離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差

1、離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差離散型隨機(jī)變量的分布列將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個隨機(jī) 變量.離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為氣，a2，隨機(jī)變量X取a.的概率為p仰=1,2,)，記作： p(x=q)=p仰=1,2,)，或把上式列表：X=a.ia1a2P(X=a)p1P2稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.性質(zhì)：p.0，i=1,2，；S1+p2 -=1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=a)=p.(i=12，-r),均值欣二白各+弓必乏 ap，均值E

2、X刻畫的是X取值的“中心位詈”.方差DX=E(X-EX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度.均值與方差的性質(zhì)E(aX+)=aEX+h.D(aX+)=a2DX.(a，b 為常數(shù))超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MWN)件次品.從中任取n (nWN)件產(chǎn)品，用X表示取出 的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么Ck Cn-kp(X=k)=MN-M (其中k為非負(fù)整數(shù)).CN如果一個隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布.【概念方法微思考】隨機(jī)變量和函數(shù)有何聯(lián)系和區(qū)別？提示 區(qū)別：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射

3、，函數(shù) 是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射；聯(lián)系：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域離散型隨機(jī)變量X的每一個可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一個反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.如何判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確？提示 可用P0, i=1,2，n及P+p2pn=1檢驗(yàn).隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？提示隨機(jī)變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值、方差是一個隨機(jī)變量，隨觀測次數(shù)的 增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差匚基礎(chǔ)自救題組一思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?X”）（1）拋

4、擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.（V ）（2）離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象（V ）（3）從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.（V ）（4）離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.（ X ）（5）隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定（V ）（6）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.（V ）題組二教材改編設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345P636P則p為（1A.611A.61B.g1d.妄答案 解析由分布列的性

5、質(zhì)知，土+1+；+6+p=1，p=1-4=1.已知X的分布列為X-101P111236 TOC o 1-5 h z 設(shè)y=2X+3,則頊7)的值為()7A.3 B.4 C.-1 D.1答案A解析 EX=!+=?, 2 63-一 一、一一 27E7=E(2X+3) = 2EX+3 =3+3=3.有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是.答案 0,1,2,3解析 因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.題組三易錯自糾 袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是()A.至少取到1個白球

6、B.至多取到1個白球C.取到白球的個數(shù)D.取到的球的個數(shù)答案 C解析選項(xiàng)A, B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2,并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量，則P(X=4)的值為.答案220解析 由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，L, /,C2C1 27故 P(X=4)= C3 =220.12題型分類深度剖析真題典題深度剖析 重點(diǎn)難點(diǎn)多維探究題型一 分布列的求法師生共研, 一 、, 2 _,例1設(shè)某人有5發(fā)子彈，當(dāng)他向某一目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率

7、為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完.求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列.2 TOC o 1-5 h z 解 記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件A,，則A, A,九，A4, As相互獨(dú)立，且P(Ak)=2, k12345k 3， P( A k)=3，k=1,2,3,4,5.(1)方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(AA Q+P( A A )=P(A,)P( A Q+P( AJP(A)4444=2x1+1x2=43X3 + 3X3 9. 方法二由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P=C1X2 23(2)X的所有可能值為2

8、,3,4,5.P(X = 2)=P(AA2)+P(A 1 A 2)=2x2+x1=53X3 + 3X3 9,P(X = 3)=P(A1 A 2 A 3)+P( A A2A3)Ix(Ij2+1x2=9P(X =4) = P(A1 A 2A3A4) + P( A 1A2 A 3 A 4)=3xI+(3)x2_亞3 = 81,P(X = 5) = P(A1 A 2A3A 4) + P( A 1A2 A 3A4)=G)2=G)2xd)2 + (1)2X_8_81.故X的分布列為X2345P52其_8_998181思維升華求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每

9、個值的概率；寫出X的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用 計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識.跟蹤訓(xùn)練1已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢 測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.A1A1 3 解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)=AA=*.A510(2)X的可能取

10、值為200,300,400./ 1P(X=200)=2=10，P(XP(X=300) =A3+C1C1A23232_3_10，P(X=400) = 1 P(X= 200)P(X= 300),13 31 10 10 5-故X的分布列為X200300400P13_310105題型二均值與方差*師生共研例2某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個項(xiàng)目供 選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為9和9；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，

