連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域

1、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域第1頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.1 引言傅里葉變換法的不足：它一般只能處理符合狄利希萊條件的信號(hào)。傅里葉反變換時(shí)復(fù)變函數(shù)的廣義積分，難以計(jì)算。 本章引入的拉普拉斯變換分析法:一方面可從數(shù)學(xué)中積分變換的觀點(diǎn)直接定義；另一方面從信號(hào)分析觀點(diǎn)可看成是傅里葉變換在復(fù)頻域中的推廣,具有更為明確的物理意義；第2頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四因而拉普拉斯變換分析法常稱(chēng)為復(fù)頻域分析法。拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法都是建立在線性非時(shí)變系統(tǒng)的齊次性可迭加性基礎(chǔ)上的。只是信號(hào)分解的基本單元函數(shù)不同。傅里葉變換分解的基本單元信號(hào)

2、為：拉普拉斯變換分解的基本單元信號(hào)為：由此可見(jiàn)，拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法有許多類(lèi)似之處，事實(shí)上，傅里葉變換可視為拉普拉斯變換在=0時(shí)的一種特殊情況。第3頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四（2）基于拉普拉斯變換的復(fù)頻域轉(zhuǎn)移函數(shù)的零、極點(diǎn)分析是系統(tǒng)綜合所依賴(lài)的基礎(chǔ)之一。 拉普拉斯變換分析法是一個(gè)重要而有效的方法。（1）運(yùn)算簡(jiǎn)捷，且對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行變換時(shí)，能夠自動(dòng)記入初始條件。第4頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四本章內(nèi)容概要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂區(qū)常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯反變換拉普拉斯的基本性質(zhì)線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分

3、析法第5頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四（1）拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)定義和物理意義（2）拉普拉斯變換的性質(zhì)及計(jì)算方法（3）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法（4）系統(tǒng)函數(shù)的定義 下一節(jié)學(xué)習(xí)本章要求掌握：第6頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.2 拉普拉斯變換定義第7頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.2 拉普拉斯變換定義第8頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四稱(chēng)為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)稱(chēng)為雙邊拉普拉斯變換的收斂域（ROC）稱(chēng)為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù)注意，s要在收斂域（ROC）中第9頁(yè)，共99頁(yè)，202

4、2年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四單邊拉普拉斯變換：F(s)稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯變換； f(t)稱(chēng)為F(s)的原函數(shù)。第10頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.2 拉普拉斯變換物理意義: 雙、單邊L.T都可看作是F.T在復(fù)頻域中的推廣。從數(shù)學(xué)形式上看，L.T為將F.T中的j換成s的結(jié)果。從物理概念上講，F(xiàn).T將函數(shù)分解為許多形如ejt或cos(t)的單元函數(shù)之和。每一對(duì)正負(fù)分量構(gòu)成一等幅正弦振蕩，振幅 為無(wú)窮小量。 L.T將函數(shù)分解為形如est或et cos(t)指數(shù)分量之和，每一對(duì)正負(fù)的指數(shù)分量構(gòu)成一個(gè)變幅的正弦振蕩，振幅 也為無(wú)窮小量。s稱(chēng)為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)

5、稱(chēng)為復(fù)頻譜。第11頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.2 拉普拉斯變換F.T中構(gòu)成角頻率軸，L.T中s構(gòu)成復(fù)頻平面。s上的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的f(t)分量如圖示： 對(duì)應(yīng)一隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化的指數(shù)函數(shù)。0，為單調(diào)增長(zhǎng)指數(shù)； 0為單調(diào)衰減指數(shù)。|越大，增長(zhǎng)/衰減速率越大；1）實(shí)軸上頻率點(diǎn)（=0，est=et）：第12頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四（2）虛軸上頻率點(diǎn)（=0，est=ejt）：兩個(gè)正負(fù)值對(duì)應(yīng)一等幅正弦振蕩cost。s離軸越遠(yuǎn)，即|越大，則振蕩頻率越高； 第13頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四（3）復(fù)平面上點(diǎn)（s=+

6、j，est=et+jt）：0，s落在右半平面上：對(duì)應(yīng)一增幅正弦振蕩，s 離越遠(yuǎn)，振蕩頻率越高；離j軸越遠(yuǎn)，幅值增長(zhǎng)速率越大 ； 由上可以看出，復(fù)平面S上的每一對(duì)共軛對(duì)稱(chēng)點(diǎn)或?qū)嵼S上的每一點(diǎn)都唯一地對(duì)應(yīng)于一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)。 第14頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四前面說(shuō)過(guò)，L.T為F.T的復(fù)頻域推廣。反過(guò)來(lái)說(shuō)F.T為L(zhǎng).T在s=j，即=0時(shí)的特殊情況。 求F.T反變換時(shí)，廣義積分只能沿著虛軸求取，而L.T的則可在收斂區(qū)內(nèi)沿任何路徑求取。通過(guò)取定值，則積分沿與j平行且相距的直線進(jìn)行。用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理得知，ILT的求取比IFT的求取要簡(jiǎn)單容易的多。 5.2 拉普拉斯變換第

