2022屆黑龍江省哈爾濱市122中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A或B或CD2若對于任意的實(shí)數(shù)，有，則的值為（ ）ABCD3已知集合，則( )ABCD4定義在上的函數(shù)滿足,則不等式的

2、解集為( )ABCD5已知,則等于( )ABCD6直線的一個方向向量是（ ）ABCD7的展開式中各項系數(shù)之和為（ ）AB16C1D08一個盒子里有7個紅球，3個白球，從盒子里先取一個小球，然后不放回的再從盒子里取出一個小球，若已知第1個是紅球的前提下，則第2個是白球的概率是（ ）ABCD9在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線設(shè)圓的半徑為1，圓心在直線上，若圓上存在點(diǎn)，使得，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ）ABCD10同學(xué)聚會上，某同學(xué)從愛你一萬年，十年，父親，單身情歌四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則愛你一萬年未選取的概率為（ ）A B C D11不等式的解集是（ ）ABCD12在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓與直線交

3、于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，mR），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）則_14若的二項展開式中的第3項的二項式系數(shù)為15，則的展開式中含項的系數(shù)為_15設(shè)為虛數(shù)單位，若，則_16在的二項展開式中，項的系數(shù)為_（結(jié)果用數(shù)值表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）山東省高考改革試點(diǎn)方案規(guī)定：從年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；年開始，高考總成績由語數(shù)外門統(tǒng)考科目成績和物理、化學(xué)等六門選考科目成績構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃

4、分為共個等級參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.某校高一年級共人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進(jìn)行測試，其中化學(xué)考試原始成績基本服從正態(tài)分布（）求化學(xué)原始分在區(qū)間的人數(shù)；（）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取人，求這人中至少有人成績在的概率；（III）若小明同學(xué)選擇物理、化學(xué)和地理為選考科目，其中物理、化學(xué)成績獲得等的概率都是，地理成績獲得等的概率是，且三個科目考試的成績相互獨(dú)立.記表示小明選考的三個科目中成績獲得等的科目數(shù)，求的分布列. （附：

5、若隨機(jī)變量，則，.）18（12分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費(fèi)用(萬元)(即維修費(fèi)用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計資料：(1)求關(guān)于的線性回歸方程； (2)估計使用年限為10年時所支出的年平均維修費(fèi)用是多少?參考公式：19（12分）已知函數(shù),函數(shù)當(dāng)時,求函數(shù)的表達(dá)式;若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;在的條件下,求直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積.20（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；(2)設(shè)Q是線段BP上的動點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時

6、，求二面角B-CQ-D的余弦值21（12分）如圖，四邊形為菱形，平面，為的中點(diǎn). （） 求證：平面（） 求證：（）若為線段上的點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積為時，求的值.22（10分）已知，且是第三象限角，求，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：設(shè)的坐標(biāo)為，則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得的方程，求得的值從而可得結(jié)果.詳解：設(shè)的坐標(biāo)為，則，的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，由切線平行于直線，可得，解得，即有或，故選B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處

7、的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題. 2、B【解析】試題分析：因為，所以，故選擇B.考點(diǎn)：二項式定理.3、C【解析】先求出集合M，由此能求出MN【詳解】則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題4、B【解析】由已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+lnx，求導(dǎo)，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可的解集【詳解】令g(x)=f(x)+lnx (x0) ，則g(x)= ，又函數(shù)滿足，g(x)= ，g(x)在單調(diào)遞增.，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，則不等式成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)

8、在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)綜合，一般采用構(gòu)造函數(shù)法，求導(dǎo)后利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)特殊值解出不等式所對應(yīng)的區(qū)間即可，屬于中等題.5、C【解析】分析：根據(jù)條件概率的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意，根據(jù)條件概率的計算公式，則，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了條件概率的計算公式的應(yīng)用，其中熟記條件概率的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.6、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得直線的方向向量.【詳解】直線的斜率為，故其方向向量為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線的方向向量的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】令，由此求得二項式的展開式中各項系數(shù)之和.【詳解】令，得各項系數(shù)之和為故選

9、：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】分析：設(shè)已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件，先求出的概率，然后利用條件概率公式進(jìn)行計算即可詳解：設(shè)已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件則由題意知，所以已知第一次取出的是白球，則第二次也取到白球的概率為 故選：B 點(diǎn)睛：本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關(guān)鍵9、D【解析】設(shè)，由，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公

10、式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，知：，化簡得：，點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，又點(diǎn)M在圓C上，圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，其中，即可得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，兩點(diǎn)間的距離公式，圓和圓的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題10、B【解析】,所以選 B.11、C【解析】原不等式可轉(zhuǎn)化為，等同于，解得或故選C.12、A【解析】試題分析：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得圓的直角坐標(biāo)方程，直線的直角坐標(biāo)方程由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為，即將其化為極坐標(biāo)方程為：，即故選A考點(diǎn)：簡

11、單曲線的極坐標(biāo)方程二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出的表達(dá)式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進(jìn)而可求出.【詳解】由題意，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.14、160【解析】分析：根據(jù)題意，結(jié)合二項式定理可得，再利用二項式通項公式即可.詳解：由二項式定理，的二項展開式中的第3項的二項式系數(shù)為，有，解得.則有，當(dāng)時，得， 的展開式中含項的系數(shù)為160.故答案為：160.點(diǎn)睛：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，要注意區(qū)分某一項的系數(shù)與某一項的二項式系數(shù)的區(qū)別.15、【解析】由，得，則，

