11.4.2-平面與平面垂直課件(共54張PPT)

1、11.4.2平面與平面垂直課標闡釋思維脈絡1.理解平面與平面垂直的定義.2.通過直觀感知、操作確認,歸納出空間中面面垂直的有關判定方法及性質.3.掌握平面與平面垂直的判定定理和性質定理,能利用以上定理解決空間中的垂直性問題.4.理解二面角的定義并能求解二面角大小.激趣誘思知識點撥日常生活中有很多關于面面垂直的例子.如:建筑工人砌墻,請問砌墻時如何使所砌的墻面和水平面垂直?觀察門的轉動情況,請問門在每個位置是否都與地面垂直?激趣誘思知識點撥知識點一:二面角 概念一般地,平面內的一條直線把一個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為一個半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角.這條直線

2、稱為二面角的棱,這兩個半平面稱為二面角的面圖示激趣誘思知識點撥平面角文字在二面角-l-的棱上任取一點O,以O為垂足,分別在半平面和內作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角圖示符號OA,OB,=l,Ol,OAl,OBlAOB是二面角的平面角激趣誘思知識點撥平面角范圍0,規(guī)定二面角的大小用它的平面角的大小來度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特別地,平面角是直角的二面角稱為直二面角記法棱為l,面分別為,的二面角記為-l-.如圖所示,也可在,內(棱以外的半平面部分)分別取點P,Q,將這個二面角記作二面角P-l-Q激趣誘思知識點撥一般地,兩個平面相交時,它們所成角的大

3、小,指的是它們所形成的4個二面角中,不大于90的角的大小激趣誘思知識點撥微思考二面角的平面角的大小,是否與角的頂點在棱上的位置有關?提示:無關.如圖,根據(jù)等角定理可知,AOB=AOB,即二面角平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.激趣誘思知識點撥微判斷(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角.()(2)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個半平面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補.()(3)二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個半平面內作射線所成角的最小角.()(4)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.()答案:(1)(2)(3)(4)激趣誘思

4、知識點撥知識點二:兩個平面垂直及其判定定理、性質定理定義:一般地,如果兩個平面與所成角的大小為90,則稱這兩個平面互相垂直,記作.判定定理性質定理文字語言如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面圖形語言符號語言a激趣誘思知識點撥名師點析 對判定定理的理解此定理不僅是判定兩個平面互相垂直的理論依據(jù),還是找出或作出與已知平面垂直的平面的理論依據(jù),該定理實現(xiàn)了線面垂直和面面垂直之間的轉化,可以簡單記為“線面垂直得面面垂直”.應用時可先固定一個平面,再在另一個平面內找到一條直線與第一個平面垂直即可.對性質定理的

5、理解此定理實現(xiàn)了面面垂直和線面垂直之間的轉化,可以簡單記為“面面垂直得線面垂直”,該定理也給出了過一點引一個平面垂線的方法.兩個平面垂直的性質還有:(1)如果兩個平面垂直,那么經(jīng)過第一個平面的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內;(2)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面,那么它們的交線垂直于第三個平面.激趣誘思知識點撥微思考1過平面的一條垂線能作多少個平面與平面垂直?提示:無數(shù)個.可以將自己的課本打開立放在桌面上進行觀察.微思考2兩個平面互相垂直,其中一個平面內的直線與另一個平面的位置關系是怎樣的?提示:兩個平面互相垂直,其中一個平面內的直線與另一個平面的位置關系可能是平行,也可能是相交,

6、還可能是在平面內.激趣誘思知識點撥微練習1如圖所示,已知AB平面BCD,BCCD,則圖中互相垂直的平面共有()A.1對B.2對C.3對 D.4對激趣誘思知識點撥答案:C 解析:AB平面BCD,且AB平面ABC和AB平面ABD,平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD.AB平面BCD,ABCD.又BCCD,ABBC=B,CD平面ABC.CD平面ACD,平面ABC平面ACD.故圖中互相垂直的平面有平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD,平面ABC平面ACD.激趣誘思知識點撥微練習2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面ABCD平面BDD1B1.證明:BB1AB,BB1BC,ABBC

7、=B,BB1平面ABCD.又BB1平面BDD1B1,平面ABCD平面BDD1B1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求二面角的大小例1如圖,四邊形ABCD是正方形,PA平面ABCD,且PA=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數(shù);(2)求二面角B-PA-D的平面角的度數(shù);(3)求二面角B-PA-C的平面角的度數(shù);(4)求二面角B-PC-D的平面角的度數(shù).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)因為PA平面ABCD,所以PACD.因為四邊形ABCD為正方形,所以CDAD.又PAAD=A,所以CD平面PAD.又CD平面PCD,所以平面PAD平面PCD.所以二面角A-PD-C

8、的平面角的度數(shù)為90.(2)因為PA平面ABCD,所以ABPA,ADPA.所以BAD為二面角B-PA-D的平面角.又由題意知BAD=90,所以二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)為90.(3)因為PA平面ABCD,所以ABPA,ACPA.所以BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形,所以BAC=45.所以二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)為45.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(4)作BEPC于點E,連接DE,BD,且BD與AC交于點O,連接EO,如圖.由題意知PBCPDC,則BPE=DPE,從而PBEPDE.所以DEP=BEP=90,且BE=DE.所以BED為二面角B-

