求解靜電磁場(chǎng)的方法

1、第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法1第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法1 電像法24-1 enantiomorphous method 解決的問(wèn)題：一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷；區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)面方法：以某個(gè)或幾個(gè)假想電荷（鏡象電荷）代替感應(yīng)電荷。注意：不改變所研究空間電荷分布。即泊松方程不受影響關(guān)鍵：滿足邊界條件3 4-1 enantiomorphous method 例1接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板，附近一點(diǎn)電荷Q (距板a)，求空間中的電場(chǎng)。解：空間場(chǎng) 點(diǎn)電荷Q+感應(yīng)電荷邊界條件：導(dǎo)體上鏡象電荷Q（鏡象電荷）：與電荷Q 關(guān)于導(dǎo)體板對(duì)稱；Q= -Q滿足邊界條件：導(dǎo)體板為等勢(shì)體。等量異種電荷連線的中垂面是等勢(shì)面場(chǎng)點(diǎn)P 電勢(shì)（P

2、Q - r, PQ- r):OQ(0,0,a)Q(0,0,-a)P(x,y,z)xy4點(diǎn)電荷對(duì)接地相交半無(wú)限大平面導(dǎo)體平面xyqd2d1d1d1d1d2d2d2q3= qq2= -qq1= -qABO滿足OA 邊零電勢(shì)q1滿足OB 邊零電勢(shì)q2同時(shí)滿足OA、OB 邊零電勢(shì)q3OA與OB 夾角=/n，鏡像電荷個(gè)數(shù)為（2n-1)個(gè)5 4-1 enantiomorphous method 例2 真空中接地導(dǎo)體球半徑R0 ，距離球心a (aR0 )處有點(diǎn)電荷Q。求空間某個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)。QQOabrR0rPQQOabrRrP解：鏡象電荷Q，由對(duì)稱性Q在OQ連線上 。 由邊界條件確定Q及位置6 4-1 ena

3、ntiomorphous method 球面上任一點(diǎn)P，邊界條件（電勢(shì)為零）：即：只要選Q使OQP OQP: 7 4-1 enantiomorphous method 球外任意一點(diǎn)P的電勢(shì)：討論：由高斯定律Q等于球面上總感應(yīng)電荷Q的大小、位置選擇滿足邊界條件QQ，因Q發(fā)出的電力線只有一部份收斂于Q，余下的伸展到無(wú)窮遠(yuǎn)8 4-1 enantiomorphous method 例3 若上題中導(dǎo)體球不接地且?guī)щ姾蒕0， 求球外電勢(shì)分布，及電荷Q所受力。 解：導(dǎo)體條件： （1）球面為等勢(shì)面（不為零） （2）從球面發(fā)出的總電通量Q0如上題假設(shè)電荷Q球面電勢(shì)為零。球心加另一假設(shè)電荷( Q0 Q) 球面等勢(shì)

4、面，電勢(shì)( Q0 Q) /40R0球體總電荷Q0和9 4-1 enantiomorphous method 球外任意一點(diǎn)P的電勢(shì)：電荷Q 受到Q和（Q0 - Q）的作用力：Q激發(fā)的電勢(shì)Q= -R0Q/a 激發(fā)的電勢(shì)(Q0 -Q) 激發(fā)的電勢(shì)10介質(zhì)平面zxqh12xqh11qhp介質(zhì)1中電勢(shì) ：鏡像q 代替極化電荷； 整個(gè)空間充滿1介質(zhì)xh22q”+qp介質(zhì)2中電勢(shì) ：鏡像q” 代替極化電荷； 整個(gè)空間充滿2介質(zhì)上、下無(wú)限大空間充滿兩種不同介質(zhì)，介質(zhì)1中點(diǎn)電荷q 4-1 enantiomorphous method xh22q”+qp11介質(zhì)1、2中電勢(shì)分別為： 4-1 enantiomorp

