信號與線性系統(tǒng)-管致中第1章系統(tǒng)

1、第一章 信號與系統(tǒng)Signals and Systems信號的描述信號的自變量變換基本信號系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的性質(zhì)本章的基本內(nèi)容:1.0 引言 ( Introduction ) 討論信號與系統(tǒng)的基本概念，建立其 相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述方法，以便利用這種數(shù)學(xué)描述及其表示方法，建立一套信號與系統(tǒng)的分析體系。目的： 1.1 連續(xù)時間與離散時間信號（Continuous-Time and Discrete-Time Signals）一.信號： 信號可以描述范圍極其廣泛的物理現(xiàn)象。信號可以分為確知信號與隨機(jī)信號，也可以分為連續(xù)時間信號與離散時間信號。 確知信號可以表示成一個或幾個自變量的函數(shù)。作為信號分析的基

2、礎(chǔ)，本課程只研究確知信號。連續(xù)時間信號的例子：離散時間信號的例子：信號的描述： 離散時間信號人口年份190019301930196019602000人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)連續(xù)時間信號 連續(xù)時間信號在離散時刻點上的樣本可以構(gòu)成一個離散時間信號。二. 信號的能量與功率：連續(xù)時間信號在 區(qū)間的平均功率定義為：連續(xù)時間信號在 區(qū)間的能量定義為：離散時間信號在 區(qū)間的能量定義為離散時間信號在 區(qū)間的平均功率為在無限區(qū)間上也可以定義信號的總能量：連續(xù)時間情況下:離散時間情況下:在無限區(qū)間內(nèi)的平均功率可定義為：1. 能量信號信號具有有限的總能量， 即：三類重要信號：2. 功率信號信號有無限的總能量，但平均功率 有限。

3、即：3. 信號的總能量和平均功率都是無限的。 即：1.2 自變量變換 （Transformations of the Independent Variable)由于信號可視為自變量的函數(shù)，當(dāng)自變量改變時，必然會使信號的特性相應(yīng)地改變。當(dāng) 時，信號向右平移時，信號向左平移當(dāng) 時，信號向右平移 時，信號向左平移1.2.1 時移變換：Shift of Signals2. 反轉(zhuǎn)變換：Reflection of Signals 信號以 為軸呈鏡像對稱。與連續(xù)時間的情況相同。3. 尺度變換： Scaling時, 是將 在時間上壓縮a倍，時, 是將 在時間上擴(kuò)展1/a倍。實例： 照片放大。1.2 自變量變換

4、 由于離散時間信號的自變量只能取整數(shù)值，因而尺度變換只對連續(xù)時間信號而言。01234562112322220123例如：1.2 自變量變換 顯然 是從 中依次抽出自變量取偶數(shù)時的各點而構(gòu)成的。這一過程稱為對信號 的抽?。╠ecimation）。綜合示例： 由011011/23/2011/21/6做法一：1.2 自變量變換做法二 ：做法三 ：011011/3011/61/2 10 1011/67/6011/61/21.2 自變量變換 可視為周期信號，但它的基波周期沒有確定的定義。1.2.2. 周期信號：周期信號： 滿足此關(guān)系的正實數(shù)（正整數(shù)）中最小的一個，稱為信號的基波周期 （ ）?？梢砸暈橹芷?/p>

5、信號，其基波周期 。1.2 自變量變換如果有 則稱該信號是偶信號。（鏡像偶對稱）1.2.3. 奇信號與偶信號： odd Signals and even Signals對實信號而言：非周期信號周期信號1.2 自變量變換如果有 則稱該信號為奇信號 （鏡像奇對稱）如果有 則稱該信號為共軛偶信號。如果有 則稱為共軛奇信號。對復(fù)信號而言： 1.2 自變量變換 任何信號都能分解成一個偶信號與一個奇信號之和。對實信號有：其中其中1.2 自變量變換對復(fù)信號有：其中：其中：0-1-21212-2210-111-1例1：1.2 自變量變換例2. 信號的奇偶分解：1.3 指數(shù)信號與正弦信號 （Exponentia