7、15頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.3 拉普拉斯變換的收斂域 由上面的討論可知，連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換（以下簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換）式F(s)是否存在，取決于f(t)乘以衰減因子以后是否絕對(duì)可積，即： 因此，在s平面上，使 絕對(duì)可積的區(qū)域稱(chēng)為L(zhǎng).T的絕對(duì)收斂域簡(jiǎn)稱(chēng)收斂域?；蚍Q(chēng)為L(zhǎng).T存在的充分條件。第16頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四一、單邊拉普拉斯變換的收斂域 從 可以看出，要使單邊拉普拉斯變換存在，通常要求f(t)是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質(zhì)。也就是，存在一個(gè)常數(shù)0，使得 在0范圍內(nèi)，對(duì)于所有大于定值T的時(shí)間t有界，且當(dāng)t趨于

8、時(shí)，其極限值為0。即：5.3 拉普拉斯變換的收斂域第17頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 根據(jù)0的值可以將s平面分為兩個(gè)區(qū)域。5.3 拉普拉斯變換的收斂域通過(guò)0的垂直線是收斂區(qū)的邊界，稱(chēng)為收斂邊界或收斂軸，0稱(chēng)為收斂坐標(biāo)；s平面上收斂軸之右的部分即為收斂區(qū)。第18頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四簡(jiǎn)單函數(shù)的收斂區(qū) 整個(gè)S平面5.3 拉普拉斯變換的收斂域單個(gè)脈沖信號(hào)：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)(t)：第19頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 右單邊指數(shù)衰減信號(hào)與其收斂域5.3 拉普拉斯變換的收斂域第20頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20

9、日，12點(diǎn)20分，星期四 左單邊指數(shù)增長(zhǎng)信號(hào)與其收斂域5.3 拉普拉斯變換的收斂域第21頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 雙邊指數(shù)信號(hào)與其收斂域5.3 拉普拉斯變換的收斂域第22頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 -2-2稱(chēng)為收斂因子 -2所以： -20第23頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)第24頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四推廣可得：5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第25頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯

10、變換第26頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第27頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第28頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第29頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第30頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第31頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四下一節(jié)5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換第32頁(yè)，共99頁(yè)，202

11、2年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換 在使用Laplace變換分析系統(tǒng)時(shí)，最后為求得系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，必須求拉普拉斯反變換。即求原函數(shù)。 原函數(shù)的基本求法：1、查表并利用拉普拉斯變換的性質(zhì)2、部分分式展開(kāi)法3、留數(shù)法 第33頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四部分分式展開(kāi)式法（海維塞展開(kāi)法）5.5 拉普拉斯反變換F(s)通常為s的有理分式，一般形式為：總的思路：有理假分式有理真分式最簡(jiǎn)分式之和f(t)部分分式展開(kāi)的方法同傳輸算子展開(kāi)法，將ps 按D(s) = 0的根(稱(chēng)為F(s)的極點(diǎn))有無(wú)重根等分別討論如下：第34頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20

12、日，12點(diǎn)20分，星期四1當(dāng)mn， D(s)=0的根無(wú)重根情況 (可為實(shí)根、虛根或復(fù)根),有理分式真分式F(s)可展開(kāi)如下的部分分式：第35頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第36頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第37頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第38頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第39頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第40頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，

13、星期四第41頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四補(bǔ)充例題 1.解：利用因式分解，有部分分式展開(kāi)待定系數(shù)第42頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第43頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第44頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第45頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.5 拉普拉斯反變換第46頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第47頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第48頁(yè)，共99頁(yè)，202

14、2年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四圍線積分法（留數(shù)法） 拉氏反變換是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的線積分當(dāng)F(s)為真分式時(shí)由復(fù)變函數(shù)中的約當(dāng)輔助定理知此積分可轉(zhuǎn)化為求F(s)全部極點(diǎn)Sk留數(shù)ResSk的代數(shù)和。1.若Sk為D(s)=0的單根即F(s)的單極點(diǎn)，一階極點(diǎn)，則：第49頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四2. 若Sk為D(s)=0的p 階重根即F(s)的r階極點(diǎn)，則： 當(dāng)F(s)為假分式時(shí)長(zhǎng)除法分解為多項(xiàng)式與有理真分式之和，多項(xiàng)式?jīng)Q定沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，再對(duì)真分式求留數(shù)決定其它項(xiàng)。留數(shù)法在含重根時(shí)，計(jì)算比部分分式法略為簡(jiǎn)單些. 第50頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，

