最優(yōu)控制理論課件

1、第六章 動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法第六章 動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法 6-1 一般概念 6-2 最優(yōu)控制中的變分法 6-3 無約束條件的泛函極值問題 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題 6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題 6-6 極小值原理 6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制 最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的核心，20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的，已形成系統(tǒng)的理論。 所謂最優(yōu)控制系統(tǒng)，是在一定的具體條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。本章重點(diǎn)討論了最優(yōu)控制系統(tǒng)常用的方法：變分法、極小值原理和線性二次型優(yōu)化三種方法及在典型系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。6-1 一般概念最優(yōu)控制：在系統(tǒng)的狀態(tài)方程和約束給

2、定的情況下，尋找最優(yōu)控制律，使 系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。一、概述6-1 一般概念2.初態(tài)和終態(tài)：最優(yōu)控制的四個(gè)要素：1.狀態(tài)方程：3.容許控制 ：目標(biāo)集二、問題的提出L為狀態(tài)控制過程中對工作品質(zhì)的要求一般表示:對終端狀態(tài)的要求4.性能指標(biāo) ：6-1 一般概念三.性能指標(biāo)的類型積分型性能指標(biāo):末值型性能指標(biāo):復(fù)合型性能指標(biāo)：四.主要數(shù)學(xué)方法 解析法 數(shù)值法 梯度型法6-1 一般概念6-2 最優(yōu)控制中的變分法一.泛函與變分的基本概念1.泛函與變分的基本概念 (1)泛函(2)函數(shù)的變分(3)泛函的連續(xù)性：(4)線性泛函：6-2 最優(yōu)控制中的變分法(5)泛函的變分6-2 最優(yōu)控制中的變分法泛函變分的求

3、法定理：性質(zhì)：6-2 最優(yōu)控制中的變分法5.例解:6-2 最優(yōu)控制中的變分法6-2 最優(yōu)控制中的變分法二、泛函的極值6-3 無約束條件的泛函極值問題 -橫截條件定理：設(shè)- 歐拉方程6-3 無約束條件的泛函極值問題 (1) 固定始端和終端則橫截條件為：tx(t)tft06-3 無約束條件的泛函極值問題 (4)自由始端和自由終端(3)自由始端和固定終端橫截條件為：橫截條件為：(2)固定始端和自由終端則橫截條件為：tx(t)tft0tx(t)tft06-3 無約束條件的泛函極值問題 (4)自由始端和自由終端橫截條件為：tx(t)tft0例 已知解：求6-3 無約束條件的泛函極值問題 6-4 有約束條

4、件下的泛函數(shù)極值問題定理：設(shè)歐拉方程橫截條件例已知: 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題設(shè)解: 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題則：為常數(shù) 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題解得：這里由得：由邊界條件： 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題由得：即：6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題設(shè)狀態(tài)方程其中，求構(gòu)造Harmilton函數(shù)：式中：拉格朗日乘子分量6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題下面分兩種情況進(jìn)行討論:對于最優(yōu)控制問題一、末端時(shí)刻固定,任意(終端自由)求最優(yōu)解的必要條件.下面分兩種情況進(jìn)行討論:定理:對于最優(yōu)控制問題一、末端時(shí)刻固定,任意(終端自由)最優(yōu)解的必要條件:正則方程滿足1.6-5

5、 變分法求解最優(yōu)控制問題6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題其中：Harmilton函數(shù)2.邊界條件橫截條件3.極值條件6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題證明:構(gòu)造增廣泛函6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題例設(shè)系統(tǒng)試求使6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題其中給定，求解：6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題當(dāng)二、末端時(shí)刻固定,受約束定理：對于min（終端受約束）其中正則方程1.滿足其中：6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題2.邊界條件：橫截條件：3.極值條件：6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題6-6 極小值原理 例一階系統(tǒng) 極小值原理由前蘇聯(lián)學(xué)者龐德里亞金于1956年提

6、出，它由變分法引申而來。定理：設(shè)定常系統(tǒng)只要求：固定時(shí)，求的必要條件：1.正則方程其中定理：設(shè)定常系統(tǒng)只要求：固定時(shí)，求的必要條件：6-6 極小值原理 2.橫截條件3.極小值條件邊界條件6-6 極小值原理 已知系統(tǒng)求：例解：線性定常系統(tǒng)， 固定， 自由， 受約束6-6 極小值原理 由協(xié)態(tài)方程使Hmin得：得：6-6 極小值原理解得：由當(dāng) 求出 時(shí) 的初態(tài)6-6 極小值原理6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制一.問題的提出設(shè)系統(tǒng)其中其中6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制二次型指標(biāo)中各項(xiàng)的物理含義：表示對過程的要求，對每個(gè)狀態(tài)分量的要求由Q陣來控制表示對控制能力的要求，即在整個(gè)控制過程中，消耗能量最少表示對終點(diǎn)狀態(tài)的要求，對每個(gè)狀態(tài)分量的要求由F陣來控制6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制 線性二次型最優(yōu)控制問題指：線性系統(tǒng)，性能指標(biāo)為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分及二次型末值項(xiàng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器：輸出調(diào)節(jié)器：輸出跟蹤調(diào)節(jié)器：二.有限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 (tf 固定 )設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制性能泛函式中最優(yōu)性能指標(biāo)其中滿足下列黎卡提矩陣微分方程邊界條件最優(yōu)軌跡滿足：6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制三.無限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器 （ ）系