11、也311可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為5, 和任.針對以上兩個投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個合理的項(xiàng)目，并說明理由.解 若按“項(xiàng)目一投資，設(shè)獲利為x1萬元，則x1的分布列為X1300 150P72 TOC o 1-5 h z .7 ,2. EX = 300 X 6+(150) X =200.若按“項(xiàng)目二投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為X2500 3000311P5315 TOC o 1-5 h z .3 ,1 .1.EX2=500X5+( 300)X3+0X5 = 200.72DX = (300200)2 X +(150200)2 X =35 000,1 .1DX2=(5

12、00200)2 X 5+( 300200)2 X 3+(0200)2 X = 140 000.:.ex1=ex2, DXVDX2，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.思維升華 離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用均 值、方差公式直接求解.由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解 方程(組)即可求出參數(shù)值.由已知條件，作出對兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義，對實(shí)際問題作出判斷.跟蹤訓(xùn)練2為迎接2022年北京冬

13、奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪 場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不 足1小時的部分按1小時計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過11112小時離開的概率分別為，Z； 1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為s，W；兩人滑雪 4 62 3時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量己，求的分布列與均值E4,方差D&解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為(19=!，(1一?一=土2

14、/4、6 3/ 6兩人都付0元的概率為P=X=；,1 4 6 242兩人都付40元的概率為P2=2X3 = 3,兩人都付80元的概率為P3=4X6=24, 則兩人所付費(fèi)用相同的概率為p=p ip ip =【+工= P Pi+P2+P3 24+3+24 12* (2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為G，亳的可能取值為0,40,80,120,160,則P(G=0)=4X = 24，p(4=40)=4x|+x6=4，p(G=80)=4X6+2X3+4X6=12，p(4=i20)=Ix6+4x|=,p(S=160)=4 X 6=24.所以G的分布列為G04080120160PX244_5_124X248080-

15、124 OX60 -+11- 4X2080 +1 一 4X40 +124 X0r):/nQnxo w I /刃八onxo w I /ononxo w_l_M OHonxo w I /l zrnonxo wG(U 8U) / 4I(4U80)4I(8080)2*(12U80)4*(16U80)243 *題型三 超幾何分布，師生共研例3 (2017-山東)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響， 具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙 種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有 6名男志愿者A

16、】，A,，A.，&，A，A-和4名女志愿者B，B，B，B，從中隨機(jī)抽取5人 1234561234接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率；用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與均值EX.C45解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的事件為M,則P(M)=CT=8* (2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則 TOC o 1-5 h z , 八C51P(X=0) = C6=42， C1042, 一C4C15P(X=1)= C650 =21，C3C2 10P(X=2)= C650 =21，/ .C2C35P(X

17、=3)= C650 =21，C1C41p(x=4)= & 4=42C10 42因此X的分布列為X01234P142_5_21其21_5_21142所以X的均值EX=0XP(X=0)+1XP(X=1) + 2XP(X=2) + 3XP(X= 3) + 4XP(X=4) = 0+ 1X21 + 2X10 乙JL乙JL+ 3X 并+4X 節(jié)=2. 乙JLT乙思維升華(1)超幾何分布的兩個特點(diǎn)超幾何分布是不放回抽樣問題；隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類不同的物品(或人、事)；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體.跟蹤訓(xùn)練3 PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑

18、小于或等于2.5微米的可入肺顆 粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012, PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一 級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣 質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作 為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85)頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記4表示

19、抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求4的分 布列.解(1)記“從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到 一級”為事件A,則尸0)=專=蕓.(2)由條件知,4服從超幾何分布，其中N=10,M=3,n = 3,且隨機(jī)變量4的可能取值為0,1,2,3.Ck哉 P(4=k)=Cj(k=0，123).八C0C37.P(4=0)= C3 7 = 24P(P(4=1) =C2C17P(4=2)= C30 =40，P(P(4=3) =故4的分布列為40123P_7_242140_7_401120答題模板離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題例(12分)為回饋顧客，某商場擬通過模擬兌獎

20、的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位 顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該 顧客所獲的獎勵額.若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及均值；商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的 兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合 商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè) 計(jì)，并說明理由.規(guī)范解答解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.依題意，