15、12點(diǎn)20分，星期四第51頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第52頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第53頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)：若其中：C1,C2為任意常數(shù)則例：第54頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四2、尺度變換性：若f(t) F(s)，則 3、時(shí)移性：第55頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四例2: 求圖示信號(hào)的拉氏變換。第56頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四例3: 求周期矩形脈沖信號(hào)的拉氏變

16、換?！窘狻吭O(shè)第57頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四抽樣信號(hào)的拉氏變換 練習(xí)：第58頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 4、頻移性：若f(t) F(s)，則解： 證明：第59頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5、時(shí)域微分性：若f(t) F(s)，則若f(t) F(s)，則6、時(shí)域積分性：第60頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四解：第61頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四7、頻域微分性：若f(t) F(s)，則8、頻域積分性：若f(t) F(s)，則第62頁(yè)，共99頁(yè)，2022

17、年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 sin(ot )例：解：第63頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 9、時(shí)域卷積定理：若則10、頻域卷積定理：則若其中第64頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四初值: f(t)|t=0+=f(0+)若f(t) 有初值，且f(t) F(s)，則12、終值定理：終值: f(t)|t=f()若f(t) 有終值，且f(t) F(s)，則11、初值定理：注意：終值存在的條件：F(s)在s右半平面無(wú)極點(diǎn)， 在j軸上單實(shí)根極點(diǎn)F(S)=1/S。當(dāng)f(t)含有沖激及其導(dǎo)數(shù)時(shí)，有第65頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2

18、0分，星期四解：第66頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)第67頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)第68頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法一、由方程求響應(yīng) 利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，需要首先對(duì)描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到一個(gè)s域的代數(shù)方程;由于在變換中自動(dòng)地引入了系統(tǒng)起始狀態(tài)的作用，因而求出響應(yīng)的象函數(shù)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，再經(jīng)過(guò)拉氏反變換可以很方便地得到零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的時(shí)域解。

19、第69頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第70頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第71頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第72頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第73頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第74頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第75頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四第76頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四 例3： 線

20、性時(shí)不變系統(tǒng)的模型如下，且已知：f(t)=(t)，y(o-)=2， y(o-)=1。求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)以及全響應(yīng)y(t)。零輸入分量：第77頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四零狀態(tài)分量：全響應(yīng)：第78頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法二、由電路求響應(yīng)1、s域等效電路1）元件s域運(yùn)算阻抗 R，L，C R，sL, 1/sC2)信號(hào)象函數(shù) i(t)，u(t) I(s)，U(s)第79頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法 （a）時(shí)域電路模型電阻元件

21、時(shí)域與s域電路模型（b）s域電路模型取L.S變換第80頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四電容元件時(shí)域與s域電路模型（b）s域串聯(lián)電路模型（a）時(shí)域電路模型取L.S變換第81頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四電容元件時(shí)域與s域電路模型（c）s域并聯(lián)電路模型（a）時(shí)域電路模型取L.S變換電容元件的時(shí)域伏安關(guān)系還可以表示為：第82頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四電感元件的s域電路模型對(duì)兩邊分別求L.T，得 ：（a）時(shí)域電路模型（b）s域串聯(lián)電路模型第83頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四（a）時(shí)域電路模

22、型電感元件的s域電路模型對(duì)兩邊分別求L.T，得 ：電感元件的時(shí)域伏安關(guān)系還可以表示為：（c）s域并聯(lián)電路模型第84頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四（2）有了s域電路元件模型，就可以得到一般電路的s域模型。應(yīng)用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復(fù)頻域的代數(shù)方程，并進(jìn)行求解得到響應(yīng)的象函數(shù)，對(duì)所求的響應(yīng)象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時(shí)域解。5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第85頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四基爾霍夫定律KVL定律： KCL定律： 歐姆定律（零狀態(tài)）其中：（運(yùn)算阻抗）（運(yùn)

23、算導(dǎo)納）5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第86頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四基本步驟：1） 畫(huà)t=0-等效電路，求初始狀態(tài)；2） 畫(huà)s域等效模型；3） 列s域電路方程（代數(shù)方程）；4） 解s域方程，求出s域響應(yīng)；5） 反變換求t域響應(yīng)。5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法第87頁(yè)，共99頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)20分，星期四例5-11 圖5-11中，已知e(t)=10(t)，C=1F，R12=1/5，R2=1 ，L=1/2H，初始條件uC(0)=5V，iL(0)=4A，方向如圖，試求響應(yīng)電流i1(t)。圖5-11 （a）時(shí)域電路模型 第88頁(yè)，共99頁(yè)，202