5、hous method 12Z=0,邊界條件 4-1 enantiomorphous method 131.像電荷等于感應(yīng)電荷嗎 問(wèn)題帶電不接地導(dǎo)體球+Q模型中，沒(méi)有依據(jù)可以說(shuō)明Q、Q”等于感應(yīng)電荷，二者之和為Q0。由于感應(yīng)電荷，使球面電荷分布變化，像電荷Q偏心。接地導(dǎo)體球+Q模型中，Q等于感應(yīng)電荷。（用高斯定理可得）不能一概而論2. 可以求到感應(yīng)電荷嗎？ 如接地?zé)o限大導(dǎo)體板+Q模型中，由ED如帶電球+Q模型中，則為所帶電荷重新分布的結(jié)果143.像電荷電量選取唯一嗎？接地導(dǎo)體球+Q模型中，球面上的勢(shì)得對(duì)任何上式均成立，可得解為：（無(wú)意義，舍去）（唯一像電荷）和無(wú)窮大接地導(dǎo)體+Q模型,對(duì)稱-Q為

6、邊界條件之唯一像電荷.15或者。邊界條件可寫為：式中r、r是 P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，Q、Q不是坐標(biāo)函數(shù)；P點(diǎn)取球面任何一點(diǎn)上式均成立。因此比值r/r對(duì)球面上任何一點(diǎn)均具有同一數(shù)值即為一常數(shù)：即只有在三角形相似時(shí)，比值r/r對(duì)球面上任何一點(diǎn)均具有同一數(shù)值162 拉普拉斯方程 分離變量法第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法17 4-2 Laplace equation幾類邊界條件：（1）兩絕緣介質(zhì)的邊界條件：（2）給出導(dǎo)體電勢(shì)：（3）給出導(dǎo)體總電量：導(dǎo)體表面自由電荷密度：18 4-2 Laplace equation拉普拉斯方程：選擇導(dǎo)體表面為區(qū)域V邊界，V內(nèi)部自由電荷密度=0， 泊松方程簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程拉普拉斯

7、方程的通解用分離變量法求出：以界面形狀定坐標(biāo)分離變量法求通解邊界條件定常數(shù)19球坐標(biāo)下的拉普拉斯方程：若僅為r和的函數(shù)(2D) ： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法20分離變量：代入上式，除以R: 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法21式1：其通解：解代入上式1得： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法22式2寫為：令：式2變?yōu)椋?4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法23其解為勒讓德多項(xiàng)式：電勢(shì)的通解為： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法2425球坐標(biāo)下的通解（一般3D）：Anm, bnm,cnm,dnm 常數(shù)由邊界條件定。 Pnm(cos) 締合勒讓德函數(shù)。有對(duì)稱軸取為極軸，電勢(shì)不依賴只須由

8、邊界條件定常數(shù) 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法26例1 內(nèi)徑、外經(jīng)分別為R2和R3的帶電導(dǎo)體球殼，帶電Q，包圍同心導(dǎo)體球R1（R2），球接地。求空間個(gè)點(diǎn)電勢(shì)，導(dǎo)體球感應(yīng)電荷。解：球?qū)ΨQ，電勢(shì)不依賴，取n=0 ( P0(cos)=1)解寫為，球殼外、內(nèi)電勢(shì)：12R1R2R3 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法27邊界條件：內(nèi)導(dǎo)體球接地：導(dǎo)體球殼為等勢(shì)體：球殼總電荷：dSE=- 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法以球殼為對(duì)象，兩個(gè)閉合曲面（R2，R3）包圍。后一項(xiàng)面積外法線指向球心.Q+Q1-Q128將，代入邊界條件：其中： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法29電勢(shì)：導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷：解題步

9、驟：1. 對(duì)稱分析簡(jiǎn)化通解2. 邊界條件分析3. 確定常數(shù) 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法30例2 介電常數(shù)的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)E0 中，求電勢(shì)。球半徑R0 ， 球外為真空。z解：電場(chǎng)在球上激發(fā)束縛電荷，束縛電荷的場(chǎng)疊加于外場(chǎng)，得到總電場(chǎng)E。對(duì)稱性：軸對(duì)稱 （球直徑），極軸取過(guò)球心區(qū)域內(nèi)無(wú)自由電荷，滿足拉普拉斯方程。球外電勢(shì)1，球內(nèi)2， 通解：球外球內(nèi)以邊界條件定常數(shù) 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法31(1)無(wú)窮遠(yuǎn)處，EE0. 勢(shì)則為外電場(chǎng)的勢(shì) , (R) =E0 Rcos*R, b1項(xiàng)1/R20(2) R=0, 2 為有限值(3) 介質(zhì)球面上 (R=R0) 4-2.1 球坐標(biāo)系下的

