幾何體外接球常用結(jié)論及方法

1、幾何體外接球常用結(jié)論及方法(如何求幾何體的外接球半徑)、在涉及球的問(wèn)題中，經(jīng)常用到結(jié)論：在三棱錐p - abc中，pa丄pb , pa丄pc , pb丄pc，則該三棱錐的外接球的半徑 2r pA2+pB2+pC2 .等邊三角形外接圓的半徑等于連長(zhǎng)的 倍.直角三角形的三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半abc一般的三角形ABC可由正弦定理：=2R( R為外接圓半徑)求得外接sin A sin B sin c圓半徑，內(nèi)切圓的半徑通過(guò)：S=1C- r( r為內(nèi)切圓的半徑)求得.多邊形 2 多邊形的周長(zhǎng)已知三棱錐P- ABC , PA丄面ABC，若PA二a , ABC的外接圓半徑為r，則該三棱錐 P -

2、ABC的外接球半徑為(2R)2 =(2r)2 + a2.正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的直徑分別為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)2R = 3a、棱長(zhǎng)2R二a、 面對(duì)角線長(zhǎng)2R = 2a .在四面體P- ABC，若ZAPC = 90。，ZABC = 90。，則四面體P- ABC的外接球的直徑是 AC .對(duì)于正棱錐的外接球的半徑計(jì)算，也可借用幾何法求出如針對(duì)正三棱錐V- ABC，可根據(jù)平面幾何中的射影定理VA2 = 2RH (H為正三棱錐的高，VA為側(cè)棱長(zhǎng)，即正棱錐側(cè)棱長(zhǎng)的平方等于正棱錐的高與外接球直徑的乘積.正四面體的高、外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之間的關(guān)系：高：h色球心把高分成3：i；內(nèi)切球半徑：12a；

3、外接球半徑：f a-有內(nèi)切球的多面體的內(nèi)切球的半徑計(jì)算方法：V =；S r .3全三棱錐的兩個(gè)側(cè)面互相垂直，已知兩個(gè)相互垂直的面的外接圓半徑的長(zhǎng)及其公共棱的長(zhǎng)度的情形：已知三棱錐A-BCD中，面ABD丄面BCD，且AABD，ABCD的外接圓半徑分別記 為r,r，公共棱BD = a，則該三棱錐的外接球半徑滿(mǎn)足：(2R)2 =(2r)2 +(2r)2 -a21 2 1 2證明：分別在AABD，ABCD所在的圓面上調(diào)整這兩個(gè)三角形的開(kāi)關(guān)，如圖在AABD的外接圓周上調(diào)整A點(diǎn)的位置到G點(diǎn)，使GD丄BD，在ABCD的外接圓周上調(diào)整 其形狀，將B調(diào)整到E , C調(diào)整到F，使得AEDF是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直

4、角三角形，從而得到新的三棱錐G EDF，則GD丄DE， GD丄DF， DE丄DF， GD =2 -a2，DE = DF =站2，三棱錐G EDF的外接球與A BCD的三棱錐的外接球是重合的，因此 所求得外接球半徑滿(mǎn)足（2R匕=（2r）2 +（2r匕a2.1 2（12）三棱錐給出兩個(gè)側(cè)面的夾角大?。▕A角），及其相應(yīng)兩個(gè)側(cè)面的三角形的外接圓半徑和公共弦 長(zhǎng)的情形：P ABC，已知面PAC與ABC所形成的二面角為（00 90。），且已知APAC和AABC的外接圓的半徑分別為ri，r2，AC - a，則該棱錐P - ABC的外接球半徑R滿(mǎn)足:2 R 2 + 2 R 2 + 2cos 0T - 2C0S

5、0Va 2 vr -i 4、a 2r 2.2 4八分丿證明：如圖，取APAC，AABC的外接圓圓心分別為O ,O，分別過(guò)O ,O作面PAC，ABC1212的垂線，兩條垂線必交于一點(diǎn)O，該O即為該三棱錐的外接球的球心.再取公共棱AC的中點(diǎn)為再取公共棱AC的中點(diǎn)為K 連接O1K,O2 K則四點(diǎn)O, O1, K，O2共圓且zoko，zooo 二兀一e1 2 1 2在直角三角形AOO1中根據(jù)勾股定理得:OO = ，:R2 - r2 ,同理可得 OO = JR2 - r 21 1 2 2OK =i1 a )2a 2O K =1 a )r 2 -r 2 -，Jr 2 -I1L 2 J1V 142VL 2丿

6、在AO KO和AO OO中，根據(jù)ZOKO =01 2 1 2 1 2ZO1OO2 =-0，結(jié)合余弦定理可得到:R, r, r , a之間的等量關(guān)系? 一2cos 0Va 2 vr -14、a 2r 2 -.2 4八分丿（13）計(jì)算球的表面積或體積，必須求出球的半徑，一般方法有（核心：補(bǔ)體定心）根據(jù)球心到內(nèi)接多面體各頂點(diǎn)的距離相等確定球心，然后求出半徑；（當(dāng)涉及的多面體較多垂直時(shí)，考慮此法，充分利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)，找出小圓圓心或球心位置，進(jìn)而求出 球的半徑.）考慮補(bǔ)體法，求出多面體的外接球的直徑當(dāng)三棱錐S-ABC中，三對(duì)對(duì)棱分別相等時(shí)，可 構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體；當(dāng)三棱錐S -ABC有三條（可不相鄰