離散3同態(tài)同構(gòu)

1、主要內(nèi)容：代數(shù)系統(tǒng)的基本概念代數(shù)系統(tǒng)間的關(guān)系同態(tài)同構(gòu)的基本概念同態(tài)同構(gòu)的性質(zhì)1設(shè)S為非空集合，*1,*2,*n為S上的代數(shù)運(yùn)算， 稱 為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)/代數(shù)結(jié)構(gòu)， S為該代數(shù)系統(tǒng)的定義域。有限代數(shù)系統(tǒng)：若S是有限集，其中|S|稱為該系統(tǒng)的階。例7：, , 其中: 7.1 代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)系統(tǒng) 4. 代數(shù)系統(tǒng) 時(shí)鐘代數(shù),稱1為生成元。子代數(shù)。27.2 同態(tài)與同構(gòu) 1. 基本概念(1)同類型：設(shè)A=和A=是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng), 如果iN(1in),*i和*i是同階運(yùn)算,則稱A和A是同型的。例1: 和同型，其中：+m和m分別定義為： i,jNm, i+mj=(i+j)mod m imj=(ij)mod m 和

2、？ 和？運(yùn)算個(gè)數(shù)和相應(yīng)的階都相同保持運(yùn)算：設(shè)*和*分別是集合S,S上的n元運(yùn)算，函數(shù)h:SS, 如果a1,anS,都有：h(*(a1,an)=*(h(a1),h(an), 則稱h關(guān)于*和*保持運(yùn)算。SSa1anh(a1)h(an)h:SSa*a*=h(a)例2:定義h:INm h(i)=i mod m 則h關(guān)于例1中的+和+m保持運(yùn)算， i,jI,設(shè)i=q1m+r1,j=q2m+r2(q1,q2N,0r1,r2m),則h(i+j)=h(q1m+r1+q2m+r2)=h(q1+q2)m+(r1+r2)=(r1+r2)mod m=h(i)+mh(j)同態(tài)同構(gòu)例3=r1+mr237.2 同態(tài)與同構(gòu)

3、1. 基本概念(2)同態(tài)和同構(gòu)：設(shè)A=和A=是同型的代數(shù)系統(tǒng)， 函數(shù)h:SS，如果iN(1in),h關(guān)于*i和*i都保持運(yùn)算，則稱 h為從A到A的同態(tài)映射，并稱A和A同態(tài)。特別地(1) 若h單射，則稱h為單一同態(tài)映射，稱A和A單一同態(tài)；(2) 若h滿射，則稱h為滿同態(tài)映射，稱A和A滿同態(tài)，用AA表示；(3) 若h雙射，則稱h為同構(gòu)映射，稱A和A同構(gòu)，用AA表示；(4) 若A=A，則稱h為自同態(tài)；(5) 若A=A且h雙射，則稱h為自同構(gòu)；如例1中， h: INm h(i)=i mod m 滿射且關(guān)于+和+m, 和m保持運(yùn)算。P14847.2 同態(tài)與同構(gòu) 1. 基本概念(3)例3：證明: 定義：h

4、:RR+, h(x)=ex (xR)（1） h是R到R+的函數(shù)， xR,都有R+中唯一的元素ex與之對(duì)應(yīng)；（2） h雙射， yR+，有l(wèi)nyR, 使h(lny)=elny=y h滿射 又 x1,x2R，當(dāng)x1x2時(shí), h單射（3） h關(guān)于+和保持運(yùn)算， x1,x2R，=h(x1)h(x2) h是到的同構(gòu)映射 2個(gè)系統(tǒng)間的同態(tài)/同構(gòu)映射是否唯一？P149 例7.2.4,如何證明hk是自同態(tài)/自同構(gòu)?5 7.2 同態(tài)與同構(gòu) 2.同態(tài)同構(gòu)的性質(zhì)(1)定理7.2.1:設(shè)f為從A=到A=的同態(tài)映射， g為從A=到A=的同態(tài)映射，則 gof是從A到A的同態(tài)映射。證明：由合成函數(shù)的性質(zhì)知： gof是從S到S

5、的函數(shù)。 iN(1in), a1,aniS, (其中：ni為*i的階） gof(*i(a1,ani)=g(f(*i(a1,ani) =g(*i(f(a1),f(ani)=*i(g(f(a1),g(f(ani) f為從A到A的同態(tài)映射 g是從A到A的同態(tài)映射=*i(gof(a1),gof(ani)gof關(guān)于*i和*i(1in）保持運(yùn)算，是從A到A的同態(tài)映射。6 7.2 同態(tài)與同構(gòu) 2.同態(tài)同構(gòu)的性質(zhì)(2)定理7.2.2 設(shè)f為從A=到A=的同構(gòu)映射， 則f-1是從A到A的同構(gòu)映射。需證：iN(1in), a1,aniS, (其中：ni為*i的階） f-1(*i(a1,ani)=*i(f-1(a1), f-1(ani)證明： f是從A到A的同構(gòu)映射， f是從S到S的雙射函數(shù) a1,aniS, 有a1,aniS，使f(a1)=a1 ,f(ani)=ani 即 f-1(a1)=a1 , f-1(ani)=ani f-1(*i(a1,ani) = f-1(*i(f(a1),f(ani) = f-1(f(*i(a1,ani)f是從A到A的同構(gòu)映射 =*i(a1,ani) = *i(f-1(a1), f-1(ani)7 7.2 同態(tài)與同構(gòu) 2.同態(tài)同構(gòu)的性質(zhì)(3)代數(shù)系統(tǒng)間的同構(gòu)關(guān)系具有自反、對(duì)稱和傳遞性。