fortran數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)

1、 21/21fortran數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ) 數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ) 目錄 實(shí)驗(yàn)一直接法解線性方程組的 (2) 實(shí)驗(yàn)二插值方法 (11) 實(shí)驗(yàn)三數(shù)值積分 (5) 實(shí)驗(yàn)四常微分方程的數(shù)值解 (7) 實(shí)驗(yàn)五迭代法解線性方程組與非線性方程 (9) 實(shí)驗(yàn)一 直接法解線性方程組 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握全選主元消去法與高斯-塞德爾法解線性方程組。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 分別寫出Guass 列選主元消去法與追趕法的算法，編寫程序上機(jī)調(diào)試出結(jié)果，要求所編程序適用于任何一解線性方程組問題，即能解決這一類問題，而不是某一個(gè)問題。實(shí)驗(yàn)中以下列數(shù)據(jù)驗(yàn)證程序的正確性。 1、用Guass 列選主元消去法求解方程組 ?=?-5.58.37.33.47

2、.11.85.16.93.51.53.25.2321x x x 2、用追趕法求解方程組 ? ? ? ?-=?000010210000210000210000210000 254321x x x x x 三、實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備與材料 主流微型計(jì)算機(jī) 四、實(shí)驗(yàn)原理 1、Guass 列選主元消去法 對(duì)于AX =B 1）、消元過程：將（A|B ）進(jìn)行變換為)|(B A ，其中A 是上三角矩陣。即： ? ? ? ? ? ?n nn n n n nn n n n n b a b a b a a b a a a b a a a b a a a 0 01 01221112 2 1 222221111211 k 從1

3、到n-1 a 、 列選主元 選取第k 列中絕對(duì)值最大元素ik n i k a max 作為主元。 b 、 換行 i k ij kj b b n k j a a ?+=?,1, c 、 歸一化 k kk k kj kk kj b a b n k j a a a ?+=?/,1,/ d 、 消元 n k i b b a b n k j n k i a a a a i k ik i ij kj ik ij ,1,1;,1, +=?-+=+=?- 2）、回代過程：由) |(B A 解出11,x x x n n -。 1 ,2,1,/1 -=?- ?+=n k x x a b x a b k n k j

4、 j kj k n nn n 2、追趕法 線性方程組為： ? ? ? ?=? ? ? ?n n n n n n n n n f f f f f x x x x x a b c a b c a b c a b c a 132* 3 3 3 22211 做LU 分解為： ? ? ? ? ? ? ?=? ? ?=-1111,1213 3221n n n R L 分解公式： ? ? ? -=-=-)1,2,1(),3,2(,),3,2(1 11n i c n i b b n i a i i i i i i i i i 則 ? ? ?=?=?=y Ux f Ly f LUx f Ax 回代公式： ? ?

5、 ? =-=-) ,3,2(1 111n i y f y f y i i i i i ? ?-=-=+) 1,2,1(1 n n i x y x y x i i i i n n 五、實(shí)驗(yàn)步驟 1、理解并掌握全選主元消去法與高斯-塞德爾迭代法公式； 2、畫出全選主元消去法與高斯-塞德爾迭代法的流程圖 3、使用C 語言編寫出相應(yīng)的程序并調(diào)試驗(yàn)證通過 六、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求 1、統(tǒng)一使用武漢科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告本書寫，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的內(nèi)容要求有：實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)內(nèi)容、程序流程圖、源程序、運(yùn)行結(jié)果及實(shí)驗(yàn)小結(jié)六個(gè)部分。 2、源程序需打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)； 3、運(yùn)行結(jié)果以屏幕截圖形式保存并打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)。 七

