新教材人教B版選擇性必修第三冊(cè)-5.5-數(shù)學(xué)歸納法-學(xué)案VIP

1、 PAGE PAGE 145.5數(shù)學(xué)歸納法最新課程標(biāo)準(zhǔn) 1.理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍2會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題.教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一歸納法由有限多個(gè)個(gè)別的特殊事例得出_的推理方法，通常稱為歸納法eq x(狀元隨筆)設(shè)函數(shù)f(x)eq f(x,x2)(x0)，觀察：f1(x)f(x)eq f(x,x2)，f2(x)f(f1(x)eq f(x,3x4)，f3(x)f(f2(x)eq f(x,7x8)，f4(x)f(f3(x)eq f(x,15x16)，根據(jù)以上事實(shí)，歸納推理，得當(dāng)nN且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.提示依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)的系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，

2、由1,3,7,15，可推知an2n1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16，故其通項(xiàng)bn2n，所以當(dāng)n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)eq f(x,2n1x2n).答案eq f(x,2n1x2n)知識(shí)點(diǎn)二數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，常采用下面的方法和步驟來證明它的正確性：(1)證明當(dāng)n取_(例如n00，n01等)時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)_(k為自然數(shù)，kn0)時(shí)命題正確，證明當(dāng)_時(shí)命題也正確在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都正確這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)自測(cè)1一批花盆堆成三角形垛，頂層一個(gè)，以下各層排成正三角形，第n層和第n1層花盆

3、總數(shù)分別是f(n)和f(n1)，則f(n)與f(n1)的關(guān)系為()Af(n1)f(n)n1 Bf(n1)f(n)nCf(n1)f(n)2n Df(n1)f(n)12在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為eq f(1,2)n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A1 B2C3 D03用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“135(2n1)n2”時(shí)，從k到kA2k2 B2k1C2k D2k14用數(shù)學(xué)歸納法證明：“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，在歸納假設(shè)中，假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，那么下一步應(yīng)證明n_時(shí)命題也成立題型一數(shù)學(xué)歸納法的概念例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1eq f(1an2,1a)(a1，

4、nN)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊計(jì)算的結(jié)果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3eq x(狀元隨筆)注意左端特征，共有n2項(xiàng)，首項(xiàng)為1，最后一項(xiàng)為an1.方法歸納1驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1.2遞推是關(guān)鍵：正確分析由nk到nk1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障跟蹤訓(xùn)練1 下列四個(gè)判斷中，正確的是()A式子1kk2kn(nN)，當(dāng)n1時(shí)為1B式子1kk2kn1(nN)，當(dāng)n1時(shí)為1kC式子eq f(1,1)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n1)(nN)，當(dāng)n1時(shí)為1eq f(1,2)eq f(1,3)D設(shè)f(n)eq

5、f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)(nN)，則f(k1)f(k)eq f(1,3k2)eq f(1,3k3)eq f(1,3k4)題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1,2n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)(nN)eq x(狀元隨筆)要證等式的左邊共2n項(xiàng)，右邊共n項(xiàng)，f(k)與f(k1)相比左邊增兩項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同因此，由“nk”到“nk1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并方法歸納1用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式

6、兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)2利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq f(1,24)eq f(1,46)eq f(1,68)eq f(1,2n2n2)eq f(n,4n1)(其中nN)題型三數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例3求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.eq x(狀元隨筆)對(duì)于多項(xiàng)式A，B，如果

7、ABC，C也是多項(xiàng)式，那么A能被B整除若A，B都能被C整除，則AB，AB也能被C整除方法歸納利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”與“因式分解”等變形技巧，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證跟蹤訓(xùn)練3求證：n3(n1)3(n2)3能被9整除題型四證明幾何命題例4平面內(nèi)有n(n2，nN)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，那么這n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論eq x(狀元隨筆)(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明方法歸納1從特殊入手，尋

8、找一般性結(jié)論，并探索n變化時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)間的關(guān)系2利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由nk到nk1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律并結(jié)合圖形直觀分析，要弄清原因跟蹤訓(xùn)練4在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明題型五數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例5已知Sn1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)(n1，nN)，求證：S2n1eq f(n,2)(n2，nN)eq x(狀元隨筆)求Sn 再證明比較困難，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意Sn表示前n項(xiàng)的和(n1)，首先驗(yàn)證n2，然后證明歸納遞推方法歸納此題容易犯兩個(gè)錯(cuò)誤，一是由nk到nk1項(xiàng)數(shù)變化弄錯(cuò)，認(rèn)為eq f(1,

9、2k)的后一項(xiàng)為eq f(1,2k1)，實(shí)際上應(yīng)為eq f(1,2k1)；二是eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)eq f(1,2k1)共有多少項(xiàng)之和，實(shí)際上 2k1到2k1是自然數(shù)遞增，項(xiàng)數(shù)為2k1(2k1)12k.跟蹤訓(xùn)練5若在本例中，條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)(nN)，由f(1)1eq f(1,2)， f(3)1，f(7)eq f(3,2)，f(15)2，” .試問：你能得到怎樣的結(jié)論？并加以證明教材反思易錯(cuò)點(diǎn)1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的常見問題有哪些？第一步中的驗(yàn)證，n取的第一個(gè)值n0不一定是1，n0指的是適合命題的第一個(gè)自然數(shù)不是一定

