向量組的秩課件

1、線性代數(shù)與空間解析幾何 第十五講哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室 王 寶 玲第四章 n維向量4.3 向量組的秩1 單個向量組成的向量組 :(1)若 = 0, 則線性相關(guān); (2)若 0, 則線性無關(guān). 兩個向量組成的向量組, :(1)若對應(yīng)分量成比例,則線性相關(guān);(2)若對應(yīng)分量不成比例,則線性無關(guān).復(fù)習(xí)線性相關(guān)性的判定理論2設(shè)有n維向量組成的向量組:1,2,m(1)包含0向量線性相關(guān).(2)包含成比例的向量線性相關(guān).(3)線性相關(guān)存在一個向量可由其余的 向量線性表示.(4)線性無關(guān)任何向量都不能由其余的 向量線性表示.(m2)增加(減少)個數(shù)不改變相(無)關(guān)性.(5)(6)增加(減少)維數(shù)不改變

2、無(相)關(guān)性.3(7) 向量組1,2,m線性相關(guān)性 x11+x22+xmm=0有非零解 齊次線性方程組AX=0有非零解 其中A=(1 2 m), X=(x1,x2,xm)T(8)設(shè)有n個n維向量1,2,n:1,2,n線性相關(guān)|1 2 n|=0; 1,2,n線性無關(guān)|1 2 n|0.(9) Rn中n+1個向量一定線性相關(guān).(10)矩陣判別法.44.3 向量組的秩極大線性無關(guān)組與秩;2. 向量組的等價;3.向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系.本節(jié) 主要內(nèi)容54.3.1 向量組的極大無關(guān)組與秩定義1設(shè)S是n維向量構(gòu)成的向量組,在S中選取r個向量 ,如果滿足(1) 線性無關(guān)(2)任取 S,總有 線性相關(guān).則稱

3、向量組 為向量組S的一個極大線性無關(guān)組(簡稱極大無關(guān)組).數(shù) r 稱為該向量組的秩,記為r(1, 2, , s)= r 或秩(1, 2, , s)= r6 設(shè)有向量組 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T, 求向量組的秩和極大無關(guān)組.因 1 , 2 線性無關(guān) ,且例1所以1 , 2為極大無關(guān)組, 可知1 , 3和2 , 3也都是極大無關(guān)組.故 秩( 1, 2 , 3 ) =2.3 = 1+ 2解7定理4.2 設(shè)n維向量1,2,m線性無關(guān), 而1,2,m , 線性相關(guān), 則 可由 1,2,m 線性表示, 且表法唯一. 證 由1,2,m, 線性相關(guān) 存

4、在不全為零的數(shù)k1,k2,km,l使得下面證明只有l(wèi)0, 反證法.線性表示唯一性定理8如果 l =0, 則有k1, k2,km不全為零,使于是1, 2, , m 線性相關(guān),與已知矛盾.從而 l 0. 故有即 可由1, 2, , m線性表示. 下面來證明表示的唯一性.9假若 有兩種表示法,設(shè)兩式相減,得由1,2,m 線性無關(guān),得 可由1,2,m 唯一線性表示.故10設(shè)有兩個 n 維向量組若(I)中每個向量都可由(II)線性表示, 則稱 向量組(I)可由向量組(II)線性表示. 若向量組(I)和(II)可以互相線性表示, 則稱向量組(I)與(II)等價.定義24.3.2 向量組的等價等價的性質(zhì)自反

5、性、對稱性、傳遞性11 n維向量組存在數(shù) ,使得即定義存在rs矩陣K,使得 Bns =Anr 向量組(II)可由向量組(I)線性表示12極大無關(guān)組與原向量組的關(guān)系?極大無關(guān)組之間的關(guān)系?這都要用到兩個向量組之間的關(guān)系. 向量組極大無關(guān)組的幾個問題:向量組與它的極大無關(guān)組等價.證設(shè)(I)極大無關(guān)組. 不妨設(shè)(II)性質(zhì)1的秩為r,是(I)的一個13即(II) 可由(I) 線性表示.i ( i = 1,2,r) (II), 由(1) 由定義1知, 1, 2 , m中任意r+1個(2)故 (I)與(II) 等價.j (I) 向量都線性相關(guān). 如果j=1,r,j 顯然可由1, 2 , r 線性表示;如

