高一數(shù)學(xué)必修3復(fù)習(xí)

1、高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題1 算法初步 秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式 答案： 6 ， 6 2 統(tǒng)計(jì) 基本定義：（1）總體：在統(tǒng)計(jì)中,所有考查對(duì)象的全體叫做全體.(2) 個(gè)體：在所有考查對(duì)象中的每一個(gè)考查對(duì)象都叫做個(gè)體.(3) 樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的樣本.(4) 樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量. 抽樣方法：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（simple random sampling）：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N.如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)

2、體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法. （關(guān)于制簽和隨機(jī)數(shù)表的制作，請(qǐng)參照課本第41頁）(2)系統(tǒng)抽樣(systematic sampling):將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本。先用隨機(jī)的方法將總體進(jìn)行編號(hào)，如果就從中用隨機(jī)數(shù)表法剔除幾個(gè)個(gè)體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔，然后從第一組中用簡(jiǎn)單實(shí)際抽樣的方法抽取一個(gè)個(gè)體，假設(shè)編號(hào)為 ，然后就可以將編號(hào)為 的個(gè)體抽出作為樣本，實(shí)際就是從每一組抽取與第一組相同編號(hào)的個(gè)體。(3)分層抽樣（stratifed sampli

3、ng）：當(dāng)已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.樣本容量越大，估計(jì)越精確！友情提醒：1. 把每一種抽樣的具體步驟看清楚，要求會(huì)寫過程2. 個(gè)體數(shù)N的總體中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，那么在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，且等于.其實(shí)三種抽樣的每一個(gè)個(gè)體都是等幾率的被抽到的3. 三種抽樣都是不放回的抽樣4. 在具體問題中對(duì)于樣本，總體，個(gè)體應(yīng)該時(shí)代單位的,如考察一個(gè)班級(jí)的學(xué)生的視力狀況，從中抽取20個(gè)同學(xué)，則個(gè)體應(yīng)該是20名同學(xué)的視力，而不是20名同學(xué)，樣本容量則為20，同樣的總體也是全

4、班級(jí)同學(xué)的視力 兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系： 類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等從總體中逐個(gè)抽取總體中個(gè)體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層進(jìn)行抽取各層抽樣可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體有差異明顯的幾部分組成系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體較多 典型例題剖析：例1、一個(gè)總體含有6個(gè)個(gè)體，從中抽取一個(gè)樣本容量為2的樣本，說明為什么在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等.解：設(shè)任意一個(gè)個(gè)體為，那么個(gè)體被抽到分兩種情況：（1）第一次被抽到：根據(jù)等可能事件概率得P=，（2）第二次被抽到：

5、即是個(gè)體第一次沒被抽到、第二次被抽到這兩件事都發(fā)生.個(gè)體第一次沒被抽到的概率是, 個(gè)體第一次沒被抽第二次被抽到的概率是.根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式, 個(gè)體第二次被抽到的概率是P=.(也可這樣分析：根據(jù)等可能事件的概率求得，一共取了兩次，根據(jù)分步原理所有可能結(jié)果為65=30，個(gè)體第一次沒被抽到第二次被抽到這個(gè)隨機(jī)事件所含的可能結(jié)果為51=5，所以個(gè)體第二次被抽到的概率是P=)個(gè)體在第一次被抽到與在第二次被抽到是互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2個(gè)個(gè)體的過程中,個(gè)體被抽到的概率P= P+ P=+=.由個(gè)體的任意性,說明在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等(都等于)點(diǎn)評(píng)：注

6、意區(qū)分“任一個(gè)個(gè)體每次抽取時(shí)被抽到的概率”與“任一個(gè)個(gè)體在整個(gè)抽樣過程中個(gè)體被抽到的概率”的區(qū)別,一般地,如果用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本,那么“任一個(gè)個(gè)體每次抽取時(shí)被抽到的概率”都相等且等于,“任一個(gè)個(gè)體在整個(gè)抽樣過程中被抽到的概率”為.例2、（1）在120個(gè)零件中，一級(jí)品24個(gè)，二級(jí)品36個(gè)，三級(jí)品60個(gè)，從中抽取一個(gè)容量為20的一個(gè)樣本，求 每個(gè)個(gè)體被抽到的概率， 若有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取時(shí)，其中個(gè)體第15次被抽到的的概率， 若用分層抽抽樣樣方法抽取時(shí)其中一級(jí)品中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率.解： 因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)為120，樣本容量為20，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率P= 因

