高中 高二 數(shù)學(xué) 函數(shù)的極值與最大(小)值 第二課時

1、 函數(shù)的最大（?。┲到虒W(xué)設(shè)計人大附中深圳學(xué)校 張紅紅內(nèi)容與內(nèi)容解析1、內(nèi)容 函數(shù)的最大（?。┲档母拍?，通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，解決實際生活中的最值問題2、內(nèi)容解析: 高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊， 第五章， 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 5.3.2 函數(shù)的極值與最大（?。┲?第二課時) 第一課時學(xué)習(xí)了函數(shù)的極值，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是整個定義域上的性質(zhì)。但是，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們往往關(guān)心函數(shù)在定義域內(nèi)或指定的區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小，所以本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有更進(jìn)一步的意義。目標(biāo)和目標(biāo)解析:1、目標(biāo) （1）了解函數(shù)的最大（小）值的概念，能夠區(qū)分極值與最值

2、。（2）能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式的最大(小)值。（3）掌握導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用。2、目標(biāo)解析（1）對于給定的函數(shù)，能利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大（?。┲怠＃?）對于生活中的實際問題，能合理建模，建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值。（3）通過求導(dǎo)與最值的探求，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等。三、教學(xué)問題診斷分析:應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及解決應(yīng)用題中的最值問題是本課時應(yīng)重點關(guān)注的問題，而函數(shù)圖象簡圖的描繪過程中的細(xì)節(jié)處理（如極限思想的應(yīng)用），應(yīng)用題中的數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用以及對現(xiàn)實最值問題體現(xiàn)的實際意義的理解，都值得我們花大

3、力氣去突破。教學(xué)支持條件分析:學(xué)生必需具備畫出函數(shù)大致圖象的能力，所以教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生如何抓住特殊點和增長趨勢畫出簡圖。過程分析和畫圖完畢后最好借助信息技術(shù)（例如幾何畫板）給予學(xué)生更為規(guī)范的圖象展示，并且有意識地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)驗證自己圖象正確與否的能力。教學(xué)過程設(shè)計:（一）情境導(dǎo)入1.提出生活中遇到的最值問題某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最?。俊驹O(shè)計意圖】用實

4、際問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出數(shù)學(xué)的實用價值回顧函數(shù)的極值 若函數(shù)yf(x) 的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側(cè)圖象單調(diào)遞減，右側(cè)圖象單調(diào)遞增. 則f(a)叫做yf(x)的極小值若函數(shù)yf(x) 的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點xb附近的左側(cè)圖象單調(diào)遞增，右側(cè)圖象單調(diào)遞減. 則f(b)叫做yf(x)的極大值【設(shè)計意圖】溫故而知新，為即將學(xué)習(xí)函數(shù)的最值奠定知識層面上的基礎(chǔ)。3.導(dǎo)入”函數(shù)的最值”在社會生活實踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高、效益最大等問題，這些問題的解決常

5、常涉及到求一個函數(shù)的最大值和最小值問題.極值是一個局部概念，只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.【設(shè)計意圖】自然過渡到本節(jié)課函數(shù)的最大值和最小值問題的學(xué)習(xí)，闡述進(jìn)一步學(xué)習(xí)的實際意義。（二）定義新知如果是某個區(qū)間上函數(shù)的最大（?。┲迭c，那么不?。ù螅┯诤瘮?shù)在此區(qū)間上的所有函數(shù)值.如圖，根據(jù)函數(shù)，的圖象，可知，是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，最大值是.提問:函數(shù)極值與最值的關(guān)系1.在定義域內(nèi), 最值唯一,極值不唯一。2.最大值一定比最小值大,極大值不一定比極小值大.3.最值可能是極值，也可能不是極值。(學(xué)生活動

6、:分組討論總結(jié))【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生厘清極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系（三）例題講解例1 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.(教師活動:板書過程)【設(shè)計意圖】為規(guī)范答題做好示范。解：因為，所以.令，解得或.當(dāng)x變化時，的變化情況如表所示.x200單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當(dāng)時，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時，有極小值，并且極小值為.故在區(qū)間上，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，為.又由于，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，最小值是.提問:總結(jié)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的步驟?(學(xué)生活動:分組討論總結(jié))【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己總結(jié)，理解更深，為解決例2提供方法指導(dǎo)。一般的，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的步驟如下：（1