10、分離變量法32把1，2 的通解代入上二式：an=0 (n1). 余a1 項(xiàng)比較P1的系數(shù)： Pn 系數(shù)： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法33得：討論：球內(nèi)場(chǎng)極化強(qiáng)度矢量：球總電偶極矩：電偶極矩產(chǎn)生的勢(shì)： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法34*勻強(qiáng)電場(chǎng)E0的勢(shì)原點(diǎn)勢(shì)x為P點(diǎn)位矢勻強(qiáng)電場(chǎng)可認(rèn)為是無(wú)限大平行板電容器產(chǎn)生的場(chǎng), 電荷分布不限制在有限區(qū)域,不能選無(wú)窮遠(yuǎn)為0 電勢(shì).選原點(diǎn)勢(shì)為0.35例3 導(dǎo)體球置于均勻外電場(chǎng)E0 中，求電勢(shì)和導(dǎo)體上電荷面密度。球半徑R0 。球外為真空。導(dǎo)體球接地。 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法36解 3 ：電場(chǎng)在球上激發(fā)感應(yīng)電荷對(duì)稱性：軸對(duì)稱 （球），極軸取過(guò)

11、球心導(dǎo)體外區(qū)域無(wú)自由電荷，滿足拉普拉斯方程。球外電勢(shì)， 通解：球外 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法37(1)無(wú)窮遠(yuǎn)處，EE0. (R) =ERcos（2）R=R0, =0（導(dǎo)體電勢(shì)）P1P2R, b1項(xiàng)1/R20 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法比較P1系數(shù)比較Pn系數(shù)38得導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷面密度 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法讀書例P71 例2、339例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢(shì)V，分析它的尖角附近的電場(chǎng)解：用柱坐標(biāo)，z軸沿尖劈邊。尖劈以外空間02- (小角）。 電勢(shì)不依賴z,拉氏方程：用分離變量法。設(shè)特解：拉氏方程：正實(shí)數(shù)或零R函數(shù)與 函數(shù)都為常數(shù)（設(shè)為2 ） ，才可相等* 4-2.1

12、球坐標(biāo)系下的分離變量法40 xz 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法41特解疊加得通解：邊界條件：（1）尖劈面上=0, =V, 與r無(wú)關(guān) 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法42（2）r0, 有限(3) 尖劈面上=2-, =V與r無(wú)關(guān)可能值：xrr0, x 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法43電勢(shì)可寫為：確定A還需給定邊界條件。對(duì)尖角附近的分析。尖角附近r0, 求和式的主要貢獻(xiàn)來(lái)自于低次冪n=1:電場(chǎng)： 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法44尖劈兩面上的電荷密度 很小，11/2, r -1/2. 尖端放電 4-2.1 球坐標(biāo)系下的分離變量法45柱坐標(biāo)系下的分離變量法電勢(shì)通解：直角坐標(biāo)系下的分離

13、變量法雙曲函數(shù)通解形式：指數(shù)函數(shù)通解形式：463 電多極矩第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法474-3 Multi-dipole4-3.1 expended formula of electrical potential電荷密度（x) 激發(fā)的電勢(shì)：通常：r（場(chǎng)點(diǎn)到電荷距離） l （電荷分布區(qū)域V的尺度） 以l/r 表示并展開(kāi)以得到近似值48V區(qū)域內(nèi)取O點(diǎn)為原點(diǎn)，O到P點(diǎn)距離R(場(chǎng)源點(diǎn))場(chǎng)點(diǎn)到原點(diǎn)：x in V, R. 把x-x函數(shù)對(duì)小參量 x展開(kāi)4-3.1 expended formula of electrical potential494-3.1 expended formula of electr

14、ical potentialx-x 的任意函數(shù)f(x-x) 在x=0 附近展開(kāi)(多元函數(shù))取f(x-x)=1/x-x=1/r, 有：504-3.1 expended formula of electrical potential令：張量 Dij51張量 Tij: 是具有9個(gè)分量的物理量。表示為：或并矢：矢量A, B 并列，記為AB，九個(gè)分量524-3.1 expended formula of electrical potential張量Dij 稱為電四極矩。電四極矩可表為并矢：v534-3.2 Multi-dipole電勢(shì)展開(kāi)第一項(xiàng)：原點(diǎn)點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢(shì)，一級(jí)近似電勢(shì)展開(kāi)第二項(xiàng)：電偶極矩p

