線性代數(shù)矩陣講義課件

1、線性代數(shù)線性代數(shù)1上1下4上更新線性代數(shù)線性代數(shù)1上1下4上更新2022/9/252第二章 矩陣一、矩陣定義（數(shù)表）2022/9/242第二章 矩陣一、矩陣定義（數(shù)表）（一）矩陣與行列式的區(qū)別：2.矩陣： 1.行列式：（一）矩陣與行列式的區(qū)別：2.矩陣： 1.行列式：（二）特殊矩陣 1.零陣：2.行（列）矩陣：（二）特殊矩陣2.行（列）矩陣：2022/9/2553.負(fù)矩陣4.三角陣（方陣）上三角陣下三角陣2022/9/2453.負(fù)矩陣4.三角陣（方陣）上三角陣下三2022/9/2565.對(duì)角陣、單位陣、數(shù)量陣（均為方陣）對(duì)角陣（方陣）單位陣（方陣）數(shù)量陣（方陣）2022/9/2465.對(duì)角陣、

2、單位陣、數(shù)量陣（均為方陣）對(duì)2022/9/2576.對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣（方陣） 反對(duì)稱陣（方陣）主對(duì)角線元素為零對(duì)稱陣（方陣）2022/9/2476.對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣（方陣） 反對(duì)稱二、 矩陣運(yùn)算1.轉(zhuǎn)置矩陣：（注意與行列式對(duì)比學(xué)習(xí)；與實(shí)際問(wèn)題對(duì)應(yīng)。）二、 矩陣運(yùn)算1.轉(zhuǎn)置矩陣：（注意與行列式對(duì)比學(xué)習(xí)；與實(shí)際問(wèn)2.矩陣相等：兩矩陣完全一樣，稱為相等。3.矩陣加法：同型矩陣才能相加。2.矩陣相等：兩矩陣完全一樣，稱為相等。3.矩陣加法：同型矩2022/9/25104.數(shù)乘矩陣：數(shù)k遍乘矩陣的所有元素。注意：數(shù)乘行列式只乘某一行（列）。2022/9/24104.數(shù)乘矩陣：數(shù)k遍乘矩陣的所有元

3、素。2022/9/25115.加法與數(shù)乘的性質(zhì)：例1：2022/9/24115.加法與數(shù)乘的性質(zhì)：例1：解：例2：解：解：例2：解：2022/9/2513 6. 矩陣乘法：注意：（1）左列=右行，可乘。否則無(wú)意義。（2）運(yùn)算=左行右列；（3）結(jié)果=左行右列。2022/9/2413 6. 矩陣乘法：注意：（1）左列=右2022/9/25142022/9/2414不相等不相等2022/9/25162022/9/24162022/9/2517例注意：（1）AB=BA，稱A、B可交換； 乘法一般不滿足交換律。 （2）AB=0，稱A、B互為零因子； 但AB=0不一定能推出A=0或B=0。（3）由AB=A

4、C，A0，不能推出B=C。2022/9/2417例注意：（1）AB=BA，稱A、B可交線性代數(shù)矩陣講義課件線性代數(shù)矩陣講義課件三、矩陣表示法銷售收入： 某企業(yè)有m種產(chǎn)品，一年12個(gè)月中各產(chǎn)品銷售量各不相同，若第j產(chǎn)品售價(jià)為pj,求一年各月收入及年總收入。三、矩陣表示法銷售收入： 某企業(yè)有m種產(chǎn)品，1. 線性方程組1. 線性方程組 真簡(jiǎn)潔！ 真簡(jiǎn)潔！2022/9/25232.線性函數(shù)的矩陣表示法：3.線性變換的矩陣表示法：其中，2022/9/24232.線性函數(shù)的矩陣表示法：3.線性變換設(shè)則設(shè)則線性代數(shù)矩陣講義課件線性代數(shù)矩陣講義課件1.性質(zhì)2.(反)對(duì)稱矩陣的等價(jià)定義例：證明：證四、 轉(zhuǎn)置矩陣

