以變化，稱為問題變式。二、數(shù)學問題變式的構(gòu)造一問題的兩重特征每個數(shù)學問題可分解為外表形式特征和深層數(shù)學構(gòu)造特征。外表形式特征是指問題呈現(xiàn)的表述方式的淺層特征；數(shù)學構(gòu)造特征指涉及問題本質(zhì)的概念、關系與原那么等的深層特征。例如，25個學生一起去劃船。大船每條可以坐6人，租金10元；小船每條只可以坐4人，租金8元。應該怎樣租船才付最少的租金呢？要租多少條大船？多少條小船？租金又是多少呢？這個問題的外表特征是問題情境的陳述：一系列數(shù)字。這些數(shù)字，經(jīng)過調(diào)換，可以

4、變化，但是對問題的本質(zhì)影響不大。至于這一題目的數(shù)學構(gòu)造特征那么是：題目中涉及人數(shù)、大小船數(shù)、空位數(shù)和錢數(shù)共四個變量，學生需要綜合考慮四個變量之間的變化依賴關系。問題的外表特征和數(shù)學構(gòu)造特征彼此相異，又互相補充。數(shù)學構(gòu)造特征必須通過外表形式特征來表達，外表形式特征可以反映數(shù)學構(gòu)造特征。但是，數(shù)學構(gòu)造特征反映問題“質(zhì)的方面，處于核心地位。二問題變式的兩類構(gòu)造：程度變式和垂直變式這里，我們提出一種新的分類。新問題相對源問題來說，學生能區(qū)分問題外表形式特征變化背后的構(gòu)造特征變化，不帶來認知負荷的變化，為程度變式；學生不能區(qū)分問題外表形式特征變化背后的構(gòu)造特征變化，帶來認知負荷的變化，為垂直變式。這里我

5、們把“問題解決過程中，記憶容量和信息加工的負荷，統(tǒng)稱為認知負荷gnitinlad。這樣，可按問題構(gòu)造的變化分成不同的層次垂直變式，在同一構(gòu)造層次中，可以分成問題外表形式特征不同的變化程度變式。一般來說，題目的認知負荷要在學生可理解的范圍即最近開展區(qū)內(nèi)。例如，源問題是：2的1倍是多少？變式題1是：2的2倍是多少？相對源問題，變式題1的程度變式局部是：2的幾倍是多少？1倍變?yōu)?倍是變化的新局部，假設新局部不帶來認知負荷的變化，為程度變式，否那么是垂直變式。還可以有變式題2：的2倍是多少？相對變式題1，變式題2的程度變式局部是：幾的2倍是多少？2變?yōu)槭亲兓男戮植?，增加了分?shù)概念或小數(shù)的概念以及約分

6、的技能的認知負荷。假設學生能區(qū)分問題外表形式特征變化背后的構(gòu)造特征變化，不帶來認知負荷的變化，為程度變式，否那么是垂直變式。這種區(qū)分，以學生的感知為標準。教學的關鍵是化“難為“易，化“垂直變式為學生容易理解的“程度變式，化“大變?yōu)閷W生容易區(qū)分的“小變，化“質(zhì)變?yōu)椤傲孔儯@是數(shù)學教學的重要技能。值得一提的是，程度變式和垂直變式的劃分是相對認知程度而言的。例如，上述問題變式對小學生而言，可能有認知負荷，那么是垂直變式，而對中學生而言，可能沒有認知負荷，是程度變式。兩類構(gòu)造的區(qū)分主要以有無認知負荷為標準。程度變式是問題外表重復局部，垂直變式是問題外表變化局部，增加了認知負荷，二者圍繞數(shù)學構(gòu)造“中心軸

7、開展，三者程度局部，垂直局部，數(shù)學構(gòu)造“中心軸形成了螺旋式開展問題空間。變式教學的精華就是把認知負荷大的問題，分解為認知負荷小的問題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進，分解程度變式。這即是中國數(shù)學教學的傳統(tǒng)策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點的做法。問題變式的優(yōu)勢在于“漸。變式題不同于記憶型題目和高層思維型開放題，而是在記憶型題目和高層思維型開放題兩個“極端之間保持“平衡，漸漸地增加認知負荷，更注意題與題之間的變化，由程度變式到垂直變式，逐步區(qū)分外表形式特征并提取數(shù)學構(gòu)造的元素，逐步區(qū)分題目中的數(shù)學構(gòu)造的元素，發(fā)現(xiàn)“變中的不變，同時培養(yǎng)“以不變應萬變的才能，從量變到質(zhì)變，漸漸領悟，把握數(shù)學教學