7、為總體個(gè)數(shù)為120，則體第15次被抽到的的概率P= 用分層抽樣方法：按比例=分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品中抽取24=4個(gè)，36=6個(gè)，60=10，所以一級(jí)品中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為P=.注：其實(shí)用分層抽樣方法抽取時(shí)二級(jí)品、三級(jí)品中每個(gè)體被抽到的概率也都為.點(diǎn)評(píng)：本題說明兩種抽樣方法都能保證在抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等.且為.例3、某地區(qū)有3000人參加今年的高考，現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本對(duì)他們進(jìn)行分析，每個(gè)考生被抽到的概率為，求這個(gè)樣本容量.解：設(shè)樣本容量為n，則=，所以n=300.點(diǎn)評(píng)：“在整個(gè)抽樣過程中個(gè)體被抽到的概率”為這一結(jié)論的逆用.例4、下列抽取樣本的方式是否屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

8、?說明理由.(1) 從無限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作樣本.(2) 盒子里共有100個(gè)零件,從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí),從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里.解：(1) 不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.由于被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是無限的. (2) 不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.由于不符合“逐個(gè)抽取”的原則,且抽出的結(jié)果可能是只有一個(gè)零件重復(fù)出現(xiàn).點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)： (1) 它要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的. (2) 它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取. (3) 它是一種不放回抽樣.例5、 某校有學(xué)生1200人,為了調(diào)查午休對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響情況,計(jì)劃抽取一個(gè)樣本容量為60的樣本,問此樣本若采用

9、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣將如何進(jìn)行?解：可用兩種方法：方法一：（抽簽法）（1）編號(hào)： 將1200名學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)編號(hào)為1，2， ，1200，（可按學(xué)生的學(xué)號(hào)或按學(xué)生的生日進(jìn)行編號(hào)）. （2）制簽：做1200個(gè)大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫上這1200個(gè)數(shù)，放在個(gè)容器里，并進(jìn)行均勻攪拌. （3）逐個(gè)抽取：連續(xù)抽取60個(gè)號(hào)簽，號(hào)簽對(duì)應(yīng)的同學(xué)即為樣本. 方法二：（隨機(jī)數(shù)表法） （1）編號(hào)： 將1200名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)分別為0000，0001， 1199， （2）選數(shù)：在課本附表1隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始.(如從第11行第7列的數(shù)9開始) (3) 讀數(shù)：從選定的數(shù)開始向右（或向上、向下、向左）讀下去，選取介于范圍的

10、號(hào)碼，直到滿60個(gè)號(hào)碼為止. (4) 抽取：抽取與讀出的號(hào)碼相對(duì)應(yīng)的學(xué)生進(jìn)行分析.點(diǎn)評(píng)：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法是常見的兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，本問題顯然用隨機(jī)數(shù)表法更方便一些，因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)較多.另外隨機(jī)數(shù)表法編號(hào)時(shí),位數(shù)要一樣,首數(shù)確定后,可向左、向右、向上、向下各個(gè)確定的方向進(jìn)行抽取.例6、某工廠中共有職工3000人,其中,中、青、老職工的比例為532，從所有職工中抽取一個(gè)樣本容量為400的樣本，應(yīng)采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？解：采用分層抽抽樣樣方法較為合理.由樣本容量為400,中、青、老職工的比例為532,所以應(yīng)抽取中年職工為400=200人, 應(yīng)抽取青年職工為4

11、00=120人,應(yīng)抽取青年職工為400=80人.例6. 見課本例1.點(diǎn)評(píng)：因?yàn)榭傮w由三類差異較明顯的個(gè)體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽抽樣樣方法進(jìn)行抽取. 總體分布的估計(jì).頻率分布表：見課本第51頁： 例1 1. 注意全距，組距的確定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取適當(dāng)?shù)牧孔鳛槿?，正常情況下分為十組左右，也就是合理分組2. 分組的時(shí)候一般取左閉右開區(qū)間，最后一個(gè)區(qū)間取閉區(qū)間，然后填寫分組、頻數(shù)、頻率、合計(jì)3. 如果全距不利于分組（如不能被組數(shù)整除）就可適當(dāng)?shù)脑龃笕?，即在左右兩端增加相同的?.分組過少，總體的特征不明顯；分組過多，總體特征不利于比較.頻率分布直方圖：1.橫軸表示數(shù)據(jù)的內(nèi)容，每