5、的性質(zhì)1.性質(zhì)2.(反)對(duì)稱矩陣的等價(jià)定義例：證明：證四、 轉(zhuǎn)置矩28五、方陣的冪及其行列式（一）方陣的冪（1）性質(zhì)：（2）冪等陣：注意：（1）28五、方陣的冪及其行列式（一）方陣的冪（1）性質(zhì)：（2）冪（二）方陣的行列式：（2）注意與數(shù)的冪運(yùn)算區(qū)別：非零陣的冪可能為零陣；非單位陣的冪可能為單位陣。（1）性質(zhì)（2）定理注意：可推廣至有限項(xiàng)?。ǘ┓疥嚨男辛惺剑海?）注意與數(shù)的冪運(yùn)算區(qū)別：非零陣的冪可線性代數(shù)矩陣講義課件線性代數(shù)矩陣講義課件2022/9/2532注意：（1）A、B、E必為同階方陣；（2）不是方陣必不可逆；（3）A、B的地位對(duì)等，即A、B互為逆矩陣。一、 逆矩陣定義（方陣）1.定義

6、：2022/9/2432注意：（1）A、B、E必為同階方陣；一例2例1例2例1例3：?jiǎn)挝魂嚳赡?，且?：零矩陣不可逆。二、逆矩陣的性質(zhì)（用定義證明）性質(zhì)1 若A可逆，則A的逆陣唯一。性質(zhì)2 若A可逆，則A的逆陣也可逆。且性質(zhì)3 若A可逆，則A的轉(zhuǎn)置也可逆。且性質(zhì)4 若方陣A、B可逆，則AB也可逆。且例3：?jiǎn)挝魂嚳赡妫依?：零矩陣不可逆。二、逆矩陣的性質(zhì)（用2022/9/2535性質(zhì)4可推廣： 性質(zhì)5 若A可逆，則 性質(zhì)6 若A可逆，則kA也可逆，且 注意：可逆陣的乘積、數(shù)量乘積都可逆；但可逆 陣的和差不一定可逆，即使可逆，一般地 2022/9/2435性質(zhì)4可推廣： 性質(zhì)5 若A可逆，則定理

7、2 若AB=AC，且A可逆，則B=C。三、逆矩陣求法伴隨矩陣（1）實(shí)例定理2 若AB=AC，且A可逆，則B=C。三、逆矩陣求法2022/9/2537解：設(shè)有方陣使得由矩陣乘法和相等定義，可得三個(gè)線性方程組：即2022/9/2437解：設(shè)有方陣使得由矩陣乘法和相等定義，2022/9/2538方程組（1）（2）（3）的系數(shù)行列式均為：2022/9/2438方程組（1）（2）（3）的系數(shù)行列式均2022/9/2539由克萊姆法則，得第一個(gè)方程組的解：2022/9/2439由克萊姆法則，得第一個(gè)方程組的解：2022/9/2540其中同理，第二個(gè)方程組的解為：同理，第三個(gè)方程組的解為：其中2022/9/

8、2440其中同理，第二個(gè)方程組的解為：同理，第2022/9/2541得2022/9/2441得（2）定義：（3）定理3：其中證明：（2）定義：（3）定理3：其中證明：定義13 定義13 （4）例 判斷下列矩陣是否可逆， 若可逆求出逆矩陣。（4）例 判斷下列矩陣是否可逆，解：（1）A不是方陣，故A不可逆。解：（1）A不是方陣，故A不可逆。例：設(shè)求例：設(shè)求注意：此結(jié)論對(duì)一般的對(duì)角陣均成立。例解：注意：此結(jié)論對(duì)一般的對(duì)角陣均成立。例解：定理4 若A、B為n階方陣, AB=E, 則A、B均可逆。 且證明：定理4 若A、B為n階方陣, AB=E, 則A、B均可逆。證注意：（1）伴隨矩陣求逆法的計(jì)算量大，

9、 適用于求較低階矩陣的逆以及理論證明； 后面還要介紹矩陣的初等變換求逆法。 （2）要會(huì)靈活應(yīng)用求逆公式的各種變形：四、小結(jié)：矩陣運(yùn)算全了：加減乘除（逆），將 其視為黑箱（字母）與數(shù)的運(yùn)算比較，注意 其差異點(diǎn)；掌握正確的運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)。注意：（1）伴隨矩陣求逆法的計(jì)算量大，四、小結(jié)：矩陣運(yùn)算全了2022/9/25501.矩陣分塊：將矩陣分塊與分塊矩陣2.分塊矩陣：將分為若干小塊的一種方法。用橫、豎線分為若干子塊，視子塊為元素進(jìn)行運(yùn)算，則 稱為分塊矩陣。如2022/9/24501.矩陣分塊：將矩陣分塊與分塊矩陣2.3.常用分塊矩陣： a. 2 2階分塊矩陣； b. 行（列）分塊矩陣； c. 對(duì)角、

