幾何體外接球精美講義

1、第二講幾何體的外接球和內(nèi)切球問題基礎(chǔ)知識(shí)：常見平面圖形：正方形，長方形，正三角形的夕卜接圓和內(nèi)切圓 /長方形（正方形）的夕卜接圓半徑為對(duì)角線長的一半，正方形的內(nèi)切圓半yX/廠徑為邊長的一半；正三角形的內(nèi)切圓半徑：夕卜接圓半徑：-3概念1：與定點(diǎn)距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡稱球，定長叫球的半徑；與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面一個(gè)球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球概念1：與定點(diǎn)距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡稱球，定長叫球的半徑；與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面一個(gè)球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球o或L O 概念2：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的

2、曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。3球的截面：用一平面法截一個(gè)球0，設(shè)00是平面的垂線段，O為垂 .0足，且00 =d,所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以r一/ r 1 oi/ap/二 R -d為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓面. 2球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓 空間幾何體外接球、內(nèi)切球的概念：定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2 :若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的面積：、蘆正三角形三心合一，三線合一，心把高分為2:1

3、兩部分。2球的概念：外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。長方體的外接球 正方體的內(nèi)切球5. 外接球和內(nèi)切球性質(zhì)：內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均 相等。正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。26. 公式：球的表面積公式： S=4：R ;球的體積公式： 7= HR長方體的夕卜接球半徑公式：Ra b c ，其中分別為長方體共頂點(diǎn)的3條棱2長正棱錐的夕接球半徑公式：R側(cè)棱2 =2r h，其中a為側(cè)棱長，h為正棱錐的2h= a2夕 正棱錐高正

4、棱柱的夕接球球心在兩底面中心連線的中點(diǎn)處。典型例題：題型一：球的概念例1.已知球的直徑為8cm那么它的表面積為，體積為已知球的表面積為144兀cm，那么它的體積為2已知球的體積為36兀，那么它的表面積為 如果兩個(gè)球的體積之比為8:27，那么兩個(gè)球的表面積之比為 例2.（1） （ 2012年新課標(biāo)文科）平面a截球O的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距離為,2，則此球的體積為（）A. . 6.B . 4、3 C . 4D . 6、3（2 ）已知過球面上代B,c三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB二BC二CA2，求球的表面積.（3）（ 2013年高考課標(biāo)I卷（文）已知h是球O的直徑AB

5、上點(diǎn)，AH:HB=1:2 , AB _平面，H為垂足，:截球0所得截面的面積為二，則球0的表面積為（4）（ 2013年高考新課標(biāo)1 （理）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器, 容 器高8cm將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水 深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為500二 3866二 31372二 32048二 3A. cm B. cm C. cm D . cm3333題型二：與長方體、正方體（柱體）有關(guān)的外接球問題 例3. （1）設(shè)正方體的棱長為 ，則它的外接球的表面積為（3A. 二 BA. 二 B83（2）已知正方體外接球的體積是A. 2 2 B

6、.D. 二43二，那么正方體的棱長等于（323例4. （例4. （1） （2010年新課標(biāo)文科）32a、 a、a，其頂點(diǎn)C. 1 設(shè)長方體的長、寬、高分別為C. 1 設(shè)長方體的長、寬、高分別為長為1 cm,那么該棱柱的表面積為2cmA. 3aB. 6a22（2 ）個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上如果正四棱柱的底面邊3 （ 2013年遼寧數(shù)學(xué)（理）已知直三棱柱abc-aag的6個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面D. 3.101的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在A D. 3.101的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在2 題型三：與正錐體有關(guān)的外接球問題例5. （1） 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為該球的

7、一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（12B, C都在半徑為；12B, C都在半徑為；3的求4*3*4（2012年高考遼寧理）已知正三棱錐PABC點(diǎn)P面上，若PA PB, PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為例6.（1） （2013年高考課標(biāo)H卷（文）已知正四棱錐CABCD勺體積為例6.2邊長為.3,則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為（2）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF / TOC o 1-5 h z 則此正六棱錐的側(cè)面積是.題型四：其他柱體、錐體的外接球問題例7（1 ）直三棱柱ABC -AB1G的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB AC = AA =2 ,-BAC =

8、120，則此球的表面積等于.（2）四棱錐S -ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，底面是邊長為2的正方形，SD_平面ABCD ,（2015年新課標(biāo)2文科）已知a,b是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB = 90, C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（）A 36 B 64 二C 144 D 256題型五：柱體、錐體的內(nèi)切球問題例8（1）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）(2)正三棱錐的高為1,底面邊長為 2 6 ,正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切.球的表面積與體積.拓展練習(xí)：一個(gè)正四面體的所有棱長都為.2 ,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為()A. 3 二 B. 4 C . 3一 3二 D . 6二一個(gè)四棱柱的底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，其長度為4,棱柱的體積為16,棱柱的各頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是( )A. 16二 B. 20 二 C . 24 二 D . 32 二7. (2012遼寧文)已知點(diǎn)p,代b,c,D是球O表面上的點(diǎn)，PA丄平面ABCD四邊形ABCD是邊長為2 忑 正方形若pa=2人6，貝