12、一線段表示一個(gè)組的組距，注意橫軸要有單位2.縱軸表示的是： 3.每個(gè)小矩形的面積都是該組所對(duì)應(yīng)的頻率.頻率分布折線圖： 1. 由頻率分布直方圖直接得到，取值區(qū)間的兩端點(diǎn)分別向外延伸半個(gè)組距并取此組距上再x軸上的點(diǎn)，然后順次連接直方圖中每一個(gè)小矩形上底邊的中點(diǎn)，形成折線圖 2.當(dāng)樣本容量足夠大，分組的組距取得足夠小時(shí)，折線圖取與一條平滑的曲線，稱這條曲線為總體分布的密度曲線，而且曲線與橫軸圍成的面積為1 3. 在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的可能性就是直線x=a , x=b , y=0 和總體密度曲線圍成的面積 4. 累計(jì)頻率分布曲線上任意一點(diǎn) 的縱坐標(biāo)標(biāo)b表示的連續(xù)型總體，取小于

13、等于 a 的值的可能性. 三者的特點(diǎn)頻率分布表：數(shù)據(jù)翔實(shí)、具體、清晰明了，便于查閱頻率分布直方圖：形象直觀，對(duì)比效果強(qiáng)烈頻率分布折線圖：能夠反映變化趨勢(shì).莖葉圖的特點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)單易行，雜亂的數(shù)據(jù)在用莖葉圖表示后能直觀地反映出數(shù)據(jù)的水平狀況、穩(wěn)定程度；所有的數(shù)據(jù)都可以在莖葉圖中找到. 缺點(diǎn)分析只是粗略的，對(duì)差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，另外，對(duì)位數(shù)較多的數(shù)據(jù)不易操作，數(shù)據(jù)較多時(shí)效果不是很好. 注意點(diǎn)： 1. 對(duì)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏 2. 莖要從小到大自上而下的排列，中間用一條豎線隔開 3. 葉也要按照從小到大的順序排列，對(duì)于兩組數(shù)據(jù)的可以用兩條豎線把莖和葉隔開，左邊的葉最好按照從大到

14、小的順序排列，右邊的葉按照從小到大的順序排列 4. 莖葉圖一般在衡量一位或者兩位運(yùn)動(dòng)員在比賽時(shí)的得分情況（ 例題見課本 ）總體特征數(shù)的估計(jì)反映總體某種特征的量較總體特征數(shù)，比如平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)等 .平均數(shù)（average） 或均值（mean）： 其原理：最小二乘法 設(shè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)近似的值為 x 則它與這n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的離差為由于上面的離差有正有負(fù)，故不易直接相加，就考慮離差的平方和 所以當(dāng)時(shí)，離差的平方和的函數(shù)取得最小，誤差也就最小，故而用 作為這組數(shù)據(jù)的理想近似值. .平均數(shù)的求法: 題目類型有離散型和連續(xù)型兩種情況 加權(quán)平均數(shù): （其中 為 對(duì)應(yīng)的頻率），這里也是為我們今后將要學(xué)習(xí)的

15、數(shù)學(xué)期望作鋪墊見課本 例2 注：特別地，對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量在分好組后，其 應(yīng)該取每一組的組中值近似的表示.樣本方差（variance）: =樣本標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)：說明：1. 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量 2. 方差、標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小或穩(wěn)定程度或各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，記住它們的表達(dá)形式，在選擇題中常出現(xiàn)關(guān)于它們的判斷3. 一個(gè)重要結(jié)論：4. 方差與越大，穩(wěn)定性越差5. 關(guān)于它們的運(yùn)算，分連續(xù)型和離散型兩種情況，見課本 對(duì)于離散型的隨機(jī)變量也要注意選擇組中值 例題：從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測(cè)得它們的株高如下（

16、單位：cm ）:甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問題：（1）哪種玉米苗長得高？（2）哪種玉米苗長得齊？分析 ：看哪種玉米苗長得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可；要比較哪種玉米苗長得齊，只要比較哪種玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齊，因?yàn)榉讲罘从车氖且唤M數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度解：（1） （2）評(píng)： 1. 特別注意本題中的兩問的說法的不同，所以算法就不同2. 一般的說哪組數(shù)據(jù)齊、穩(wěn)定、波動(dòng)情況等都是通過方差來判斷.幾個(gè)重要的結(jié)論：對(duì)于一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為若 都增加

17、,則平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為 也可以這樣解釋：同時(shí)增加，也就是相當(dāng)數(shù)據(jù)平移了，不會(huì)改變數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，所以方差和標(biāo)準(zhǔn)差都不會(huì)變.若 都遞增%，則平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為 若 都變?yōu)樵瓉淼谋?，則平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為 例題: 已知的方差為2，則 的標(biāo)準(zhǔn)差為 ？解法1：（公式推導(dǎo)法） 解法2：（推理法）因?yàn)閿?shù)據(jù)的每一項(xiàng)都是先2倍后加上3，而加上3對(duì)方差沒有影響，2倍后則方差變?yōu)樵瓉淼?倍，即方差標(biāo)為8 ，則標(biāo)準(zhǔn)差為 . 線性回歸方程.變量之間的關(guān)系： 確定的函數(shù)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系（有一定的關(guān)系，但不能用函數(shù)表達(dá)出來）. 對(duì)于一組數(shù)據(jù)探討它們滿足的關(guān)系，可以先畫出散點(diǎn)圖，看它們的大致趨勢(shì)，然后選