15、產(chǎn)生的電勢(shì)544-3.2 Multi-dipole電偶極矩p 產(chǎn)生的電勢(shì)+Q-QlO Pr+r-Rx 點(diǎn)上有正電荷Q, -x 點(diǎn)上有負(fù)電荷-Q電偶極矩：電偶極子激發(fā)電勢(shì)：lR時(shí)：z554-3.2 Multi-dipole電勢(shì)展開(kāi)第三項(xiàng)：電四極子Dij激發(fā)的電勢(shì)xi, xj 可互換，值不變。Dij 有6各分量：D11， D22，D33，D12=D21，D13=D31, D23=D32. 564-3.2 Multi-dipole電四極子Dij激發(fā)的電勢(shì)+-lO Pr+r-Rz-+電偶極矩+p,電偶極矩-p 構(gòu)成。總電荷為零，總電偶極矩為零。電四極矩：只有z方向，電荷坐標(biāo)不為零， 即只有D33.正電

16、荷位于z=b, 負(fù)電荷位于z=a57電四極子Dij激發(fā)的電勢(shì)4-3.2 Multi-dipole同于（2）書p74兩個(gè)電偶極子勢(shì)之和58電荷 電偶極子 電四極子電八極子.特征量電量Q表示Q，l（電荷間距離）電偶極矩電四極矩張量電偶極矩p， l（電極子間距離）59*4-3.2 Multi-dipoleD11 由兩對(duì)x軸正負(fù)電荷組成。y+-xzD11+-xyzD22D12IIxyIIyzD23IIxzD3160*4-3.2 Multi-dipole電四極矩只有五個(gè)獨(dú)立分量( 某定義下)當(dāng)R0時(shí)，有書p45引入ij因此，第一式可寫為：ij 時(shí)， =0，i=j 時(shí)， 同于一式的項(xiàng)為零 61*4-3.2

17、 Multi-dipole電勢(shì)的展開(kāi)式第三項(xiàng)，可寫為其中由上頁(yè)結(jié)論，加入不影響值62*4-3.2 Multi-dipole定義電四極矩：電勢(shì)的展開(kāi)式第三項(xiàng)，仍可寫為利用電四極矩定義式，張量滿足(3x2-r2)+ (3y2-r2)+ (3z2-r2)=063*4-3.2 Multi-dipole或?qū)憺椴⑹竼挝粡埩?4*4-3.2 Multi-dipole對(duì)球?qū)ΨQ分布電荷因此，D11=D22=D33=0而且，D12=D23=D31=0無(wú)電四極矩若電荷分布偏離球?qū)ΨQ，一般會(huì)出現(xiàn)電四極矩。如沿z軸的橢球：由對(duì)稱性65*4-3.2 Multi-dipole例 均勻帶電的長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球體半長(zhǎng)軸為a 半短軸為

18、b, 帶總電荷Q, 求它的電四極矩和遠(yuǎn)處的電勢(shì)。解：z為旋轉(zhuǎn)軸，橢球方程橢球電荷密度電四極矩：由對(duì)稱性:xzxyy+-66*4-3.2 Multi-dipole令x2+y2=s2,由對(duì)稱性67*4-3.2 Multi-dipole68*4-3.2 Multi-dipole電四極矩產(chǎn)生的電勢(shì)：69*4-3.2 Multi-dipole橢球電偶極矩：對(duì)稱遠(yuǎn)處電勢(shì)，精確到電四極矩：70*2-6.3 energy of charge system in exterior field 外電場(chǎng)電勢(shì)為e , 電荷分布(x) 的體系在外電場(chǎng)中能量：若電荷分布于小區(qū)域內(nèi)，原點(diǎn)取于區(qū)域內(nèi)， e 對(duì)原點(diǎn)展開(kāi)：71*