8、的規(guī)律如下頁圖。圖1問題變式構(gòu)造示意圖三問題變式的意義外表形式有差異的程度變式仍然有重要的價值。artn變式學習理論認為，經(jīng)歷不斷重復才能形成意義。重復是手段，擴展重復形成意識。第一次經(jīng)歷與第二次經(jīng)歷是互相彌補的。第一次關注理論描繪效度。當?shù)诙谓?jīng)歷時，第一次所經(jīng)歷的方面被放大。第二次的經(jīng)歷“豐富并“加深第一次經(jīng)歷的各個方面。經(jīng)歷者與經(jīng)歷的關系只有第二次才能看到。第一次是第二次的根底，每次焦點不同，強調(diào)的方面也不同。學習經(jīng)歷的兩個維度是直接維度內(nèi)容和間接維度方法。學習是經(jīng)歷的“回歸方式，重復是手段，重復的意義在于保持某些方面變而其他方面不變，強調(diào)內(nèi)容不變的某些方面，使其他在邊緣的東西，漸漸淡化

9、，突出主要因素，漸漸形成構(gòu)造。程度變式題雖然只是解題技能的簡單重復，但量變是質(zhì)變的根底，學生通過外表形式特征的重復，才能漸漸形成問題的圖式，進而成為問題解決的基矗當然，沒有垂直變式題，只有程度變式是不行的。數(shù)學學習停留于淺層的學習是經(jīng)歷的淺層“回歸方式，不會實現(xiàn)深層意義的“回歸和深層構(gòu)造的“回歸。按照Sfard1991數(shù)學概念的二重性分析，沒有垂直變式題，只有程度變式，數(shù)學學習不能到達內(nèi)化和濃縮化階段，僅停留于過程性理解，難以生成概念性理解，難以生成抽象化和高層數(shù)學理解。三、數(shù)學問題變式的功能：“概念與過程數(shù)學學習往往要經(jīng)歷“過程達成，然后轉(zhuǎn)化為“概念對象的認知過程Sfard,1991；鮑建生

10、，等，2022。從這個意義上，問題變式也不可防止地扮演過程的操作性和概念的構(gòu)造性兩重角色，鮑建生等2022把變式分為“概念性變式與過程性變式正基于這種考慮。教學上，問題變式不要無的放矢，為變而變，變式題設計總是圍繞數(shù)學概念的元素和關系，分別設計區(qū)別該元素的題組，圍繞“期望達成的概念和程序而設計“問題變式題組。變式問題，包含雙重目的：概念與過程，即建構(gòu)概念和技能與開展思維過程，也就是兼顧“內(nèi)容和過程，兼顧數(shù)學知識根底到高層次思維才能。例如，我們通過這樣的題目：“2個蘋果，2個人分，每個人分多少個“4個蘋果，2個人分，每個人分多少個“6個蘋果，2個人分，每個人分多少個，學習除法概念和除法運算程序。

11、而通過題組：“1個蘋果，2個人分，每個人分多少個“1個蘋果，3個人分，每個人分多少個“2個蘋果，3個人分，每個人分多少個，同時學習分數(shù)概念和除法運算程序。而兩者結(jié)合，題組：“個蘋果，2個人分，每個人分多少個“個蘋果，2個人分，每個人分多少個“個蘋果，2個人分，每個人分多少個，那么圍繞分數(shù)除法的概念和分數(shù)除法的運算程序，設計新的變式題組。而對于分數(shù)除法的概念和運算程序建立，是以“除法概念和“分數(shù)概念及“除法運算和“分數(shù)運算為根底的。事實上，這組題目顯示了開展概念和培養(yǎng)過程的相輔相成，具有概念與過程雙重性。因此，問題變式的開展，是為了概念開展的螺旋式改變而設計，通過“構(gòu)造問題產(chǎn)生認知“功能，達成教學“目的。開展數(shù)學認知構(gòu)造的概念和過程的關系如下列圖所示。圖2問題變式的雙重目的：概念與過程關系圖示四、問題變式：構(gòu)造與功能