6、l and Sinusoidal Signals ）1.3.1. 連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號其中 C, a 為復(fù)數(shù)1. 實指數(shù)信號： C，a 為實數(shù)呈單調(diào)指數(shù)上升。0c呈單調(diào)指數(shù)下降。是常數(shù)。2. 周期性復(fù)指數(shù)信號與正弦信號:，不失一般性取實部與虛部都是正弦信號。顯然是周期的，其基波周期為：0一般情況下其基波周期為 , 基波頻率為 ，當(dāng) 時通常稱為直流信號。對 而言，它在一個周期內(nèi)的能量是它的平均功率為：3. 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: 當(dāng)k取任何整數(shù)時，該信號集中的每個信號都是彼此獨立的。只有該信號集中的所有信號才能構(gòu)成一個完備的正交函數(shù)集。 該信號集中的每個信號都是周期的，它們的頻率分別

7、為 ，都是 的整數(shù)倍，因而稱它們是成諧波關(guān)系的。 信號集中信號的基波頻率為 ，基波周期為 ， 各次諧波的周期分別為 ，它們的公共周期是 。4. 一般復(fù)指數(shù)信號:其中 C, a 為復(fù)數(shù)令 則 該信號可看成是振幅按實指數(shù)信號規(guī)律變化的周期性復(fù)指數(shù)信號。它的實部與虛部都是振幅呈實指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩。當(dāng) 時，是指數(shù)增長的正弦振蕩。 時，是指數(shù)衰減的正弦振蕩。 時，是等幅的正弦振蕩。當(dāng) 時，呈單調(diào)指數(shù)增長 時，呈單調(diào)指數(shù)衰減 時，呈擺動指數(shù)衰減 時，呈擺動指數(shù)增長二. 離散時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號 一般為復(fù)數(shù)1. 實指數(shù)信號： 均為實數(shù)2. 正弦信號：其中 為實數(shù)。 離散時間正弦信號不一定是周期的，

8、這是與連續(xù)時間正弦信號的重大區(qū)別。 離散時間信號的頻率表示為 ，其量綱是弧度。3. 一般復(fù)指數(shù)信號：令則 其實部與虛部都是幅度按實指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。當(dāng) 時幅度呈指數(shù)增長， 時幅度呈指數(shù)衰減。 對 ，當(dāng) 時，對應(yīng)的信號振蕩頻率越來越高不會發(fā)生逆轉(zhuǎn)。 而對 ， 當(dāng) 時，只要是 變化 的范圍，如 ，則由于 ，總是會有 。這表明：當(dāng) 變化時，并非所有的 都是互相獨立的。離散時間信號的有效頻率范圍只有 區(qū)間。其中 ， 處都對應(yīng)最低頻率； 或 處都對應(yīng)最高頻率。 三.離散時間復(fù)指數(shù)序列的周期性 離散時間復(fù)指數(shù)序列 不一定是周期性的，要具有周期性，必須具備一定條件。 即于是有設(shè) 則有： 表明只有在 與

9、 的比值是一個有理數(shù)時， 才具有周期性。 在滿足周期性要求的情況下，總能找到互為質(zhì)數(shù)的兩個正整數(shù) m, N 使得：（m與N無公因子） 此時 即為該信號的周期, 也稱為基波周期,因此該信號的基波頻率為 。 信號 和 的比較 不同，信號不同對任何 信號都是周期的基波頻率基波周期：T0頻差 的整數(shù)倍時，信號相同僅當(dāng) 時， 信號是周期的基波頻率基波周期：N 離散時間周期性復(fù)指數(shù)信號也可以構(gòu)成一個成諧波關(guān)系的信號集。 該信號集中的每一個信號都是以N為周期的, N是它們的基波周期。稱為直流分量， 稱為基波分量。稱為二次諧波分量等等。每個諧波分量的頻率都是 的整數(shù)倍。一. 離散時間單位脈沖與單位階躍1. 單