19、2-6.3 energy of charge system in exterior field 第一項(xiàng)：電荷集中到原點(diǎn)時(shí)在外場(chǎng)的能量。第二項(xiàng)：體系電偶極矩在外場(chǎng)的能量。72*2-6.3 energy of charge system in exterior field 第三項(xiàng)：電四極子在外場(chǎng)中的能量。只有在非均勻場(chǎng)中其能量才不為零（場(chǎng)在空間變化）733 磁多極矩第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法743-3 magnetic multi-moment 3-3.1 expended formula of magnetic vector potential給定電流分布在空間激發(fā)磁矢勢(shì)若電流分布于小區(qū)域V， 場(chǎng)

20、點(diǎn)x 較遠(yuǎn)；取區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)為原點(diǎn)，把1/r 展開(kāi)。753-3.1 expended formula of magnetic vector potential第一項(xiàng)：由恒定電流的連續(xù)性，電流可分為許多閉和的電流管。一個(gè)電流管：無(wú)磁單極，（對(duì)比電場(chǎng)，有電荷產(chǎn)生的勢(shì)）763-3.1 expended formula of magnetic vector potential第二項(xiàng)：恒定電流，電流管R 與積分變量無(wú)關(guān)。x是線圈上各點(diǎn)坐標(biāo)，因此，dx=dl。ox1x2dxdl773-3.1 expended formula of magnetic vector potential全微分繞閉合回路的線積分為零

21、：矢量公式，及 dx=dl ?？傻茫杭矗菏噶抗?I.2)783-3.1 expended formula of magnetic vector potential其中：m稱為磁矩體分布電流，IdlJdV， 793-3.1 expended formula of magnetic vector potential小線圈，線圈所圍面積為S，有小線圈磁矩：扇形面積S=rl/2803-3.2 field and scalar potential magnetic dipole帶入磁偶極子的矢勢(shì)A(1) ，磁感應(yīng)強(qiáng)度：=0=0m不是x 的函數(shù)813-3.2 field and scalar poten

22、tial magnetic dipoleR0時(shí)，有電流分布以外空間，磁場(chǎng)可用磁標(biāo)勢(shì)表示（第二節(jié)）823-3.2 field and scalar potential magnetic dipole由矢量公式=0m非x的函數(shù)=0因：見(jiàn)B(1)所以：833-3.2 field and scalar potential magnetic dipole一個(gè)任意電流線圈的總磁偶極矩：S是線圈所圍的某一個(gè)曲面，不唯一。m 應(yīng)不依賴S的選取。以線圈為邊界得曲面S1和S2，這S1 與 -S2 （法線反向）合起來(lái)為閉合曲面： m具有相同值843-3.3 energy of current in exterior

23、 magnetic field 外磁場(chǎng)Be 的矢勢(shì)Ae，電流分布在場(chǎng)中相互作用能：若是電流線圈：e 外磁對(duì)線圈L的磁通853-3.3 energy of current in exterior magnetic field 若電流分布的區(qū)域很小，遠(yuǎn)小于磁場(chǎng)發(fā)生顯著變化的線度；坐標(biāo)原點(diǎn)選于區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)。Be(x) 可在原點(diǎn)鄰域展開(kāi)：代入上式取第一項(xiàng)電偶極子在外電場(chǎng)中的能量：成立條件：線圈上電流、產(chǎn)生外磁場(chǎng)電流不變863-3.3 energy of current in exterior magnetic field 設(shè)外磁場(chǎng)有線圈 L e的電流 Ie 產(chǎn)生。相互作用能：e 外磁對(duì)線圈 L 的磁通；

24、電流I對(duì)Le的磁通若線圈運(yùn)動(dòng)而電流不變，磁能改變:磁通變，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，為使電流不變，須電源供能抵抗感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的功。線圈上電流、產(chǎn)生外磁場(chǎng)電流不變情況下：873-3.3 energy of current in exterior magnetic field L及Le 的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：在t 內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的功：為使電流不變，電源供能抵抗感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的功：上頁(yè)883-3.3 energy of current in exterior magnetic field 能量守恒：體系-外電源，電磁場(chǎng)，線圈電流。線圈移動(dòng)時(shí)場(chǎng)對(duì)其的功A; 電源提供能Ws; 總磁能改變W因：得：對(duì)線圈作功等于磁能的增量。定義勢(shì)函數(shù)