6、、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng) 注意如何定義數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以保存矩陣和解以降低算法的復(fù)雜性。 八、思考題 若使用全主元消去法，在編程中應(yīng)如何記錄保存對(duì)于未知數(shù)的調(diào)換。 實(shí)驗(yàn)二 插值方法 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握拉格郎日插值法與牛頓插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 分別寫出拉格郎日插值法與牛頓插值法的算法，編寫程序上機(jī)調(diào)試出結(jié)果，要求所編程序適用于任何一組插值節(jié)點(diǎn)，即能解決這一類問題，而不是某一個(gè)問題。實(shí)驗(yàn)中以下列數(shù)據(jù)驗(yàn)證程序的正確性。 已知下列函數(shù)表 求x=0.5635時(shí)的函數(shù)值。三、實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備與材料 主流微型計(jì)算機(jī) 四、實(shí)驗(yàn)原理 已知n 個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，則可由拉格郎日插值公式與牛頓插值公式構(gòu)造出插值多項(xiàng)式，從

7、而由該插值多項(xiàng)式求出所要求點(diǎn)的函數(shù)值。拉格郎日插值公式與牛頓插值公式如下： 1、Lagrange 插值公式 ) ()(.)()()(0 1100 x l y y x l y x l y x l x L n k k k n n n =+= =+-+=n k j j j k j n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 011101110)()()() ()()()( 2、Newton 插值公式 ) ()(,) )(,)(,)()(11010102100100+-+-+=n n n x x

8、 x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 五、實(shí)驗(yàn)步驟 1、理解并掌握拉格郎日插值法與牛頓插值法的公式； 2、畫出拉格郎日插值法與牛頓插值法算法的流程圖； 3、使用C 語言編寫出相應(yīng)的程序并調(diào)試驗(yàn)證通過。 六、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求 1、統(tǒng)一使用武漢科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告本書寫，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的內(nèi)容要求有：實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、程序流程圖、源程序、運(yùn)行結(jié)果及實(shí)驗(yàn)小結(jié)六個(gè)部分。 2、源程序需打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)； 3、運(yùn)行結(jié)果以屏幕截圖形式保存并打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)。 七、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng) Newton插值法在編程時(shí)應(yīng)注意定義何種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以保存差商。 八

9、、思考題 比較Lagrange插值法與Newton插值法的異同。 實(shí)驗(yàn)三 數(shù)值積分 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握復(fù)化梯形法與龍貝格法計(jì)算定積分。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 分別寫出變步長(zhǎng)梯形法與Romberge 法計(jì)算定積分的算法，編寫程序上機(jī)調(diào)試出結(jié)果，要求所編程序適用于任何類型的定積分，即能解決這一類問題，而不是某一個(gè)問題。實(shí)驗(yàn)中以下列數(shù)據(jù)驗(yàn)證程序的正確性。 求 00001.0,sin 1 0?dx x x 。 三、實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備與材料 主流微型計(jì)算機(jī) 四、實(shí)驗(yàn)原理 通過變步長(zhǎng)梯形法與龍貝格法，我們只要知道已知n 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，則可由相應(yīng)的公式求出該函數(shù)的積分值，從而不需要求該函數(shù)的原函數(shù)。變步長(zhǎng)梯形法與龍

10、貝格法公式如下： 1、變步長(zhǎng)梯形法 -=-=+=+=1 11 01)()(2)(2) ()(2 n i i n i i i n b f x f a f h x f x f h T -=+=1 2/12)(221n i i n n x f h T T 用-n n T T 2來控制精度 2、龍貝格法 -=+=1 2/12)(221n i i n n x f h T T n n n T T S 31342-= n n n S S C 15115162-= n n n C C R 63163642-= 用-n n R R 2來控制精度 五、實(shí)驗(yàn)步驟 1、理解并掌握變步長(zhǎng)梯形法與龍貝格法的公式； 2、畫

11、出變步長(zhǎng)梯形法與龍貝格法的流程圖 3、使用C 語言編寫出相應(yīng)的程序并調(diào)試驗(yàn)證通過 六、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求 1、統(tǒng)一使用武漢科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告本書寫，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的內(nèi)容要求有：實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)內(nèi)容、程序流程圖、源程序、運(yùn)行結(jié)果及實(shí)驗(yàn)小結(jié)六個(gè)部分。 2、源程序需打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)； 3、運(yùn)行結(jié)果以屏幕截圖形式保存并打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)。 七、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng) 在 ?1 0sin dx x x 積分中，被積函數(shù)在x=0點(diǎn)函數(shù)值為1，對(duì)該點(diǎn)在程序設(shè)計(jì)中應(yīng)注意對(duì)其 的定義。 八、思考題 使用復(fù)化梯形法與復(fù)化Simpson 法來計(jì)算該問題有何缺點(diǎn)？ 實(shí)驗(yàn)四 常微分方程的數(shù)值解 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握改進(jìn)歐拉法與四階龍