10、位脈沖序列:1.4 單位沖激與單位階躍（The Unit Impulse and Unit Step Functions）定義102. 單位階躍序列 :，定義，與 之間的關(guān)系：一次差分10具有提取信號 中某一點的樣值的作用。1單位階躍，102. 單位沖激 定義： 定義的不嚴(yán)密性，由于 在 不連續(xù)，因而在該處不可導(dǎo)。二. 連續(xù)時間單位階躍與單位沖激定義：定義 如圖所示:10可認(rèn)為0即 可視為一個面積始終為1的矩形，當(dāng)其寬度趨于零時的極限。顯然當(dāng) 時表示為1001 矩形面積稱為沖激強度。顯然有：0也具有提取連續(xù)時間信號樣本的作用。用階躍表示矩形脈沖G(t) 0 tG1(t) 0 t0 t輸入信號與

11、輸出響應(yīng)都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)1.5 連續(xù)時間與離散時間系統(tǒng) 一. 系統(tǒng)（Continuous-Time and Discrete-Time Systems）連續(xù)時間系統(tǒng)： 系統(tǒng)是非常廣泛的概念。通常將若干相互依賴，相互作用的事物所組成的具有一定功能的整體稱為系統(tǒng)。它可以是物理系統(tǒng)，也可以是非物理系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的基本思想：1. 根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。通常表現(xiàn)為描述輸入輸出關(guān)系的方程。2. 建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)：輸入信號與輸出響應(yīng)都是離散時間信號的系統(tǒng)。 本課程所研究的對象LTI（Linear TimeInvariant System

12、s）系統(tǒng)就是這樣的一類系統(tǒng)。 （2）很多工程實際中的系統(tǒng)都能夠利用這類系統(tǒng)的方法建模（即具有普遍性）。為此要求所研究的系統(tǒng)具有以下兩點重要特性:（1）這一類系統(tǒng)應(yīng)該具有一些性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，通過它們能夠?qū)ο到y(tǒng)的行為作出透徹的描述，并能對這一類系統(tǒng)建立有效的分析方法（即可行性）。 可以通過對簡單系統(tǒng)（子系統(tǒng)）的分析并通過子系統(tǒng)互聯(lián)而達(dá)到分析復(fù)雜系統(tǒng)的目的。 也可以通過將若干個簡單子系統(tǒng)互聯(lián)起來而實現(xiàn)一個相對復(fù)雜的系統(tǒng)。這一思想對系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合都是十分重要的。二. 系統(tǒng)的互聯(lián) （Interconnection of Systems） 現(xiàn)實中的系統(tǒng)是各式各樣的，其復(fù)雜程度也大相徑庭。但許多系統(tǒng)都可以分

13、解為若干個簡單系統(tǒng)的組合。2. 并聯(lián) ( parallel interconnection )1. 級聯(lián) (cascade interconnection)3. 反饋聯(lián)結(jié) ( Feedback interconnection )工程實際中也經(jīng)常將級聯(lián)、并聯(lián)混合使用，如：III 在任何時刻，系統(tǒng)的輸出都只與當(dāng)前時刻的輸入有關(guān)，而與該時刻以外的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)。否則就是記憶系統(tǒng)，即（memory systems 或 systems with memory )。 如果一個系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不僅與當(dāng)時的輸入有關(guān),而且與該時刻以外的其它時刻的輸入有關(guān)，則系統(tǒng)是記憶的。1.6 系統(tǒng)的基本性質(zhì)

14、( Basic System Properties ) 1. 記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng) (memory systems and memoryless systems)例如：（電容）RC、RLC電路（累加器）（差分器）等都是記憶系統(tǒng) 在無記憶系統(tǒng)中有一種特例，即任何時刻系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入信號都相同，即有 , 或 。這樣的無記憶系統(tǒng)稱為恒等系統(tǒng) ( identity system )。 2. 可逆性與逆系統(tǒng) (Inveritibility and inverse systems) 如果一個系統(tǒng)對任何不同的輸入都能產(chǎn)生不同的輸出，即輸入與輸出是一一對應(yīng)的，則稱該系統(tǒng)是可逆系統(tǒng)( invertible