25、U（力學(xué)） ：作功等于勢(shì)函數(shù)U 的減小磁偶極子的勢(shì)函數(shù)U： 同電場(chǎng)形式893-3.3 energy of current in exterior magnetic field 磁偶極子在外磁場(chǎng)中受力：因產(chǎn)生外電場(chǎng)的電流一般不在磁矩m所在區(qū)域。取第一項(xiàng)為零磁偶極子所受力矩：矢量（I.23）905 格林函數(shù)法第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法914-5 Green function 研究問(wèn)題：給定V內(nèi)電荷分布和V的邊界S上各點(diǎn)電勢(shì)S或電場(chǎng)法線分量 ， 求各點(diǎn)電勢(shì)4-5.1function of point charge density 點(diǎn)電荷的電荷密度分布：體積很小，電荷密度很大的帶電小球的極限。 V0,

26、。單位點(diǎn)電荷的電荷密度分布，可用函數(shù)表示：x=0, (x)=. 函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的極限。 廣義函數(shù)924-5.1 function of point charge density x2a2a0, 且曲線下面積=1極限為函數(shù)處于x 的單位點(diǎn)電荷密度用(x-x)表示：934-5.1 function of point charge density 函數(shù)重要性質(zhì)：若f(x) 為在原點(diǎn)附近的連續(xù)函數(shù)，原點(diǎn)包括在V內(nèi)，有：若f(x) 為在x=x附近的連續(xù)函數(shù)，x包括在V內(nèi)，有：理解：(x-x) 僅在x=x 點(diǎn)上不為零。該點(diǎn)f(x)=f(x), 函數(shù)積分為1944-5.2 Green function 處于

27、x 點(diǎn)上單位點(diǎn)電荷所激發(fā)的電勢(shì)滿足泊松方程：把此時(shí)的(x) 定義為格林函數(shù) G(x-x)，即格林函數(shù)滿足微分方程：第一類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)：含x的區(qū)域V的邊界S 上有邊界條件第二類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)：含x的區(qū)域V的邊界S 上有邊界條件n為面積S法線x源點(diǎn)（點(diǎn)電荷所在點(diǎn)） ，x 場(chǎng)點(diǎn)，2是對(duì) x 的微分 面積無(wú)窮大唯一性定律: 、或954-5.2 Green function 幾種區(qū)域的格林函數(shù)：（1）無(wú)界空間的格林函數(shù)：在 x 處的單位點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢(shì):無(wú)界空間的格林函數(shù)為：上式是否滿足格林函數(shù)的微分方程？96*4-5.2 Green function 證明：設(shè)點(diǎn)電荷位于原點(diǎn)，球坐標(biāo)中，用極限

28、方法：97*4-5.2 Green function 作積分變換 r=a , 存在極限:因此：電源于x 點(diǎn)，r為x, x 距離：984-5.2 Green function （2）上半空間的格林函數(shù)（電像法例1）Q=1, 上半空間第一類邊界問(wèn)題的格林函數(shù)：電荷Q 坐標(biāo)(x,y,z), 場(chǎng)點(diǎn)(x,y,z), r 是x與 x距離，r是 鏡像點(diǎn)(x,y, -z)與 x 距離994-5.2 Green function （3）球外空間的格林函數(shù)（電像法例2）Q=1, 球心為原點(diǎn)，電荷Q處于P點(diǎn)的 坐標(biāo)(x,y,z), 場(chǎng)點(diǎn)P點(diǎn)(x,y,z), 鏡象點(diǎn)坐標(biāo)為：P561004-5.2 Green func

29、tion yzxPPxxQrr格林函數(shù)的互易性：1014-5.3 boundary condition and Green formula 從格林函數(shù)獲得一般邊值問(wèn)題的解第一類邊界問(wèn)題：V內(nèi)電荷分布，邊界上給定，求電勢(shì)(x)格林函數(shù)問(wèn)題：內(nèi)x上有一點(diǎn)電荷，邊界上給定電勢(shì)為，內(nèi)電勢(shì)(x)(x,x)格林公式可聯(lián)系此兩問(wèn)題。格林公式：n 為界面S的外發(fā)線1024-5.3 boundary condition and Green formula 格林公式證明：減去，互換的式子：化為積分，右項(xiàng)體積分為面積分則的格林公式1034-5.3 boundary condition and Green formu