7、）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.例2 給定函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖象；（3）求出方程的解的個數(shù).(教師活動:分析，提示，巡堂查看，及時糾錯)(學(xué)生活動:學(xué)生獨立完成，分組討論，投影最佳解答)【設(shè)計意圖】讓學(xué)生親自實踐求極值和最值的過程，摸索畫圖的方法，與同伴交流找出錯誤，實現(xiàn)知識完善和思維嚴(yán)謹(jǐn)上的飛躍。解：（1）函數(shù)的定義域為.令，解得.，的變化情況如表所示.x0單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，有極小值.（2）令，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的圖

8、象經(jīng)過特殊點，.當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，從而；當(dāng)時，.根據(jù)以上信息，畫出的大致圖象如圖所示.（3）方程的解的個數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù).由（1）及上圖可得，當(dāng)時，有最小值.所以關(guān)于方程的解的個數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)時，解為0個；當(dāng)或時，解為1個；當(dāng)時，解為2個.思考:畫出函數(shù)f(x)的大致圖象的步驟 (學(xué)生活動:分組討論總結(jié))畫出函數(shù)f(x)的大致圖象的步驟如下:（1）求出函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點；（3）用的零點將的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出的單調(diào)性與極值；（4）確定的圖象所經(jīng)過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；（5）畫出的大致圖

9、象.（四）鞏固訓(xùn)練已知對任意恒成立，則實數(shù)a的最大值為( )A.0B.1C.D.(學(xué)生活動:思考，板演)(教師活動:巡堂查看，及時糾錯)解析：由題意，知對任意恒成立，令，則，令，得，當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最小值為，所以，故選C。（五）導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用例3 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？解：由題意知，每瓶飲料的利潤是，.所以，令，解得

10、.當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，當(dāng)半徑時，單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑時，單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低.（1）半經(jīng)為6 cm時，利潤最大.（2）半經(jīng)為2 cm時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值.(學(xué)生活動:思考函數(shù)表達(dá)式的建立，定義域的確定，簡圖的獲得，最值的實際意義)(教師活動:分析，提示，PPT展示過程)【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生理性地分析和理解最值的實際意義，為未來生活或生產(chǎn)決策奠定數(shù)學(xué)建模的意識與基礎(chǔ)。（六）課堂小結(jié)函數(shù)最值問題：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.只要把函數(shù)的所有極值連同端點的函數(shù)值進(jìn)行比

11、較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值；導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用：通過數(shù)學(xué)建模的思想找到相關(guān)變量的函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以求出函數(shù)的最大值或最小值，更好地為生產(chǎn)或生活服務(wù)。（七）作業(yè)布置 教科書習(xí)題5.3第6，8，10題x2x200遞增遞減遞增在區(qū)間上，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，為.又，所以最大值是4，最小值是.例2 極限思想例3 現(xiàn)實意義小結(jié)：比較 所有極值 和 端點的函數(shù)值作業(yè)：教科書習(xí)題5.3第6，8，10題. 函數(shù)的最大（?。┲?1.極值最值若是函數(shù) 在某區(qū)間上的最大（小）值，則不小（大）于此區(qū)間上的所有函數(shù)值. 極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系例1解：由得得或.目標(biāo)檢測設(shè)計:1.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則m的值為(

12、)A.0 B.1 C.2 D.解析：由題意，得，易知，當(dāng)時，；當(dāng)或時，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. 又，所以最大值為，解得.故選C.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對多項式函數(shù)在閉區(qū)間的最值的求解方法的理解。2.近年來，線上教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢.假設(shè)某網(wǎng)站的試卷每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價格x（單位：元/套）滿足關(guān)系式，其中，m為常數(shù)，已知當(dāng)銷售價格為4元/套時，每日可售出試卷21千套.（1）求m的值；（2）假設(shè)網(wǎng)站的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套試卷2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)站每日銷售試卷所獲得的利潤最大（保留1位小數(shù)）.