6、果 j=r+1,m, 向量組1, 2 , r , j 一定線性相關(guān),所以 j ( j=r+1,m)可以由1, 2 , r 線性表示(I)可由(II)線性表示.14證 設(shè) (I), (II)是向量組S 的兩個極大 無關(guān)組,由性質(zhì)1知,(I)與S等價, (II)與S等價 ,由傳遞性(I)與(II)等價. 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.性質(zhì)2設(shè)有n 維向量組:若(I)線性無關(guān),且(I)可由(II)線性表示,則 r s .定理4.315證因為向量組(I)可由(II) 線性表示, 故有線性無關(guān),由矩陣判別法知故 r s.(I)(II)16推論2若(I)、(II)都線性無關(guān),且(I)與(II)等價,則

7、r = s .向量組的兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等推論3若(I)可由(II)線性表示,則秩(I)秩(II) .如果向量組(I)可由(II)線性表示, 且r s, 則(I) 線性相關(guān). 等價的無關(guān)向量組必然等秩推論117證 設(shè)r(I)=r , r(II)=s , (I),(II)分別是(I), (II) 的極大無關(guān)組,顯然(I), (II)含向量的 個數(shù)分別是r 與 s . 因為(I)可由(I) 線性表示, (I)可由(II) 線性表示,而(II)可由(II)線性表示,所以 (I)可由(II)線性表示.由定理4.3有r s.等價的向量組等秩18設(shè)若向量組1, 2, 3線性無關(guān),證明向量組1,

8、2, 3也線性無關(guān).證1 由已知可以解得用1, 2,3 來表示 1, 2, 3的表達(dá)式: 故兩向量組等價,等秩, r(1 2 3)=3r(1 2 3 ) =3 1, 2, 3 線性無關(guān). 例219證2 故兩向量組等價,等秩, 則 1, 2, 3 線性無關(guān).204.3.3 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理4.4r(Anm)=A的列向量組 的秩.分析記r(A)=r,往證 的秩為r, 即只要證 的極大無關(guān)組含r個向量.證r(A)= rA存在r階子式 Dr 0記 Dr 對應(yīng)的r 列為是r 維線性無關(guān)向量的接長,仍線性無關(guān).是線性相關(guān)的,下證21 j 不在 i1 , i2 , ,ir 中, j 在 i1

9、, i2 , ,ir 中; 線性相關(guān).r+1列對應(yīng)的子矩陣記為A1 ,r(A1) r(A)= r r +1而因為 線性相關(guān),所以是一個極大無關(guān)組.故r(A)= A的行秩= A的列秩由 ,又有 A 的行秩. 22 設(shè)AB=0. 若A的列向量組線性無關(guān),則B = 0.若B的行向量組線性無關(guān),則A = 0.若B0, 則A的列向量組線性相關(guān).若A0, 則B的行向量組線性相關(guān).分析 設(shè)B=(B1,B2,Bm), AB=0ABi=0. A的列向量組線性無關(guān)AX=0只有零解Bi=0, i=1,mB=0. 其余情況可以類似得到.例323將A=B行秩等;極大無關(guān)組的位置對應(yīng)相同;表示系數(shù)對應(yīng)相同當(dāng) 時,n維列向量組S:則向量組 與 初等變換法極大無關(guān)組和秩的求法行初等變換不改變A的秩,不改變列向量組之間的線性關(guān)系.24求矩陣A列向量組的一個極大無關(guān)組和秩, 并把其余列向量用所求出的極大無關(guān)組線性表示.解 通過初等行變換把A化為行最簡形例425為一個極大無關(guān)組26設(shè)有向量組1010=，=1100=2110=0011， 求向量組的(1)秩;(2)極大無關(guān)組;(3)表示系數(shù).解法1設(shè)1 1 2 00 1 1 01 0 1 10 0 0 1A=是該向量組的一個極大無關(guān)組. 1 1 0 0 1 1 0 0 1D=10由而|A|=0知秩=3,例527解法