傅立葉級數(shù)表達(dá)形式與性質(zhì)

1、傅立葉級數(shù)表達(dá)形式與性質(zhì)程棟材 PB07210245周期函數(shù)是定義在(-,-)區(qū)間，每隔一定時間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的函數(shù),一般表示為:f (t) = f (t + mT) m = Q 1 2 -( 312)式中， T 為該信號的重復(fù)周期，其倒數(shù)稱為該信號的頻率，記為f = t或角頻率0 =王=2吋rjiJ對于非正弦周期函數(shù)，根據(jù)定理3-1,可以用在區(qū)間(510 + T)內(nèi)完備的正交函數(shù)集來表示。下面討論幾種不同形式的表示式。三角函數(shù)表示式由上節(jié)討論可知，三角函數(shù)集cos匚血mQt(n，m二2)在區(qū)間(t0，10 + T) 內(nèi)為完備正交函數(shù)集。根據(jù)定理3-1，對于周期為T的一類函數(shù)中任一個函

2、數(shù)f (t)都可 以精確地表示為cos nQt，sin mQt的線性組合，即對于f (t)二 f (t + nT)有cos nQt +bcos nQt +b sin nQt)n(3-13)n =1由式(3-10)，得anbna0anbna02JT/2-T/2T/2-T /2JT/2-T /2f (t )cos nQtdt f (t )sin nQtdt f(t)dt(3-14)式(3-13)稱為周期信號f (t)的三角型傅里葉級數(shù)展開式。若將式(3-13)中同頻率項加以合并，還可寫成另一種形式，即f (t)二 A +三 A cos(n* +申)(3-15)0nnn=1比較式(3-13)和式(3

3、-15)，可看出傅里葉級數(shù)中各量之間有如下關(guān)系A(chǔ) = ：a2 + b2nnnrbp = - arctan nnaanbnanbnA0=A cospnn= - A sin pnna3-16)=0-2式(3-15)稱為周期信號f (t)的余弦型傅里葉級數(shù)展開式。式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信號，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正(余)弦信號的線性組合。在式(3-13)中，ao/2是直流成分； 0 = 21ai COS 0t , bi sin 稱為基波分量，T為基波頻率；an C0S n0t , bn Sin n0t稱n次諧波分量。直流分量的大小，基波分量和各

4、次諧波的振幅、相位取決于周期信號 f (t) 的波形。從式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅“ , bn , An和相位P n都是nQ的函數(shù)，并有：An , aAn , an是的偶函數(shù)，即a = an- nA =An-n ；bn是nQ的奇函數(shù)，即-Q =Qn- nb = -bn- n二、指數(shù)形式因為復(fù)指數(shù)函數(shù)集e皿(n = ，1，2,)在區(qū)間Sto + T)內(nèi)也是一個完備的正T =互交函數(shù)集，其中，因此，根據(jù)定理3-1，對于任意周期為T的信號f，可在區(qū)間(toto + T)內(nèi)表示為ejnt的線性組合。即f (t)=工 F em(3-17)nn = -g式中Fn由式(3-10)可求得

5、為F =T/2 f (t)e-jn(3-18)n T T / 2式(3-17)稱為周期信號f (t)的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式。由于Fn通常為復(fù)數(shù)，所 以式(3-17)又稱為復(fù)系數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。同一個周期信號f (t)，既可以展開成式(3-13)所示的三角型傅里葉級數(shù)式，也可以 展成式(3-17)所示的指數(shù)型傅里葉級數(shù)式，所以二者之間必有確定的關(guān)系。因為e jn e jn t + e - jntcos nt =e jnt - e - jntsin nt =2j代入式(3-13)，得所以a 戶a所以a 戶a=0 +n22n=1(e jnGt + e - jnGt ) +n (e jnOt e

6、- jnQt )= 2j區(qū)F e jnQtnn=ga yf (t) = 0 +(a cos nQt +b sin nQt)n=12n=102(a jb ) (a jb ) =2nn21A-(a+ jb ) =e -j2nn2Fnn = 1,2,n = 1,2,(3-19)三、周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系要把已知周期信號f (t)展開為傅里葉級數(shù)，如果f (t)為實函數(shù)，且它的波形滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數(shù)中有些項將不出現(xiàn)，留下的各項系數(shù)的表示式也變得比 較簡單。周期信號的對稱關(guān)系主要有兩種：一種是整個周期相對于縱坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系， 這取決于周期信號是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，也就是展開式中

7、是否含有正弦項或余弦項；另 一種是整個周期前后的對稱關(guān)系，這將決定傅里葉級數(shù)展開式中是否含有偶次項或奇次 項。下面簡單說明函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系。1偶函數(shù)若周期信號f (t)波形相對于縱軸是對稱的，即滿足f (t) = f (t)(3-20)則f (t)是偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含直流分量和余弦分量，即b = 0(n = 0,1,2,(n = 0,1,2,)a =JT/2 f (t )cos nQtdtn T 02 奇函數(shù)若周期信號f (t)波形相對于縱坐標(biāo)是反對稱的，即滿足f (t )T (-t)(3-21)此時f (t)稱為奇函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項，即(n =

8、 0,1,2,) TOC o 1-5 h z n 4(n = 0,1,2,)bT/2 f (t )sin nOtdt HYPERLINK l bookmark64 o Current Document n T o一熟悉并掌握了周期信號的奇、偶等性質(zhì)后，對于一些波形所包含的諧波分量常可以作出迅速判斷，并使傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算得到一定簡化。表3-1給出了周期信號波形的各種對稱情況、性質(zhì)，以及對應(yīng)的傅里葉系數(shù)a和bnn的計算公式。表 3-1 周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)f (t)性質(zhì)a0a (n 豐 0)nb (n 豐 0)n偶函數(shù)只有直2只 T/2 f (t) dtT 04 ,JT/2 f (t )cos(nGt )dtT 00f (t) = f (-t)流分量和余弦項奇函數(shù)只有正00 JT/2 f (t )sin( nGt )dt T 0f (t) = - f (-t)弦項一、 四、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)若f (t) = Fejnd，則f (t)的傅里葉級數(shù)展開式具有以下性質(zhì)(證明略):nn=8(1) f ()二追 F eg