12、格-庫塔求解一階常微分方程的初值問題。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 分別寫出改進(jìn)歐拉法與四階龍格-庫塔求解的算法，編寫程序上機(jī)調(diào)試出結(jié)果，要求所編程序適用于任何一階常微分方程的數(shù)值解問題，即能解決這一類問題，而不是某一個(gè)問題。實(shí)驗(yàn)中以下列數(shù)據(jù)驗(yàn)證程序的正確性。 求? ?=-=) 50(2 )0(2 x y xy y 步長(zhǎng)h=0.25。 三、實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備與材料 主流微型計(jì)算機(jī) 四、實(shí)驗(yàn)原理 常微分方程的數(shù)值解主要采用“步進(jìn)式”，即求解過程順著節(jié)點(diǎn)排列次序一步一步向前推進(jìn)，在單步法中改進(jìn)歐拉法和四階龍格-庫塔法公式如下： 1、改進(jìn)歐拉法 ),(1n n n n y x hf y y +=+ ) ,(),(211

13、1+=n n n n n n y x f y x f h y y 2、四階龍格-庫塔法 ? ? ? ? ? +=+=+=+=+) ,()2 ,2()2,2(),()22(6 3423 12143211 hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 五、實(shí)驗(yàn)步驟 1、理解并掌握改進(jìn)歐拉法與四階龍格-庫塔法的公式； 2、畫出改進(jìn)歐拉法與四階龍格-庫塔法的流程圖 3、使用C 語言編寫出相應(yīng)的程序并調(diào)試驗(yàn)證通過 六、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求 1、統(tǒng)一使用武漢科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告本書寫，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的內(nèi)容

14、要求有：實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)內(nèi)容、程序流程圖、源程序、運(yùn)行結(jié)果及實(shí)驗(yàn)小結(jié)六個(gè)部分。 2、源程序需打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)； 3、運(yùn)行結(jié)果以屏幕截圖形式保存并打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)。 七、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng) ? ?=-=) 50(2 )0(2 x y xy y 的精確解為)1/(22x y +=，通過調(diào)整步長(zhǎng)，觀察結(jié)果的 精度的變化 八、思考題 如何對(duì)四階龍格-庫塔法進(jìn)行改進(jìn)，以保證結(jié)果的精度。 實(shí)驗(yàn)五 迭代法解線性方程組與非線性方程 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組與牛頓迭代法求方程根。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 分別寫出高斯-塞德爾迭代法與牛頓迭代法的算法，編寫程序上機(jī)調(diào)試出結(jié)果，要求所編程序適

15、用于任何一個(gè)方程的求根，即能解決這一類問題，而不是某一個(gè)問題。實(shí)驗(yàn)中以下列數(shù)據(jù)驗(yàn)證程序的正確性。 1、高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組 ? ?-=?01741323151122231592127 4321x x x x 2、用牛頓迭代法求方程013=-x x 的近似根，00001.0，牛頓法的初始值為1。 三、實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備與材料 主流微型計(jì)算機(jī) 四、實(shí)驗(yàn)原理 二分法通過將含根區(qū)間逐步二分，從而將根的區(qū)間縮小到容許誤差范圍。牛頓通過迭代的方法逐步趨進(jìn)于精確解，該兩種方法的公式如下： 1、高斯-塞德爾迭代法 1）判斷線性方程組是否主對(duì)角占優(yōu) n i a a ii n i j j ij ,2,1,1