21、得依題意，得P(X=60) =C1C1=1C4 =2即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為2.2分依題意，得X的所有可能取值為20,60./1,“C2 1P(X=60) = 2，P(X=20)=C3=2，故X的分布列為X206011P2244分所以顧客所獲的獎勵額的均值為EX所以顧客所獲的獎勵額的均值為EX=20 x|+60 x2=40.5 分(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以，先尋找均值為60的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選

22、擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析.對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X，則x1的分布列為X12060100P12163677分1 .2 .1X的均值為 EX=20Xg+60X3+100Xg=60,X的方差為 DX1 = (20-60)2x6 +(60-60)2X2+

23、(100-60)2X=1y0.9 分對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵額為x2,則x2的分布列為X2406080P16231610 分121X2 的均值為 EX2=40X6+60X3+80X6=60,121 400X2 的萬差為 2X2=(4060)2X6+(6060)2X3+(8060)2Xg=丁.由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.12分答題模板求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值；第二步：求每一個可能取值所對應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均

24、值和方差；第五步：根據(jù)均值、方差進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論(適用于均值、方差的應(yīng)用問題)；第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范性.課時作業(yè)口基礎(chǔ)保分練1.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Paa2則X的均值EX等于()A.2 B.2 或2 C.2 D.1答案Ca a2解析由題意知，5+3=1，a0，所以a = 1,所以 EX=0X?+1x2=2.故選 C.2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下，則P（IX-2I = 1）等于（）X1234P-4m3151b.2 C.仍 d.-答案解析由1解析由1+4+m+3=i，得 m=4,所以 P(IX-2I = 1)=P(X=1)+P(X=3)=-+4=152.

25、故選 C.3.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字和為X,則XN8的概率是（）478B C B.15 C.15dW答案C解析由題意知，X的取值為6,9,12,-, 八 C2C1 7, 一 C1C2 1又 p(X=9)= & 2= i5, p(x= 12)=C=15,718.所以XN8的概率為15+15=15，故選c.4.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P（4=|）=ak（k= 1,2,3,4,5）,則尸1點(diǎn)土）等于（）A-5A-5421B.5 C.5 D.5答案解析由題意知，分布列為解析由題意知，分布列為123415555Pa2a3a4a5a由分布列的

26、性質(zhì)可得，a+2a+3a+4a+5a= 1,解得a=15.解得a=15.所以吒6)=P(X= 7)+P(X= 8)=35+35=35.6.設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為X-101P32 3qq2-333B.2土 6則q-333B.2土 6A.1_ 3 ,應(yīng)d，2+K廠_ 3 ,應(yīng)d，2+KC-2- 6答案 C解析.1+2 3q+q2=1,.禎2 3q+4=0,解得 q=3土號.又由題意知 0q22，Aq=3-332632-j336 .7.口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5,從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的分布列為.答案X345P解析 X的取值為3,4,5.又 P(

27、X=3)=3=0.1, P(X=4)=l3 = 0.3,C5C5P(X=5) =所以X的分布列為X345p8.所以X的分布列為X345p8.隨機(jī)變量X的分布列如下:其中a, b, c成等差數(shù)列，則P(IXI = 1)=公差d的取值范圍是.1_ 31_ 3解析*.,a, b, c成等差數(shù)列,.2b=a+c.一.一.1 2又 a+b+c=1, .b=3，.P(XI = 1)=a+c = 3.又 a=3d, c=3+d,1212根據(jù)分布列的性質(zhì)，得03a3，0+a3,1- 3,記下它的顏色，然后放回，再取一球，在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機(jī)取一球 又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)n的分布列

28、為,記下它的顏色，然后放回，再取一球，答案n012p111424解析的所有可能值為0,1,2., 八C1C1 1, 一 。乂2 1p(n=0)=cic1=4, p(n=1)= CS =222的一C1C1 1p(n=2)=c1c1=4.22n012p111424某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年 后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192例8例則估計(jì)該公司一年后可獲收益的均值是元.答案4 760解析 由題意知，一年后獲利6 000元的概率為0.96，獲利一25 000元的概率為0.04，故一 年后收益的