15、systems )。 如果一個系統(tǒng)對兩個或兩個以上不同的輸入信號能產(chǎn)生相同的輸出，則系統(tǒng)是不可逆的，稱為不可逆系統(tǒng)( noninvertible systems )。 如果一個可逆系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)級聯(lián)后構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)，則稱后者是前者的逆系統(tǒng) ( inverse system )。例如: 是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是: 是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是:輸入 時, ；輸入 時, 。是不可逆系統(tǒng)，因為有兩個不同的也是不可逆的，因為 不可逆； 也是不可逆系統(tǒng)。 調(diào)制或編碼過程必須是可逆的，其逆系統(tǒng)是解調(diào)器或解碼器。而輸入 和 能產(chǎn)生相同的輸出。 如果一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出都只與當(dāng)時這個時刻的輸入以及該時刻以前的

16、輸入有關(guān)，而和該時刻以后的輸入無關(guān)就稱該系統(tǒng)是因果的( causal )。否則就是非因果的( noncausal )。3. 因果性 (causality) 一般說來，非因果系統(tǒng)是物理不可實現(xiàn)的。這體現(xiàn)了因果性對系統(tǒng)實現(xiàn)的重要性。但對非實時處理信號的離散時間系統(tǒng)，或信號的自變量并不具有時間概念的情況，因果性并不一定成為系統(tǒng)能否物理實現(xiàn)的先決條件。4. 穩(wěn)定性 ( stability ) 如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入有界時，產(chǎn)生的輸出也是有界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)(stable system)。否則，就是不穩(wěn)定系統(tǒng)(unstable system)。例如：單擺、RC電路都是穩(wěn)定系統(tǒng)； 也是穩(wěn)定系統(tǒng)。都是不穩(wěn)

17、定系統(tǒng)。 如果一個系統(tǒng)當(dāng)輸入信號有一個時移時，輸出響應(yīng)也產(chǎn)生同樣的時移。除此之外，輸出響應(yīng)無任何其它變化，則稱該系統(tǒng)是時不變的(time-invariant)。否則就是時變的( time-varying )。 工程實際中總希望所設(shè)計的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此穩(wěn)定性對系統(tǒng)來說是非常重要的。5. 時不變性 ( Time-invariance )即：若 則系統(tǒng)是時不變的。檢驗一個系統(tǒng)時不變性的步驟:令輸入為 ，根據(jù)系統(tǒng)的描述，確定此時的輸出 。將輸入信號變?yōu)?，再根據(jù)系統(tǒng)的描述確定輸出 。3. 令 根據(jù)自變量變換，檢驗 是否等于 。如當(dāng) 時，時，由于系統(tǒng)是時變的。當(dāng)令則有：又如：該系統(tǒng)是時變的。當(dāng) 時，當(dāng)

18、 時，令則有：而6. 線性（Linearity） 其中a,b是常數(shù)（包括復(fù)數(shù)），滿足此關(guān)系的系統(tǒng)是線性的。若 例如： ,滿足可加性，但不滿足齊次性。當(dāng) 時其實部變?yōu)樘摬?，虛部變?yōu)閷嵅?。滿足齊次性但不滿足可加性。因為，若輸入為 則 如果一個系統(tǒng)是線性的，當(dāng)我們能夠把輸入信號 分解成若干個簡單信號的線性組合時，只要能得到該系統(tǒng)對每一個簡單信號所產(chǎn)生的響應(yīng)，就可以很方便的根據(jù)線性特性，通過線性組合而得到系統(tǒng)對 的輸出響應(yīng)。即:若 ，且則這一思想是信號與系統(tǒng)分析理論和方法建立的基礎(chǔ)。 在工程實際中，有一類系統(tǒng)并不滿足線性系統(tǒng)的要求。但是這類系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的增量與輸入信號的增量之間滿足線性特性。這類系統(tǒng)稱為增量線性系統(tǒng)（i