16、 = 2）直接分離xi ，即 n i a x b d x ii n j j ij i i ,2,1,/)(1 =-= 建立高斯-塞德爾迭代格式為： n i a x a x a d x ii n i j k j ij i j k j ij i k i ,2,1,/)(1 ) (1 1 ) 1() 1( =- -=+=-=+ 3）取初值迭代求解至所要求的精度為止。 2、牛頓法 ) () (1k k k k x f x f x x - =+ 五、實(shí)驗(yàn)步驟 1、理解并掌握二分法與牛頓法的公式； 2、畫出二分法與牛頓法的流程圖 3、使用C 語言編寫出相應(yīng)的程序并調(diào)試驗(yàn)證通過 六、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求 1、統(tǒng)一使

17、用武漢科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告本書寫，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的內(nèi)容要求有：實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?shí)驗(yàn)內(nèi)容、程序流程圖、源程序、運(yùn)行結(jié)果及實(shí)驗(yàn)小結(jié)六個(gè)部分。 2、源程序需打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)； 3、運(yùn)行結(jié)果以屏幕截圖形式保存并打印后粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)內(nèi)。 七、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng) 對(duì)于二分法應(yīng)注意二分后如何判斷根的區(qū)間，對(duì)于牛頓法注意如何確定迭代過程的結(jié)束 八、思考題 若使用牛頓法是發(fā)散的，如何對(duì)牛頓法進(jìn)行改進(jìn)以保證其收斂性。 前三個(gè)實(shí)驗(yàn)的程序代碼（C/C+）和運(yùn)行結(jié)果截圖 Gauss 全選主元解方程組的源程序及運(yùn)行結(jié)果 #include #include using namespace std; class Matrix publi

18、c: Matrix(); Matrix(); void SetMatrix(const int n,const double esp1);/構(gòu)造線性方程組相應(yīng)的矩陣，n 為方程的未知數(shù)數(shù)目，esp1為要求的精度 void Max(const int r);/全選主元 void ChangeRC(const int r);/根據(jù)主元變換矩陣的行或列 void Eliminate(const int r);/處理消元工作 void Result()const;/計(jì)算方程的解 void Calculate(); int GetRank()const;/返回矩陣的行數(shù) double GetX(cons

19、t i)const;/確定方程組的第i個(gè)解(1n; if(nesp1; if(esp1*(a+i*N+j); cin*(b+i); /flag中存儲(chǔ)的值對(duì)應(yīng)相應(yīng)的x值，當(dāng)方程的解由于列變換交換后，flag中/的值也相應(yīng)交換，最后用于恢復(fù)解的順序 for( i=0;in; while(n*c*f; for(int i=1;i*(c+i)*(f+i); cin*(a+i-1)*(b+i)*(f+i); void MatrixThr:Result() /對(duì)系數(shù)矩陣A作Crout分解 for(int i=0;i #include using namespace std; class Lagrange

20、public: Lagrange(); Lagrange(); void SetLagrange(const int n);/根據(jù)用戶的輸入設(shè)置Lagrange類中的插值點(diǎn)數(shù)據(jù) bool Exist(const double x,const int i);/檢測(cè)是否輸入了與前i個(gè)插值結(jié)點(diǎn)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn) int GetN()const;/獲取插值結(jié)點(diǎn)的數(shù)目 void Calculate(const double a);/計(jì)算橫坐標(biāo)a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 double GetResult()const;/返回計(jì)算的函數(shù)值 private: int N;/插值結(jié)點(diǎn)的數(shù)目 double *x,*y,zx,zy

21、;/x、y分別用于存儲(chǔ)插值點(diǎn)的數(shù)據(jù)，zx、zy表示所求的坐標(biāo)點(diǎn) ; int main() int n=2; Lagrange L; do if(na; L.Calculate(a); cout*(x+i)*(y+i); /如果不是輸入第一個(gè)坐標(biāo)值，則會(huì)對(duì)輸入的橫坐標(biāo)進(jìn)行合法性檢測(cè) while(i!=0 cin*(x+i)*(y+i); void Lagrange:Calculate(const double a) zx=a; for(int i=0;in; while(nx; cout*(a+i)*(f+i); int Matrix:GetN() const return N; void Ma