12、故答案為.16、1【解析】通過二項展開式的通項公式求出展開式的通項，利用的指數(shù)為2，求出展開式中的系數(shù)【詳解】解：展開式的通項為令得到展開式中的系數(shù)是故答案為：1【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題考查計算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）1227人（）（III）見解析【解析】（）根據(jù)正態(tài)分布的區(qū)間及對稱性質(zhì)，利用原則及數(shù)據(jù)即可得化學(xué)原始分在區(qū)間的概率，進(jìn)而求得改區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（）先求得再區(qū)間內(nèi)學(xué)生所占比例，即可得隨機(jī)抽取1人成績在該區(qū)間的概率，由獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式，即可求得人中至少有人成績在改區(qū)間的概率；（

13、III）根據(jù)題意可知隨機(jī)變量的可能取值為. 根據(jù)所給各科目獲得等的概率，由獨(dú)立事件的乘法公式可得各可能取值對應(yīng)的概率，即可得分布列.【詳解】（）因為化學(xué)考試原始分基本服從正態(tài)分布，即，所以，所以化學(xué)原始分在區(qū)間的人數(shù)為人. （）由題意得，位于區(qū)間內(nèi)所占比例為，所以隨機(jī)抽取人，其成績在內(nèi)的概率為，所以隨機(jī)抽取人，相當(dāng)于進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)試驗. 設(shè)這人中至少有人成績在為事件，則. （III）隨機(jī)變量的可能取值為. 則，. 所以的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及綜合應(yīng)用，獨(dú)立重復(fù)試驗概率的求法，獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量分布列的求法，屬于中檔題.18、（1）；（2）萬元【解

14、析】（1）先求出樣本中心點(diǎn)及代入公式求得，再將代入回歸直線求得的值，可得線性回歸方程；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，取x10，求得y值得答案【詳解】（1）由題表數(shù)據(jù)可得，由公式可得，即回歸方程是.（2）由（1）可得，當(dāng)時，；即，使用年限為10年時所支出的年平均維修費(fèi)用是萬元.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，考查計算能力，是基礎(chǔ)題19、 (1)(2)=- 2ln2 +ln3【解析】導(dǎo)數(shù)部分的高考題型主要表現(xiàn)在：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，高考對這一知識點(diǎn)考查的要求是：理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值,當(dāng)時,; 當(dāng)x0

15、時,; 當(dāng)時,當(dāng)時,函數(shù)由知當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號函數(shù)在上的最小值是,依題意得，；由解得直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積=- 2ln2 +ln320、（1）.（2）.【解析】分析：（1）利用等體積法即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用換元法可得，再結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性，計算即得結(jié)論.詳解：(1)SBCD=BCAB=, 由于PA平面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCD的高,故VP-BCD=SBCDPA=.設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h.由PA平面ABCD得PABC,又由于BCAB,故BC平面PAB,所以BCPB.由于BP,所以SPBC=BCPB=.故VD-BCP=SBCPh=h因為VP-B

16、CD=VD-BCP，所以h=.(2)以， 為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)設(shè)，(01)因為(1,0,2)，所以(,0,2)，由(0,1,0)，得(,1,2)，又(0,2,2)，從而cos，.設(shè)12t，t1,3，則cos2，.當(dāng)且僅當(dāng)t，即時，|cos，|的最大值為.因為ycos x在上是減函數(shù)，此時直線CQ與DP所成角取得最小值又因為BP，所以BQBP.(0,1,0)，(1,1，2)設(shè)平面PCB的一個法向量為m(x，y，z)，則m0，m0，即得： y0，令z1，則x2.所以m(2,0,1)是平

17、面PCB的一個法向量又(,1,2)(,1,)，(1,1 ,0)設(shè)平面DCQ的一個法向量為n(x，y，z)，則n0，n0，即取x4，則 y4，z7，所以n(4,4,7)是平面DCQ的一個法向量從而cosm，n，又由于二面角B-CQ-D為鈍角，所以二面角B-CQ-D的余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查求二面角的三角函數(shù)值，考查利用空間向量解決問題的能力，注意解題方法的積累.21、 (1) 證明見解析.(2)證明見解析.(3).【解析】分析：（1）設(shè)ACBD=O，連結(jié)EO，MO，推導(dǎo)出四邊形EOMF為平行四邊形，從而FMEO由此能證明FM平面BDE；（2）推導(dǎo)出ACBD，EDAC，從而AC平面BDE，由此能證明ACBE；（）過G作ED的平行線交BD于H，則GH平面ABCD，GH為三棱錐GBCD的高，三棱錐GBCD的體積 ，由此能求出的值詳解：（）設(shè),連結(jié).由已知分別是的中點(diǎn)，因為,且,所以,且，所以,且.所以平行四邊形為平行四邊形所以 又因為平面，平面，所以平面 （）因為為菱形，所以因為平面,所以 因為,所以平面又因為平面,所以 （）過作的平行線交于.由已知平面，所以 平面.所以為三棱錐的高.因為三棱錐的體積為，所以