10、從1開始，有時(shí)需驗(yàn)證n2等對(duì)nk1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障“假設(shè)nk時(shí)命題成立 ，利用這一假設(shè)證明nk1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范2如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用？歸納假設(shè)在證明中起一個(gè)橋梁的作用，聯(lián)結(jié)第一個(gè)值n0和后續(xù)的n值所對(duì)應(yīng)的情形在歸納遞推的證明中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明否則，就不是數(shù)學(xué)歸納法3為什么數(shù)學(xué)歸納法能夠證明無限多正整數(shù)都成立的問題呢？這是因?yàn)榈谝徊绞紫闰?yàn)證了n取第一個(gè)值n0時(shí)成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)假設(shè)nk成立，根據(jù)假設(shè)和合

11、理推證，證明出nk1也成立這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán)如驗(yàn)證了n01成立，又證明了nk1也成立這就一定有n2成立，n2成立，則n3也成立；n3成立，則n4也成立如此反復(fù)，以至無窮對(duì)所有nn0的整數(shù)就都成立了數(shù)學(xué)歸納法非常巧妙地解決了一種無限多的正整數(shù)問題，這就是數(shù)學(xué)方法的神奇eq x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)分層作業(yè)十,章末質(zhì)量檢測(cè))55數(shù)學(xué)歸納法新知初探自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一一般結(jié)論知識(shí)點(diǎn)二(1)初始值n0(2)nknk1基礎(chǔ)自測(cè)1答案：A2解析：邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形答案：C3解析：等式“135(2n1)n2”當(dāng)nk時(shí)，等式的左邊135(2k1)，當(dāng)nk1時(shí)，等式的左邊135(2k1)2(k1)11

12、35(2k1)(2k1)，從k到k1左邊需增加的代數(shù)式為2k1.答案：D4解析：兩個(gè)奇數(shù)之間相差2，nk2.答案：k2課堂探究素養(yǎng)提升例1解析：實(shí)際是由1(即a0)起，每項(xiàng)指數(shù)增加1，到最后一項(xiàng)為an1，所以n1時(shí)，左邊的最后一項(xiàng)應(yīng)為a2，因此左邊計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為1aa2.答案：C跟蹤訓(xùn)練1解析：對(duì)于選項(xiàng)A，n1時(shí)，式子應(yīng)為1k；選項(xiàng)B中，n1時(shí)，式子應(yīng)為1；選項(xiàng)D中，f(k1)f(k)eq f(1,3k2)eq f(1,3k3)eq f(1,3k4)eq f(1,k1).答案：C例2解析：當(dāng)n1時(shí)，左邊1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,11)右邊，所以等式成立假設(shè)nk(k1，

13、kN)時(shí)等式成立，即1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2k1)eq f(1,2k)eq f(1,k1)eq f(1,k2)eq f(1,2k).則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2k1)eq f(1,2k)eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k1)f(1,k2)f(1,2k)eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k2)f(1,2k)f(1,2k1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(

14、1,k1)f(1,2k2)eq f(1,k2)eq f(1,2k)eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)右邊，所以，nk1時(shí)等式成立由知，等式對(duì)任意nN成立跟蹤訓(xùn)練2證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊eq f(1,24)eq f(1,8)，等式右邊eq f(1,411)eq f(1,8)，等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即eq f(1,24)eq f(1,46)eq f(1,2k2k2)eq f(k,4k1)成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，eq f(1,24)eq f(1,46)eq f(1,68)eq f(1,2k2k2)eq f(1,2k12k12)eq f(k,4k1)eq f(

15、1,4k1k2)eq f(kk21,4k1k2)eq f(k12,4k1k2)eq f(k1,4k11)，即nk1時(shí)等式成立由(1)(2)可知，對(duì)任意nN等式均成立例3證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立(2)假設(shè)nk(kN，且k1)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)，得上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除，故nk1時(shí)命題成立由(1)(2)知，對(duì)nN，命題成立跟蹤訓(xùn)練3證明：(1

16、)當(dāng)n1時(shí)，13(11)3(12)336,36能被9整除，命題成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除則nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由歸納假設(shè)知，上式都能被9整除，故nk1時(shí)，命題也成立由(1)和(2)可知，對(duì)nN命題成立例4解析：當(dāng)n2時(shí)，f(2)1 ；當(dāng)n3時(shí)，f(3)3；當(dāng)n4時(shí)，f(4)6.因此猜想f(n)eq f(nn1,2)(n2，nN)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條相交直線有一個(gè)交點(diǎn)，又f(2)eq f(1,2)2(21)1，

17、n2時(shí)，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)eq f(1,2)k(k1)當(dāng)nk1時(shí)，任何其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)eq f(kk1,2).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)f(k1)f(k)keq f(kk1,2)keq f(k2k,2)eq f(kk1,2)eq f(k1k11,2).當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，命題對(duì)一切nN且n2時(shí)成立跟蹤訓(xùn)練4解析：設(shè)分割成線段或射線的條數(shù)為f(n

18、)則f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n條直線分割成線段或射線的條數(shù)f(n)n2(n2)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n2時(shí)，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN)時(shí)，結(jié)論成立，f(k)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，lk，lk1共k1條直線滿足題設(shè)條件不妨取出直線l1，余下的k條直線l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2條射線或線段直線l1與這k條直線恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成k1條射線或線段k條直線l2，l3，lk1中的每一條都與l1恰有一個(gè)交點(diǎn)，因此每條直線又被這一個(gè)交點(diǎn)多分割出一條射線或線段，共有k條故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確由(1)(2)可知，上述結(jié)論對(duì)一切n2均成立例5解析：(1)當(dāng)n2時(shí)，S221eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(25,12)1eq f(2,2)，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)命題成立