22、trix:Calculate() /將差商存儲(chǔ)在一個(gè)一維數(shù)組內(nèi) for(int i=0;ii;-j) *(f+j)=(*(f+j)-*(f+j-1)/(*(a+j)-*(a+j-i-1); double Matrix:GetResult(double x) const /利用差商和插值點(diǎn)的橫坐標(biāo)及第一個(gè)插值點(diǎn)的縱坐標(biāo)計(jì)算函數(shù)值 double result=*f;/指針f指向第一個(gè)插值點(diǎn)的縱坐標(biāo) for(int i=1;i #include using namespace std; double function(const double x);/求被積函數(shù)的值并返回 /accumulate()

23、為求定積分的函數(shù)，a、b分別為積分的上下限,默認(rèn)精度為0.00001 double accumulate(const double a,const double b,const double eps=0.00001); int main() double a,b,eps;/a,b分別為定積分的上限和下限,h為步長(zhǎng),eps為要求的精度a=0; b=1; eps=0.00001; couteps) n*=2; h/=2;/步長(zhǎng)折半 T1=T2; /利用T1計(jì)算T2 double temp=0; for(int i=1;i #include using namespace std; /求被積函數(shù)的值

24、并返回 double fun(const double x); /Romberge()為求定積分的函數(shù)，a、b分別為積分的上下限,默認(rèn)精度為0.00001 double Romberg(const double a,const double b,const double eps=0.0001); /函數(shù)Tm()為T-數(shù)表的計(jì)算公式 double Tm(const double T1,const double T2,const int m); int main() double a,b,eps;/a,b分別為定積分的上限和下限,h為步長(zhǎng),eps為要求的精度a=0; b=1; eps=0.0000

25、1; cout0 (C)()(00 x f x f 0 (D)()(00 x f x f 0 5、改進(jìn)歐拉法的平均形式公式是( ) (A)?+=+=+=+)(21),(),(1c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (B)? ? ? ?+21=+=+=1+1+1+) (),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (C)?+2=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y h y y x hf y y y x hf y y (D)?

26、 ? ? ?+21=+=+=1+1+) (),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y 二、填空題（每小題3分，共15分） 1、sin1有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相對(duì)誤差限是 . 2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，求方程x=f(x) 根的牛頓迭代格式是 . 3、設(shè)42)(2+=x x f ，則=2,1f . 4、在區(qū)間 ,a b 上的插值型求積公式系數(shù)01,A A ,n A 滿足01A A +n A . 5、二階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是 . 三、解答題（每小題10分，共50分） 1、用列主元消去法解線性方程組 123240531192

27、203x x x ?-=?-? 2、用牛頓法求6的近似值，取初始值20=x ，進(jìn)行二次迭代。 3、已知有y=f(x) 求其代數(shù)插值多項(xiàng)式并給出其余項(xiàng)。 4、給出數(shù)值積分公式： )3 1 ()()(h Bf h Af dx x f h h +-? - 確定A 、B 使得該數(shù)值積分公式的代數(shù)精度盡可能的高，并確定其代數(shù)精度為多少？ 5、用歐拉法解初值問題，要求保留4位有效數(shù)字。 ? ?=+=1 )0() 5.0,10(y h x y x y 四、綜合題（每小題10分，共20分） 1、試?yán)脭?shù)值積分的方法推導(dǎo)求解初值問題的梯形公式為 ),(),(2 111+=n n n n n n y x f y

28、x f h y y ，并證明該方法是二階方法。 2、設(shè)l 0(x )是以n +1個(gè)互異點(diǎn)x 0,x 1,x 2,x n 為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù) ) ).()() ).()()(n n x x x x x x x x x x x x x l = 02010210 試?yán)门ｎD插值法證明： ) ).()() ).()(.)()()()(1)(02010110201010100n n 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l + +-+ =- 數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)考試樣卷 參考答案 一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 1、D 2、D 3