10、三角分塊矩陣。注意：對(duì)角、三角分塊矩陣中，主對(duì)角線上的 子塊必為方陣。1.加、減：與普通矩陣運(yùn)算相同；2.數(shù)乘：與普通矩陣運(yùn)算相同；3.乘法：視子塊為元素，與普通矩陣乘法運(yùn)算規(guī)則相同。 A.分塊法：AB=C，左列=右行 左行、右列無(wú)限制運(yùn)算及對(duì)分塊要求行同，列同無(wú)限制3.常用分塊矩陣：1.加、減：與普通矩陣運(yùn)算相同；2.數(shù)乘：2022/9/2552 例（左列分=右行分）2022/9/2452 例（左列分=右行分）2022/9/2553分塊矩陣的逆陣（四種22階特殊矩陣）2022/9/2453分塊矩陣的逆陣2022/9/2554 例2022/9/2454 例2022/9/2555分塊對(duì)角方塊的運(yùn)

11、算2022/9/2455分塊對(duì)角方塊的運(yùn)算2022/9/25562022/9/2456線性代數(shù)矩陣講義課件例 設(shè)求例 設(shè)求2022/9/2559解：2022/9/2459解：2022/9/25602022/9/2460引例：解線性方程組的三種等價(jià)變換矩陣的初等變換引例：解線性方程組的三種等價(jià)變換矩陣的初等變換線性代數(shù)矩陣講義課件2.定義：2.定義：3.幾個(gè)矩陣乘法：3.幾個(gè)矩陣乘法：初等矩陣：對(duì)單位陣施行一次初等變換而得。 i行 j行 i行初等矩陣：對(duì)單位陣施行一次初等變換而得。 i行 j行 i行注意：初等陣均可逆，且逆陣仍為初等陣。 i行 j行注意：初等陣均可逆，且逆陣仍為初等陣。 i行 j

12、行4.定理 一次初等變換結(jié)果等于乘對(duì)應(yīng)初等矩陣三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形1.定義16：mn階矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形4.定理 一次初等變換結(jié)果等于乘對(duì)應(yīng)初等矩陣三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理 任何矩陣A均可經(jīng)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形D。定義 若矩陣A經(jīng)有限次初等變換化為矩陣B，則稱A與B等價(jià)。記為注：任何矩陣A與其標(biāo)準(zhǔn)形D等價(jià)。定理 任何矩陣A均可經(jīng)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形D。定義 矩陣等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：（1）反身性：（2）對(duì)稱性：（3）傳遞性：例 化A為標(biāo)準(zhǔn)形：解：矩陣等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：（1）反身性：（2）對(duì)稱性：（3）傳遞性線性代數(shù)矩陣講義課件證明：定理 A可逆的充要條件是A可經(jīng)有限次初等 變換（包括行、列變換）化為單位陣E

13、。證明：定理 A可逆的充要條件是A可經(jīng)有限次初等定理說(shuō)明了矩陣可經(jīng)初等變換直接判定 是否可逆： 一般地，對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，由不同類型的矩陣會(huì)得到不同的等價(jià)矩陣。如1、方陣2、非方陣三角陣、對(duì)角陣階梯形標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形（不可逆）單位陣（可逆）定理說(shuō)明了矩陣可經(jīng)初等變換直接判定 一般地，對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換求逆法1.定理 A可逆的充要條件為A可表為若干 初等陣之積。2.推論 A可逆，則A 僅由初等行變換可化為 單位陣。3.求逆方法：初等變換求逆法1.定理 A可逆的充要條件為A可表為若干22022/9/254. 例 解：2022/9/244. 例 解： 例解： 全為零，A不可逆。 例解： 全為零，2022/9/2576五、利用初等行變換解矩陣方程、線性