離散元基本理論

1、顆粒離散元基本理論1運動方程1.1平動方程(1)m 蘭= F + F )+ m g(1)tj =1式中，m與V分別為顆粒i的質量和速度， i it為時間，mg為顆粒i的重力，F(xiàn)cj與Fdj分別為顆粒i與j的接觸力與粘性接觸阻尼力 k為所有與顆粒i接觸的顆?？倲?shù)。顆粒i與j間的接觸力法向與切向接觸力組成，即+ Fcn,ijct ,ij同理，粘性接觸阻尼力也可表示為法向與切向分量形式，即F = Fc ,ij（2）d ,ijdn,ijdt ,ij（3）1.2轉動方程顆粒間的接觸力作用在顆粒i與j的接觸點上，而不是作用在顆粒的中心，所以這些接觸力（除法向接觸力F夕卜）將會對顆粒i產(chǎn)生力矩r cn,ij

2、iL =巴 xGj F ,P（4）式中R為從顆粒，質心指向接觸點的矢量，其幅值為R（顆粒i的半徑）。轉動方程可寫i 四= ri dt（5）j=1式中I與觸.分別為顆粒i的轉動慣量與角速度其中I = 2mR2。2接觸力計算模型關于接觸力的計算模型已有大量的研究成果，目前仍舊是一個活躍的研究領域，特別是 對于切向力的計算方法【id ThorntonW等采用前人對球體接觸力學中的法-切向作用理論， 包括考慮表面粘連（adhesion）和接觸區(qū)有局部塑性變形的情形。對無粘連球顆粒，采用Hertz 理論描述法向作用，而采用Mindlin與Deresiewicz理論8描述切向作用。對粘連球顆粒，法 向接觸

3、力根據(jù)在Hertz理論基礎上考慮粘連力的JKR （Johnson-Kendall-Roberts）理論9確定， 切向接觸力增量則根據(jù)把Savkoor和Briggs理論與Mindlin和Deresiewicz理論10相結合形 成的Thornton理論確定。下面的介紹中，只針對處于接觸中的兩個無粘性球顆粒的法向與切向接觸力計算模型進行分析，即只分析 0的情況，為顆粒i在法向方向的變形。單位法向向量n = R /R，單位切向向量t=向位移矢量 單位切向向量t=向位移矢量 為: t- V n )i-V nV x n ），或寫為t = ViJ iJG ） =G） + xnxn-ht，式中，N表示時步，A

4、t為時間步長。x n x n。那么顆粒i與J間的累積切_ x n jt N t N-1 ij2.1法向接觸力計算模型2.1.1 Hertz 模型H-IF = -3ER*5 3/2n（6） E Il。式中，E* = 2（1 - v2），R* = R + R，n為顆粒i在法向方向的變形，n為單位法向向量， i jn = R / R，5 = R + R - R - R。i i n i J J i2.1.2 Cundall接觸模型（線性彈簧模型） TOC o 1-5 h z Fcn,iJ f nn（11）式中，法向彈簧剛度，2.1.3法向粘性接觸阻尼力FgJ = Cn V n式中，?為法向粘性接觸阻尼

5、系數(shù)，V）為顆粒i與J在接觸點處的相對速度，可表示為V = V V + m. xR. m xR（8）2.2切向接觸力計算模型按照摩擦機理，摩擦力包括：滑動摩擦、滾動摩擦與靜摩擦，其中滑動摩擦與靜摩擦屬 于切向摩擦力；滾動摩擦是由于法向接觸應力的不均勻分布產(chǎn)生的。在離散元模擬中，一般 用Coulomb準則這種簡單的形式描述，靜摩擦的詳細刻畫需要涉及切向位移甚至可能要考 慮時間依賴效應。當處于接觸中的兩個顆粒間存在相互作用力，但兩個顆粒沒有發(fā)生相對運動時，兩個顆 粒處于靜摩擦狀態(tài);如果切向作用力大于靜摩擦力的極限值，那么在接觸點處發(fā)生相對運動， 則轉變?yōu)榛瑒踊驖L動摩擦；在滑動或滾動摩擦中，接觸點沿