29、、C 4、B 5、D 二、填空題（每小題3分，共15分） 1、 00625.01016 1 10821112=?=?-+- 2、 ) (1) (1k k k k k x f x f x x x =+ 3、 6 4、 b-a 5、 O(h 3) 三、解答題（每小題10分，共50分） 1、解： 21 2131 32 2 ()3 23 47 24053119311924052203220331 193119142142010133338225909003377r r r r r r r r +-?+-?-? ? ? ? -? ? -?-?-? -? ? 8分 回代得3215911 ,4,2 2 x

30、x x =- 2分 2、解： )6 (21)6(2 1)()()(,2)(6)(1 2n n n x x x x x f x f x x x x f x x f +=+=- =-=+，? 7分 450 .22049)51225(21500.225)262(212 210=+=+= =x x x 3分 3、 解 法一： 待定系數(shù)法 設(shè)22102)(x a x a a x P +=，則 （3分） ? ?=-=?=+=+=+1 1179334212 10210210210a a a a a a a a a a a a （3分） 即1)(22+-=x x x P （1分） 法二：Lagrange 插值

31、法 ) 1(1 )3(7 ) 23)(13() 2)(1(3)32)(12()3)(1(1)31)(21()3)(2()3() ()(22 2分分分+-=?+?+?= =x x x x x x x x x l y x P i i i 法三：Newton 插值法 （3分） 1 )2)(1()1(21) )(,)(,)()(21021001002+-=-+-+=-+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N （4分） 余項(xiàng)為)3)(2)(1(6 ) ()(2?= x x x f x R （3分） 4、 解： 令x x f ,1)(=時(shí)，該公式精確成

32、立，則 2分 ? ?=? ?=+-=+h B h A B A h B A 2 32 1 0312 4分 即 )3 1 (23)(21)(h hf h hf dx x f h h +- ? - 1分 令2)(x x f = 左= 3232h dx x h h = ? -，右=?+-?3223 2 )31(23)(21h h h h h 左 1分 令3)(x x f = 左= 03=?-h h dx x ，右=-=?+-?433 9 4)31(23)(21h h h h h 左 1分 即公式的代數(shù)精度為2次 1分 5、解： 使用歐拉法計(jì)算公式為 n n n n n n n n n n n x y

33、hx y h y x h y y x hf y y 5.05.1)1()(),(1+=+=+=+=+ 6分 500 .105.015.15.05.10 01=?+?=+=x y y 2分 500 .25.05.05000.15.15.05.11 12=?+?=+=x y y 2分 四、綜合題（每小題10分，共20分） 1、解： ) ,(),(2 )(,()(,(2 )(,()()(111 1111 +=?+ =-?+n n n n n n n n n n x x n n y x f y x f h y y x y x f x y x f h dx x y x f x y x y n n 4分

34、階次的證明： 即證)()(311h O y x y n n =-+ )(2 )()()()(32 1h O h x y h x y x y x y n n n n + +=+ (1) 2分 ),(),(2 111+=n n n n n n y x f y x f h y y 令)(n n x y y =，右邊的)(11+=n n x y y ) (2 )()()()(1 )()()(2)() (,()(,(2 )(32 2111h O h x y h x y x y h O h x y x y x y h x y x y x f x y x f h x y y n n n n n n n n

35、n n n n n +=+=+=+ (2) 2分 (1)(2),得 )()(311h O y x y n n =-+ 2分 2、 證明： 顯然 0)(),.(,0)(,1)(0201000=n x l x l x l x l 2分 )()(1)()()()(,0201000000100k k i i i k x x x x x x x x l x x l x x x l = 2分 則l 0(x )的牛頓插值多項(xiàng)為： ) ).()() ).()(.)()()()(1)(0201011020101010n n 0n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

36、 x x x x N + +-+ =- 2分 又因?yàn)?)() 1(0 =+x l n ，故有 0).()()! 1() ()()(10) 1(00=+=-+x x x x x x n l x N x l n n 2分 所以有 ) ).()() ).()(.)()()()(1)()(02010110201010100n n 0n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N x l + +-+ =- 2分 一、填空（共20分，每題2分） 1、設(shè)，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=_. 2、設(shè)一階差商， 則二階差商 3、數(shù)值微分中，已知等距