30、la 取滿足泊松方程：取為格林函數(shù)(x,x)積分變量由x 變?yōu)閤 ，格林公式中x 與x 互換：1044-5.3 boundary condition and Green formula 左第二項(xiàng)為：用格林函數(shù)，函數(shù)性質(zhì)把泊松方程代入左第二項(xiàng)1054-5.3 boundary condition and Green formula 第一類邊值問(wèn)題中，格林函數(shù)滿足邊界條件：第一類邊值問(wèn)題的解：如已知格林函數(shù)，和給定, 可求(x)1064-5.3 boundary condition and Green formula 第二類邊值問(wèn)題：G(x, x) 是單位電荷激發(fā)的電勢(shì)：滿足上式最簡(jiǎn)單的邊界條件為

31、：第二類邊值問(wèn)題的解：是電勢(shì)在上的平均值1074-5.3 boundary condition and Green formula 例 無(wú)窮大導(dǎo)體平面上有半徑為a 的圓，圓內(nèi)園外用狹窄的絕緣環(huán)絕緣。圓內(nèi)電勢(shì)為V0 ，導(dǎo)體其余部分電勢(shì)為零，求上半空間的電勢(shì)。解：取柱坐標(biāo)，原點(diǎn)-圓心，z軸垂直平板。R 空間到z軸距離。X點(diǎn)直角坐標(biāo)(Rcos, Rsin ,z), X點(diǎn) (Rcos, Rsin ,z)上半空間格林函數(shù);108zxyR 1094-5.3 boundary condition and Green formula 上半空間=0，拉普拉斯方程第一邊值問(wèn)題。積分面S是z=0無(wú)窮大平面，法線沿-

32、z。只有圓內(nèi)電勢(shì)不為零，積分在ra1104-5.3 boundary condition and Green formula 1114-5.3 boundary condition and Green formula R2+z2a2時(shí)，展開(kāi)被積函數(shù)：1126 超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)第四章求解靜電磁場(chǎng)的方法1134-6 superconducting material 4-6.1 base electromagnetic phenomena (1) 超導(dǎo)電性：超導(dǎo)臨界溫度TC ：此溫度以下，電阻率為零-超導(dǎo)態(tài)；此溫度以上，正常態(tài)。不同材料有不同的臨界溫度。如汞TC=4.2K.臨界磁場(chǎng)HC:處于超導(dǎo)態(tài)物

33、體，若加一大于臨界值HC 的磁場(chǎng)，物體將由超導(dǎo)態(tài)變?yōu)檎B(tài)。HC(T)經(jīng)驗(yàn)公式：超導(dǎo)態(tài)正常態(tài)HCTTCH01144-6.1 base electromagnetic phenomena （2）邁斯納效應(yīng)超導(dǎo)體內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0，與超導(dǎo)所經(jīng)歷的歷史無(wú)關(guān)。超導(dǎo)的邁斯納效應(yīng)是獨(dú)立于零電阻性的。超導(dǎo)不能簡(jiǎn)單看作導(dǎo)體當(dāng)電導(dǎo)率趨于無(wú)窮的極限。通常導(dǎo)體有 J有限，E0， B不隨時(shí)間變。不能導(dǎo)出B=0，即不能導(dǎo)出B 被排出導(dǎo)體外。1154-6.2 electromagnetic equation （1）倫敦第一方程超導(dǎo)量子現(xiàn)象。超導(dǎo)時(shí)，部分傳導(dǎo)電子聚于一個(gè)量子態(tài)，完全有序，不受晶格散射，無(wú)電阻。其余正常電

34、子傳導(dǎo)電子密度n, 超導(dǎo)電子nS, 正常電子nn：導(dǎo)體內(nèi)電流密度 J，超導(dǎo)電流JS, 正常電流Jn正常電流滿足歐姆定律：1164-6.2 electromagnetic equation 對(duì)超導(dǎo)電流，E使電子加速（無(wú)阻尼）：超導(dǎo)電流密度：倫敦第一方程1174-6.2 electromagnetic equation 恒定情況下，E=0，Jn=0. 恒定情況下，導(dǎo)體內(nèi)電流完全來(lái)自于超導(dǎo)電子。交變情況下， ， E0，Jn0. 有電阻損耗設(shè)交變電流頻率，1184-6.2 electromagnetic equation （2）倫敦第二方程邁斯納效應(yīng)指出超導(dǎo)內(nèi)部B=0。超導(dǎo)表面兩側(cè)，邊值條件：磁場(chǎng)在超