9、PC-D的平面角.又PA平面ABCD,所以PABC.又ABBC,PAAB=A,所以BC平面PAB.所以BCPB.設AB=a,則PA=AB=BC=a,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 作二面角的平面角的方法方法一(定義法):在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線.如圖所示,AOB為二面角-a-的平面角.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法二(垂線法):過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.如圖所示,AFE為二面角A-BC-D的平面角.探究一探究二

10、探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法三(垂面法):過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產生交線,這兩條交線所成的角,即二面角的平面角.如圖所示,AOB為二面角-l-的平面角.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練 1(1)如果一個二面角的兩個半平面與另一個二面角的兩個半平面分別平行,則這兩個二面角的大小關系是()A.相等B.互補C.相等或互補D.大小關系不確定(2)已知RtABC,斜邊BC,點A,AO,O為垂足,ABO=30,ACO=45,求二面角A-BC-O的大小.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(1)答案:C解析:可作出這兩個二面角的平面角,易知這兩個平面角的

11、兩邊分別平行,故這兩個二面角相等或互補.(2)解:如圖所示,在平面內,過點O作ODBC,垂足為點D,連接AD.設OC=a,AO,BC,AOBC.又AOOD=O,BC平面AOD.而AD平面AOD,ADBC,ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO,OB,OC知AOOB,AOOC.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測面面垂直的判定例2如圖所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求證:平面ABC平面SBC.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:(方法一)BSA=CSA=60,SA=SB=SC,ASB和ASC是等邊三角形,

12、令SA=SB=SC=AB=AC=a,則ABC和SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點D,如圖所示,連接AD,SD,則ADBC,SDBC,ADS為二面角A-BC-S的平面角.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法二)SA=SB=SC,且BSA=CSA=60,SA=AB=AC,點A在平面SBC上的射影為SBC的外心.SBC為直角三角形,點A在SBC上的射影D為斜邊BC的中點,AD平面SBC.又AD平面ABC,平面ABC平面SBC.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 證明面面垂直的方法(1)定義法:即說明兩個半平面所成的二面角是直二

13、面角;(2)判定定理法:在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”;(3)性質法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練 2如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點.證明:平面ABM平面A1B1M.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:由長方體的性質可知A1B1平面BCC1B1,又BM平面BCC1B1,所以A1B1BM.又CC1=2,M為CC1的中點,所以C1M=CM=1.又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,從而BMB1M

14、.又A1B1B1M=B,所以BM平面A1B1M,因為BM平面ABM,所以平面ABM平面A1B1M.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測面面垂直的性質例3如圖,AB是O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,平面PAC平面ABC.(1)判斷BC與平面PAC的位置關系,并證明;(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)BC平面PAC.證明:因為AB是O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,所以ACB=90,所以BCAC.又因為平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC平面PAC.(2)因為BC平面PAC,

15、且BC平面PBC,所以平面PBC平面PAC.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練 3如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面內,且ACPC,平面PAC平面PBC,P,A,B均是定點,則動點C運動形成的圖形是()A.一條線段B.一條直線C.一個圓D.一個圓,但要去掉兩個點探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:D解析:因為平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,且平面PAC平面PBC=PC,所以AC平面PBC.又因為BC平面PBC,所以ACBC,所以ACB=90,所以動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點,故選D.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探

16、索型問題例4在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,且AB=BC,能否在側棱BB1上找到一點E,恰使截面A1EC側面AA1C1C?若能,指出點E的位置,并求解;若不能,請說明理由.解:如圖,作EMA1C于點M,因為截面A1EC平面AA1C1C,所以EM平面AA1C1C.取AC的中點N,連接BN,MN.因為AB=BC,所以BNAC.而AA1平面ABC,AA1平面AA1C1C,所以平面ABC平面AA1C1C,且交于AC,所以BN平面AA1C1C.所以BNEM,BNMN.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測又BE平面AA1C1C,平面BEMN平面AA1C1C=MN,所以BEMNA1A.

17、所以四邊形BEMN為平行四邊形.因為AN=NC,所以A1M=MC.即E為BB1的中點時,平面A1EC平面AA1C1C. 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 1.垂直關系的相互轉化 2.探究型問題的兩種解題方法(1)(分析法)即從問題的結論出發(fā),探求問題成立的條件.(2)(反證法)先假設使結論成立的條件存在,然后進行推證,推出矛盾,否定假設,確定使結論成立的條件不存在.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究 如圖,在三棱錐A-BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ADB=60,E,F分別是AC,AD上的動點,且 =(0BD2,矛盾,故四邊形ABCD不可能

18、是空間四邊形,只能是平面四邊形,所以四邊形ABCD是矩形.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛1.要避免錯誤,一定要將有關定理或性質的適用條件及內涵把握清楚,不能憑想當然進行毫無邏輯的論證.2.涉及空間中討論問題,不能僅局限于初中所學平面幾何的范疇.一些平面幾何中的結論也不能隨意照搬到立體幾何中.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練 如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,則平面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:四邊形ABCD是正方形,ACBD.BB1底面ABCD,ACB1B.B1BBD=B,AC對角面BB1D1D.又AC平面ACB1,平面ACB1對角面BB1D1D.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.(多選題)已知兩條直線l,m及三個平面,下列條件中能推出的是()A.l,lB.l,m,lmC.,D.l,m,lm答案:ABC解析:如果一個平面經(jīng)過另一平面的垂線,則這兩個平面相互垂直,知選項A正確;選項B顯然正確;如果兩個互相平行的平面有一個垂直于一個平面,那么另一個平面也垂直于這個平面,知選項C正確;D選項與