37、節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值 則由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式，有 4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值 ， 那么 5、解初始值問題近似解的梯形公式是 6、，則A的譜半徑，A的 7、設(shè)，則 和 8、若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都_ 9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截?cái)嗾`差為_ 10、設(shè)，當(dāng)時(shí)，必有分解式，其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素足條件時(shí)，這種分解是唯一的。 二、計(jì)算題（共60 分，每題15分） 1、設(shè) （1）試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H（x）使?jié)M足H（x）以升冪形式給出。（2）寫出余項(xiàng)的表達(dá)式 2、已知的滿足，試問如何利

38、用構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù)，使0，1收斂？ 3、試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式 有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？ 4、推導(dǎo)常微分方程的初值問題的數(shù)值解公式： 三、證明題 1、設(shè) （1）寫出解的Newton迭代格式（2）證明此迭代格式是線性收斂的 2、設(shè)R=ICA，如果，證明： （1）A、C都是非奇異的矩陣 （2） 參考答案： 一、填空題 1、2.3150 2、 3、 4、1.5 5、 6、 7、 8、收斂 9、O（h） 10、 二、計(jì)算題 1、1、（1） （2） 2、由，可得 因故 故，k=0,1,收斂。 3、，該數(shù)值 求積公式具

39、有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的 4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對(duì)方程在區(qū)間 上積分，得 ，記步長(zhǎng)為h,對(duì)積分 用Simpson求積公式得 所以得數(shù)值解公式： 三、證明題 1、證明：（1）因，故，由Newton 迭代公式： n=0,1, 得，n=0,1, （2）因迭代函數(shù)，而，又，則 故此迭代格式是線性收斂的。 2、證明：（1）因，所以IR非奇異，因IR=CA，所以C，A都是非奇異矩陣 （2）(2)故則有 （2.1） 因CA=IR，所以C=（IR）A-1，即A-1=（IR）-1C 又RA-1=A-1C，故 由（這里用到了教材98頁引理的結(jié)論） 移項(xiàng)得 (2.2) 結(jié)合（2.1）、(2.

40、2)兩式，得 北京交通大學(xué) 20072008學(xué)年第二學(xué)期期末考試試題 課程名稱：計(jì)算方法出題教師：_韓臻_ 專業(yè):_計(jì)科_班級(jí):_ 姓名:_ 學(xué)號(hào):_ 一、 填空(每小題6分，共30分) 1 在計(jì)算 )1ln(2x y += 時(shí)，如果x 有絕對(duì)誤差 0.002，則計(jì)算結(jié)果 y 的 絕對(duì)誤差不超過 _ _ 。 2 設(shè) )()()(2x g a x x f -=，0)(a g 。請(qǐng)給出數(shù)值求解方程0 )(=x f 的根a 的牛頓迭代公式：_ _ 。 3 用雅可比迭代法求解線性代數(shù)方程組? ? ? ?=? ? ?-31131112 110 3321x x x ，試問其迭代是否收斂？_ ； 為什么？_

41、 _ _ 。 4 請(qǐng)給出三次樣條插值函數(shù)的3個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)：(1)_，(2)_，(3)_ 。 5 已知 )1(),75.0(),5.0(),25.0(),0(f f f f f 的值。試?yán)眠@5個(gè)值給 出求積分? 1 )(dx x f 近似值的一個(gè)數(shù)值積分公式：_ _ _ _。 二、 Matlab 部分 (每小題15分，共30分) 1. 設(shè)方程 012 )cos()(=+- =x x x f ，用二分法求該方程的根，要求誤差不超過 e 0.001，輸出根及迭代次數(shù)，最后畫出曲線并標(biāo)注近似根的位置。試給出整個(gè)過程相應(yīng)的Matlab 命令。 2. 用列主元高斯消元法求解線性代數(shù)方程組 ? ? ? ?=? ? ?-131* 1321x x x ,最 后輸出結(jié)果。 試給出整個(gè)求解過程相應(yīng)的Matlab 命令。 三、 綜合題(每題20分,共40分) 1 用最