屆高三數(shù)學-不等式基本不等式經(jīng)典例題高考真題剖析解析版

1、屆高三數(shù)學不等式基本不等式經(jīng)典例題高考真題剖析剖析版屆高三數(shù)學不等式基本不等式經(jīng)典例題高考真題剖析剖析版6/6屆高三數(shù)學不等式基本不等式經(jīng)典例題高考真題剖析剖析版基本不等式應用一：求最值例：求以下函數(shù)的值域211（1）y3x2x2（2）yxx解：(1)y3x2123x216值域為6，+）2x22x211(2)當x0時，yxx2xx2；11）21=2當x0時，yx=（xxxxx值域為（，22，+）解題技巧技巧一：湊項例已知x5，求函數(shù)y4x21的最大值。44x5解：因4x50，因此第一要“調(diào)整”符號，又(4x2)g15不是常數(shù)，因此對4x2要進行拆、湊項，4xQx5,54x0，y4x2154x5

2、1323144x54x當且僅當54x1，即x1時，上式等號成立，故當x1時，ymax1。54x技巧二：湊系數(shù)例：當時，求yx(82x)的最大值。剖析：由知，利用均值不等式求最值，必定和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數(shù)即可。當，即x2時取等號當x2時，yx(82x)的最大值為8。變式：設0 x34x(32x)的最大值。，求函數(shù)y232解：0 x0y4x(32x)22x(32x)22x32x932x222當且僅當2x32x,即x30,34時等號成立。2技巧三：分別、換元例：求yx27x10(x1)的值域。x1

3、剖析一：此題看似無法運用均值不等式，不如將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分別。當,即時,y2（x1)459（當且僅當x1時取“”號）。x1剖析二：此題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分別求最值。y2）=t25t4t45(t1)7(t1+10ttt當,即t=時,y2t459（當t=2即x1時取“”號）。ta技巧四：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)x的單調(diào)性。x例：求函數(shù)x25的值域。yx24解：令x24t(t2)，則yx25x241t1(t2)x24x24t因t0,t11，但t1解得t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。t1t5因

4、為yt1,單調(diào)遞加，因此在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞加函數(shù)，故y在區(qū)間。t2因此，所求函數(shù)的值域為5,。2技巧五：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知x0,y0，且191，求xy的最小值錯解：Qx0,y0，且191，xyxy19912故xymin12。xyyxy22xyxxy錯因：解法中兩次連用均值不等式，在xy2xy等號成立條件是xy，在1929等號成立條件是xyxy19即y9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式辦理問題時，列出等號成立條件xy是解題的必要步驟，而且是檢驗變換可否有誤的一種方法。正解：Qx0,y0,191，xyx

5、y19y9x1061016xyxyxyy9x194,y12時，xymin16。當且僅當時，上式等號成立，又x1，可得xxyy技巧六2y22例：已知x，y為正實數(shù)，且x21，求x1y的最大值.剖析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式a2b2ab。2同時還應化簡1y2中y2前面的系數(shù)為1，x1y2x21y22x1y22222下面將x，1y222分別看作兩個因式：12y212y22x1y2x(22)x223即x1y22x1y23222224224技巧七：1已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)yab的最小值.剖析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，平時有兩個路子，一是經(jīng)過消元，轉(zhuǎn)變成一元函數(shù)問題

6、，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對此題來說，這種路子是可行的；二是直接用基本不等式，對此題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能夠一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再經(jīng)過解不等式的路子進行。法一：302b，302b2b230bab1abb1bb1由a0得，0b152t234t31161616令tb+1，1t16，abt2（tt）34tt2tt8ab18y118當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2ba2b22ab30ab22ab令uab則u222u300，52u32ab32，ab18，y118議論：此題觀察不等式abab（a,b）2R的應用、不等

7、式的解法及運算能力；如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出發(fā)求得ab的范圍，要點是搜尋到ab與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式ab（）ab的不等式，進而解得ab的范圍.aba,bR，這樣將已知條件變換為含2技巧八、取平方例:求函數(shù)y2x152x(1x5)的最大值。22剖析：注意到2x1與52x的和為定值。y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y0，因此0y22當且僅當2x1=52x，即x3時取等號。故ymax22。2應用二：利用均值不等式證明不等式例：已知a、b、cR，且111abc11118bca剖析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不

8、等式可得三個“2”連乘，又111abc2bc，可由此變形下手。aaaa解：Qa、b、cR，abc1。111abc2bc。同理112ac，112ab。上述aaaabbcc三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1111112bcg2acg2ab8。當且僅當abc1時取等號。abcabc3應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的實數(shù)m的取值范圍。xy解：令xyk,x0,y0,191，xy9x9y1.10y9x1xykxkykkxky11023。k16，m,16kk應用四：均值定理在比較大小中的應用：例：若ab1,Plgalgb,Q1(lgalgb),Rlg(ab

9、)，則P,Q,R的大小關(guān)系是.22剖析：ab1lga0,lgb0Q1lgb)lgalgbp（lga2Rablgab1QRQP。lg()lgab22【高考真題訓練】1.(2010山東)已知x，yR，且滿足xy1，則xy的最大值為_3_.342.(2011陜西)設0ab，則以下不等式中正確的選項是(B)ababA.ababB.aab2b2ababC.aabb2D.aba20，v0，因此當l6.05時，76000v76000760001900，當且僅當v11時，取等號F2121121v18v121182vv18vv(2)當l5時，76000v760002000，F(xiàn)v218v10010018vv當且僅

10、當v10時，取等號，此時比(1)中的最大車流量增加100輛/小時72014福建卷要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米A80元B120元C160元D240元10元，則該容器的最低總造價是()C剖析設底面矩形的一邊長為x.由容器的容積為4m3，高為1m得另一邊長為4xm.記容器的總造價為y元，則4y4202xx11048020 xx80202x4x160，當且僅當x4，即x2時等號成立x因此，當x2時，y獲取最小值160，即容器的最低總造價為160元，應選C.8.2014遼寧卷關(guān)于c0，當非零實數(shù)a，b滿足4a22abb2c0且使

11、|2ab|最大時，124的最小值為_abc1剖析因為4a22abb2c（2ab）20，因此(2ab)2c6ab32ab34，因此(2ab)24c，2當且僅當b2a，c4a2時，|2ab|獲取最大值故12421111，其最小值為1.abcaa2a92014浙江卷已知實數(shù)a，b，c滿足abc0，a2b2c21，則a的最大值是_6bx，cy，則xya，x2y21a2，此時直線xya與圓x2y21剖析方法一：令3a2有交點，則圓心到直線的距離d|a|1a2，解得a22，因此a的最大值為6.233方法二：將c(ab)代入a2b2c21得2b22ab2a210，此關(guān)于b的方程有實數(shù)解，則(2a)2268(2a21)0，整理獲取a23，因此a的最大值為3.10.201