29、均值是 6 000X0.96+(-25 000)X0.04=4 760(元).11.(2018-河南豫南九校聯(lián)考)為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機(jī)在高考期間至少 進(jìn)行一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們進(jìn)行“愛心送考”的次數(shù) 統(tǒng)計(jì)如圖所示.求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù)；從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量X，求X的分布列及均值.參加人數(shù)參加人數(shù)解(1)由統(tǒng)計(jì)圖得200名司機(jī)中送考1次的有20人, 送考2次的有100人，送考3次的有80人，.該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考的人均次數(shù)為20X1 + 100X2+80

30、X3= 2.3.200(2)從該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人送考1次，另一人送考2次為事件A，“這兩人中一人送考2次，另一人送考3次為事件B，“這兩人中一人送考1次，另一人送考3次為事件C，“這兩人送考次數(shù)相同”為事件D，由題意知X的所有可能取值為0,1,2, TOC o 1-5 h z C1 C1. C1 C1100p(X=1)=p(A)+=-C7E+-CL=面，200200Cl C116P(X=2)=P(C)=-C2-8=199，200p(x=0)=p(D)=Q-2o+0o+Q8o=99,200.X的分布列為X012P8319910019916 19916 _132199 16 _1

31、32199 = 199-EX=0X 面+1X 面+2X某超市計(jì)劃按月訂購一種冰激凌，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每桶5元，售價為每桶7 元，未售出的冰激凌以每桶3元的價格當(dāng)天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量 與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān)，如果最高氣溫不低于25 C，需求量為600桶，如果最高氣 溫(單位：。C)位于區(qū)間20,25)，需求量為400桶，如果最高氣溫低于20 C，需求量為200桶. 為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布 表：最高氣溫(C)10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)2163625

32、74以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列；設(shè)六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種冰激凌一天的進(jìn)貨量(單位：桶)為多少時，Y的均值取得最大值？解(1)由已知得，X的所有可能取值為200,400,600,記六月份最高氣溫低于20 C為事件少,最高氣溫(單位：C)位于區(qū)間20,25)為事件A2,最高氣溫不低于25 C為事件A3，根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計(jì)概率， TOC o 1-5 h z 18 136 236 2可知 P(X=200)=P(A1)=90 = 5， p(X=400)=p(A2) =

33、 90=5，p(x=600)=p(a3)=90 = 5，故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為X200400600P122555 TOC o 1-5 h z (2)由題意得，當(dāng) nW200 時，E(Y) = 2nW400； 1. 46 .當(dāng) 200nW400 時，E(Y)=5X200 x2+(n200)x(2)+XnX 2=5+1606(400,640；當(dāng) 400600時，1. 2. 2EY= 5 X 200 x2 + (n 200)x( 2) +5 X 400 x2 + (n400)x( 2) + 5 X 600 x2+(n 600)x(一2) = 1 7602n560,所以

34、當(dāng)n=400時，Y的均值取得最大值640.項(xiàng)技能提升練已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來確定哪一 只受到了感染.下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止. 方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在 一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐 個化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中 逐個進(jìn)行化驗(yàn).求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化

35、 驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和均值.解(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰好含C311有病毒DNA，此種情況的概率為C5XC7=6；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA，63再從中逐個化驗(yàn)，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為苫乂&=，.所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為7+7=1.663(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為(單位：元)，則n的可能取值為10,18,24,30,36.P(n=10)=6，5 1 1 P(n=18)=6X5=6,/5 4 11P(n=24)=6X5X4=

36、6，5 4 3 1 1P(n=30)=6X5X4X3=6，/5 4 3 2 1P(n=36)=6X5X4X3=3， 則化驗(yàn)費(fèi)n的分布列為n1018243036p1111166663 TOC o 1-5 h z 一 1.一 111.一一 177一所以 En= 1。X + 18X+24X+30X + 36X =父（兀）.66663314.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)X）、推理（能力指標(biāo)y）、建模（能力指標(biāo)z） 的相關(guān)性，并將它們各自量化為1,2,3三個等級，再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評定學(xué)生的 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：若wN7，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若5WwW6,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若 3WwW4,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級.為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了 某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：學(xué)生編號A1A2A3A4A5(x，y，z)(2,2,