附錄截面的幾何性質(zhì)

1、附錄 截面的幾何性質(zhì)Appendix I Properties of Plane Areas附錄 截面的幾何性質(zhì)(Appendix I Properties of plane areas)I-1 靜矩和形心 (The first moments of the area & centroid of an area)I-2 慣性矩和慣性半徑 (The moment of inertia & radius of gyration of the area )I-4 平行移軸公式 (Parallel-Axis theorem ) I-3 慣性積 (Product of inertia ) I-5 轉(zhuǎn)軸公

2、式 主慣性矩 (Rotation of axes & principal axes)I-1 靜矩和形心(The first moment of the area & centroid of an area)一、靜矩(The first moment of the area）OyzdAyz截面對(duì) y , z 軸的靜矩為靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零.yzO dA yz二、截面的形心(Centroid of an area)C（2）截面對(duì)形心軸的靜矩等于零. （1）若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必過(guò)形心.三、組合截面的靜矩和形心(The first moments ¢roid of a

3、composite area) 由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面. 截面各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和，等于該截面對(duì)于同一軸的靜矩.其中 Ai 第 i個(gè)簡(jiǎn)單截面面積1.組合截面靜矩(The first moments of a composite area) 2.組合截面形心(Centroid of a composite area)第 i個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo)解：組合圖形，用正負(fù)面積法解之.方法1 用正面積法求解. 將截面分為1，2 兩個(gè)矩形.例題1 試確定圖示截面形心C的位置.取 z 軸和 y 軸分別與截面的底邊和左邊緣重合101012012Ozy90圖(a)矩形 1矩形 2所以10

4、1012012Ozy90方法2 用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負(fù)面積C1yzI-2 慣性矩和慣性半徑 (The moment of inertia & radius of gyration of the area)yzOdAyz二、極慣性矩 (Polar moment of inertia）一、慣性矩 (Moment of inertia) 所以yzdydyzdAdA三、慣性半徑 (Radius of gyration of the area)解：bhyzCzdz例題2 求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸y, z軸的慣性矩. zyd解：因?yàn)榻孛鎸?duì)其圓心 O

5、的極慣性矩為 例題3 求圓形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩.所以yzOdAyz慣性積 (Product of inertia)（1）慣性矩的數(shù)值恒為正，慣性積則可 能為正值，負(fù)值，也可能等于零；I-3 慣性積(Product of inertia )（2）若y，z 兩坐標(biāo)軸中有一 個(gè)為截面的對(duì)稱軸，則 截面對(duì)y，z軸的慣性積 一定等于零。I-3 慣性積(Product of inertia )yzOdAdA如圖所示截面：yzOC(a,b)ba一、平行移軸公式 (Parallel-Axis theorem for moment of inertia)(a , b ) 形心C在 yOz坐標(biāo)系下的坐標(biāo)I-4

6、 平行移軸公式 (Parallel-axis theorem )y,z 任意一對(duì)坐標(biāo)軸C 截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC , zC 過(guò)截面的形心 C 且與 y, z軸平行 的坐標(biāo)軸(形心軸） Iy , Iz , Iyz 截面對(duì) y, z 軸的慣性矩和慣性積. 已知截面對(duì)形心軸 yC ,zC 的慣性矩和慣性積，求截面對(duì)與形心軸平行的 y,z軸慣性矩和慣性積，則平行移軸公式 IyC , IzC , IyCzC 截面對(duì)形心軸 yC , zC的慣性矩 和慣性積.二、組合截面的慣性矩 、慣性積 ( Moment of inertia & product of inertia for comp

7、osite areas ） 組合截面的慣性矩，慣性積第 i個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì) y, z 軸的慣性矩，慣性積.例題4 求梯形截面對(duì)其形心軸 yC 的慣性矩.解：將截面分成兩個(gè)矩形截面.2014010020截面的形心必在對(duì)稱軸 zC 上. 取過(guò)矩形 2 的形心且平行于底邊的軸作為參考軸記作 y軸.21zCyC所以截面的形心坐標(biāo)為y2014010020y21zcyC一 、轉(zhuǎn)軸公式 (Rotation of axes)I-5 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸(Rotation of axes & principal axes)yOz為過(guò)截面上的任 一點(diǎn)建立的坐標(biāo)系 Oyzy1z1y1Oz1為yOz 轉(zhuǎn)過(guò) 角后形成的新坐標(biāo)

8、系順時(shí)針轉(zhuǎn)取為 號(hào)逆時(shí)針轉(zhuǎn)取為 + 號(hào) 已知截面對(duì)坐標(biāo)軸軸 y, z 軸的慣性矩和慣性積求截面對(duì) y1，z1 軸慣性矩和慣性積.轉(zhuǎn)軸公式為Oyzy1z1顯然二、截面的主慣性軸和主慣性矩 (principal axes & principal moment of inertia) 主慣性軸(Principal axes )：總可以找到一個(gè)特定的角0 , 使截面 對(duì)新坐標(biāo)軸y0 , z0的慣性積等于0 , 則稱 y0 , z0 為主慣性軸.主慣性矩(Principal moment of inertia) ：截面對(duì)主慣性軸y0 , z0的慣性矩.形心主慣性軸(Centroidal principa

9、l axes) ：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí),則稱為形心主慣性軸.形心主慣性矩(Centroidal principal moment of inertia) ：截面對(duì)形心主慣性軸的慣性矩. 求出后，就確定了主慣性軸的位置.（1）主慣性軸的位置 設(shè) 為主慣性軸與原坐標(biāo)軸之間的夾角則有由此（2）主慣性矩的計(jì)算公式（3）截面的對(duì)稱軸一定是形心主慣性軸. 過(guò)截面上的任一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)對(duì)坐標(biāo)軸，其中必有一對(duì)是主慣性軸. 截面的主慣性矩是所有慣性矩中的極值.即求形心主慣性矩的方法（1）確定形心的位置（2）選擇一對(duì)通過(guò)形心且便于計(jì)算慣性矩（積）的坐標(biāo)軸 y,z, 計(jì)算 Iy , Iz , Iyz

10、（3）確定形心主慣性軸的方位（4）計(jì)算形心主慣性矩例題5 計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩.解：該圖形形心C的位置已確定，如圖所示. 過(guò)形心C選一對(duì)座標(biāo)軸 y z 軸，計(jì)算其慣性矩(積).101012025C4020yz20158035在第三象限分別由 y軸和z軸繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) 113.8 得出. 形心主慣性軸 y0 , z0101012070形心主慣形矩為C4020yzy00=113.8z0例題6 在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸.(b=1.5d)解：（1）建立坐標(biāo)系如圖.（2）求形心位置.（3）建立形心坐標(biāo)系，求db2dyzOyCzCCdb2dyzOyCzCC便是形心主軸便是形心主慣性軸所以思考題 1. 計(jì)算所示半圓環(huán)的形心及形心主慣性矩.royzOri思考題 2. 計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩.曲線方程為：byzOhz=f(y)思考