35、導(dǎo)表面薄層內(nèi)存在，麥?zhǔn)戏匠蹋撼準(zhǔn)戏匠?，倫敦假設(shè)另一磁場(chǎng)與電流制約關(guān)系：倫敦第二方程超導(dǎo)體外部有磁場(chǎng)時(shí)1194-6.2 electromagnetic equation 倫敦第二方程與麥?zhǔn)戏匠滔嗳?。倫敦第一方程取旋度，及麥?zhǔn)戏匠虒?duì)時(shí)間積分：設(shè)f(x)=0即倫敦第二方程1204-6.2 electromagnetic equation 超導(dǎo)電磁性質(zhì)方程：可導(dǎo)出邁斯納效應(yīng)。對(duì)恒定電流，J=JS， 麥?zhǔn)戏匠蹋喝⌒?，倫敦方程，B散度為零：即1214-6.2 electromagnetic equation 一般超導(dǎo)，L10-7m. 是B顯著變化的線度。設(shè)超導(dǎo)體占滿z0的上半空間，B沿x軸, Bx=B

36、(z)解為：當(dāng)z為L(zhǎng) 的數(shù)倍時(shí)，B（z）基本為零。穿透深度L ：標(biāo)志磁場(chǎng)透入導(dǎo)體內(nèi)的線度。1224-6.2 electromagnetic equation 超導(dǎo)體內(nèi)的電流分布：與磁場(chǎng)形式相同。超導(dǎo)電流只能存在于超導(dǎo)體表面厚度約L 的薄層內(nèi)。1234-6.2 electromagnetic equation 例：求超導(dǎo)體的面電流密度S 和邊界上磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系解：設(shè)超導(dǎo)體占滿z0的上半空間，設(shè)JS沿x軸zxJS邊值關(guān)系：由邁斯納效應(yīng)，超導(dǎo)體內(nèi)H1=B1/=0, 體外H2=B/0法線方向：B2n=B1n=0L邊界上，B與界面相切124xzyJs: 體電流密度。沿x方向Js:s：面電流密度。在z=

37、0表面上流動(dòng)。s因?yàn)殡娏鞣植贾饕植加诒砻?，用體密度求到的電流基本等于用面密度求到的電流。1254-6.2 electromagnetic equation BS超導(dǎo)體處于外磁場(chǎng)中：邁斯納效應(yīng)，體內(nèi)B=0，即導(dǎo)體表面產(chǎn)生超導(dǎo)電流S，其磁場(chǎng)與外磁場(chǎng)反向，屏蔽外磁?？芍猄方向如圖1264-6.3 superconductor as complete diamagnet B-J; H-Jf ; M-JM把超導(dǎo)電流看作自由電流， 與H相聯(lián)系（上節(jié)）把超導(dǎo)電流看作磁化電流， 與M相聯(lián)系 略去超導(dǎo)分子的磁化電流（很?。杭矗篠 超導(dǎo)電流密度（書P35）超導(dǎo)B=0，及超導(dǎo)體是完全抗磁體。（抗磁體：M0，M

38、與H 反向?？勾朋w分子無(wú)固有磁矩）1274-6.3 superconductor as complete diamagnet 例：超導(dǎo)體球置于均勻外磁場(chǎng)中，求磁場(chǎng)和超導(dǎo)面電流分布解：超導(dǎo)電流看為磁化電流，無(wú)自由電流，體外、體內(nèi)磁標(biāo)勢(shì)滿足：用球坐標(biāo)，原點(diǎn)在球心；極軸沿外場(chǎng)方向。均勻外場(chǎng)的磁標(biāo)勢(shì)：1，2 用勒讓德多項(xiàng)式展開(kāi)，從邊界條件，1（R）= 0 只有cos 一次項(xiàng)，只展開(kāi)cos 一次項(xiàng)即可。從無(wú)窮遠(yuǎn)條件，R=0有限。勢(shì)展開(kāi)簡(jiǎn)化為：1284-6.3 superconductor as complete diamagnet R=R0 上：即：勢(shì)表達(dá)式帶入：1294-6.3 superconductor as complete diamagnet 球內(nèi)從2 ：因B2=0（H2 +M）=01304-6.3 s