6、著顆粒表面移動，但是，在滑動 摩擦中接觸點處的相對速度為非0值。對于一個固定平面上的顆粒，當接觸點處的相對速度為0而顆粒的角速度不為0時則發(fā)生滾動摩擦；當相對速度不為0時，則發(fā)生滑動摩擦；滑動摩擦力總是小于最大靜摩擦力， 并且其方向總是與接觸點處的相對速度方向相反；當接觸點處的相對速度為0時，滑動摩擦 轉變?yōu)闈L動摩擦。當一個顆粒在另一個顆粒表面滾動時，接觸點處沒有相對切向速度；滾動摩擦力遠小于 滑動摩擦力；滾動摩擦減小了顆粒的旋轉與平動速度（二者在滾動摩擦階段是成比例的）； 如果顆粒所受外力足夠小，滾動摩擦使得顆粒的速度逐步減小直至停止運動轉變?yōu)殪o摩擦狀 態(tài)?；瑒幽Σ赁D換為滾動摩擦的判別：當接

7、觸點處的相對速度由正變?yōu)樨摶蛴韶撟優(yōu)檎龝r， 表明滑動摩擦結束，滾動摩擦開始；滾動摩擦停止進入靜摩擦的判別：當接觸中的兩個顆粒 以一個整體旋轉時，滾動摩擦終止，轉為靜摩擦狀態(tài)，此時，顆粒間的切向相對速度為0， 并且兩個顆粒的角速度相等，只要這個關系得以保持，則總是處于靜摩擦狀態(tài)。關于切向接觸力的計算模型有很多，這里介紹幾個廣為接受的切向力計算模型。*滾動摩擦在顆粒元切向作用中具有重要作用，在以往的模擬代碼中，往往忽略滾 動摩擦。作用：減小顆粒間的相對速度，減小顆粒的力矩，力矩也會對平動做出貢獻。2.2.1 Coulomb 準則描述切向作用最簡單的模型就是Coulomb準則，即假設切向摩擦力的幅度

8、與此時的法 向作用力幅度成正比，即Fct ,ijF Fct ,ijF ,ct ,ij旦Fcn ,ijFct ,ijFct ,ij 四s Fcn,ij-四s Fcn,ij（9）式中，匕為靜摩擦系數(shù)，M為滑動摩擦系數(shù)，切向摩擦力F的方向為與相對滑動的趨 勢相反。2.2.2 Mindlin 與 Deresiewicz 切向接觸力模型8Fct ,ij七 Fcn,ijFct ,ij七 Fcn,ijdtfd *t,maxdt,max（9）式中，3為顆粒i與j間的累積切向位移矢量，d = /才 d。tt,max s 21 V / n2.2.3切向粘性接觸阻尼力（10）F = c V x n x n（10）式

9、中，ct為切向粘性接觸阻尼系數(shù)。2.2.4切向接觸力計算時的振蕩排除Coulomb摩擦力的方向必須與相對切向速度的方向相反。然而，運用上述方法計算切向 力時，可能會產(chǎn)生不符合物理現(xiàn)象的振蕩。當兩個處于接觸中的顆粒發(fā)生相對滑動并逐步向 Coulomb準則過渡時，如果在達到Coulomb準則前的一個時間步長上切向力的方向與切向 相對速度的方向相同，或者相對切向速度與相對切向位移方向相反，那么，在達到Coulomb 準則后，切向力將改變方向。切向力方向的變化將導致數(shù)值計算的不穩(wěn)定。為了排除這種振 蕩，只有在切向相對速度與相對位移方向相同時才認為達到了 Coulomb準則11參考文獻K.L. John

10、son. Contact mechanics. Cambridge University press, Cambridge, 1985.Walton. Numerical simulation of inelastic, frictional particle-partilce interactions. In: M.C.Roco(Ed.), Particulate Two-phase Flow (Chapter 5), Butterworth-Heinemann, Boston, 1993C. Thornton. Interparticle sliding in the presence o

11、f adhesion. Journal of Physics D: Applied Physics, 1991, 24: 1942-1946C. Thornton. On the relationship between the modulus of particulate media and surface energy of the constituent particles. Journal of Physics D: Applied Physics, 1993, 26: 1587-1591C. Thornton, K. K. Yin. Impact of elastic spheres

12、 with and without adhesion. Powder Technology. 65(1991)153-166C. Thornton, Z. Ning. A theoretical model for the stick/bounce behavior of adhesive, elastic-plastic spheres. Powder Technology, 1998, 99: 154-162C. Thornton. Coefficient of restitution for collinear collisions of elastic-perfectly plasti

13、c spheres. Journal of Applied Mechanics, 1998, 64: 383-386R.D. Mindlin, H. Deresiewicz. Elastic spheres in contact under varying oblique forces. Journal of Applied Mechanics, 1953, 20(3): 327-344K. L. Johnson, K. Kendall, A. D. Roberts. Surface energy and the contact of elastic solids. Proc R Soc Lond A,1971, 324: 301-313A. R. Savkoor, G. A. D. Briggs. The effect of tangential force on the contact o