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文檔簡介
1、5.3、二次型與對稱矩陣的有定性1、定義 如果對于任意一組不全為零的實數(x1, x2, x n)，都有 f(x1, x2, x n) 0,則稱實二次型f(x1, x2, x n)正定，其n階實對稱矩陣A稱為正定矩陣.用矩陣描述：例1所以f正定，其矩陣In是正定矩陣.正定例2所以是半負定.例3是不定.2、實二次型（實對稱矩陣A）正定的判別方法：（1）、下列條件都是實二次型f(x1, x2, x n) = XTAX 正定的充 分必要條件： 正慣性指數為n.A的所有順序主子式全大于零.A的特征值全大于零.A與單位矩陣In合同.存在正交矩陣Q，使例4解22-4-4-2-2它的順序主子式為=1 0=1
2、 0所以f正定.（1）（2）令經過這個非退化的線性變換，二次型化為因此該二次型的正慣性指標為2，從而該二次型不是正定的.例5解解不等式組（2）、正定矩陣的性質：A是正定矩陣，若A B，則B也是正定矩陣.A正定 |A| 0，即A可逆.A正定 kA( k 0)，AT，A1，A*也是正定矩陣.A正定 A的主對角線上的元素a jj 0.證明：A正定 A*也是正定矩陣.證方法一設A的特征值為且|A| 0，并且A*的特征值為：即A*的全部特征值都大于零，所以A*也是正定矩陣.方法二由A正定知，|A| 0，且存在可逆矩陣C，使于是其中且P為可逆矩陣，所以A*也是正定矩陣.例6設A是n階正定矩陣，I是n階單位
3、矩陣，證明|A+I|1.設A的特征值為證則A+I的特征值分別為從而也可證明A+I正定例7證代入已知等式，得因為故滿足得因為A為實對稱矩陣，其特征值一定為實數，故只有=1，即A的全部特征值都大于零，因此A是正定矩陣.n階可逆矩陣A與I等價。只有單位矩陣In與In相似。只有正定矩陣與單位矩陣合同。1、設A和B為n階矩陣，則（ ）成立（1）、A B A和B等價；（2）、 A和B等價 A B ；（3）、A B A和B等價；（4）、 A和B等價 A B ；（5）、 A B A B ；（6）、 A B A B ；1,32、設A和B為實n階對稱矩陣，則（ ）成立（a）、 A B A B ；（b）、 A B A B ；bn階實數矩陣A，如果ATA=I，稱A為正交矩陣.都是實對稱矩陣，但A,B不相似此時A與B雖合同，但特征值是不同的.（b）、 A B A B ；事實上，由于A,
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