18、擇一種函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，電腦和計(jì)算器一般給出6種擬合函數(shù)，也就是說對(duì)于一組數(shù)據(jù)可以用各種函數(shù)模型來擬合，只不過擬合度不同而已，當(dāng)擬合度越接近于1則擬合得越好，本教材之研究線性擬合，也就是求線性回歸方程. 線性回歸分析：理論依據(jù)最小二乘法 見課本 . 設(shè)線性回歸方程為 ，關(guān)鍵在于求 . 相關(guān)系數(shù)： 稱為. 說明：1. 由于公式的復(fù)雜，數(shù)據(jù)有的也較多，所以在具體做題目時(shí)可以列出表格來，對(duì)應(yīng)填進(jìn)去，然后用公式計(jì)算，這樣就不會(huì)產(chǎn)生慌亂的感覺 2.做題目時(shí)要細(xì)心，不要亂，在我們高一階段一般只給出56組數(shù)據(jù)，算起來已經(jīng)不是很難了3. 當(dāng)然這種擬合（我們主要學(xué)習(xí)線性擬合就是求線性回歸方程）在電腦里都可作出來

19、圖像來，而且求出相應(yīng)的擬合度，有興趣的同學(xué)可以在Excel軟件里試一試4.表格形式：12n合計(jì) 然后代入公式計(jì)算3. 概率事件：隨機(jī)事件（ random event ），確定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) 隨機(jī)事件的概率(統(tǒng)計(jì)定義)：一般的，如果隨機(jī)事件 在次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了次，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)很大時(shí)，我們稱事件A發(fā)生的概率為 說明： 一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生于具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性 ，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對(duì)立統(tǒng)一 不可能事件和確定事件可以看成隨

20、機(jī)事件的極端情況 隨機(jī)事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來越小，而這個(gè)接近的某個(gè)常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率 概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢(shì)，而頻率是具體的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值 概率必須滿足三個(gè)基本要求： 對(duì)任意的一個(gè)隨機(jī)事件 ，有 如果事件 古典概率（Classical probability model）： 所有基本事件有限個(gè) 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等 滿足這兩個(gè)條件的概率模型成為古典概型 如果一次試驗(yàn)的等可能的基本事件的

21、個(gè)數(shù)為個(gè)，則每一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個(gè)事件包含了其中的個(gè)等可能的基本事件，則事件發(fā)生的概率為 幾何概型（geomegtric probability model）：一般地，一個(gè)幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“改點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域內(nèi)”為事件，則事件發(fā)生的概率為 （ 這里要求的側(cè)度不為0，其中側(cè)度的意義由確定，一般地，線段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積 ）幾何概型的基本特點(diǎn)： 基本事件等可性 基本事件無限多說明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取點(diǎn)，指的是該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的

22、，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無關(guān)?；コ馐录?exclusive events)：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件 對(duì)立事件（complementary events）：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)生,則稱兩個(gè)事件為對(duì)立事件 ，事件的對(duì)立事件 記為：獨(dú)立事件的概率：，若說明： 若可能都不發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生 ，從集合的關(guān)來看兩個(gè)事件互斥，即指兩個(gè)事件的集合的交集是空集 對(duì)立事件是指的兩個(gè)事件，而且必須有一個(gè)發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個(gè)發(fā)生，可能都不發(fā)生 對(duì)立事件一定是互斥事件 從集合論來看：表示互斥事件和對(duì)立事件的集合的交集都是空集，但兩個(gè)對(duì)立

23、事件的并集是全集 ，而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集 兩個(gè)對(duì)立事件的概率之和一定是1 ，而兩個(gè)互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件是互斥事件，則有 一般地，如果 兩兩互斥，則有 在本教材中 指的是 中至少發(fā)生一個(gè) 在具體做題中，希望大家一定要注意書寫過程，設(shè)處事件來，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來 ，具體的格式請(qǐng)參照我們課本上（新課標(biāo)試驗(yàn)教科書-蘇教版）的例題例題選講：例1. 在大小相同的6個(gè)球中，4個(gè)是紅球，若從中任意選2個(gè)，求所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率？【分析】題目所給的6個(gè)球中有4個(gè)紅球，2個(gè)其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同

24、的解法解法1：（互斥事件）設(shè)事件 為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球” ，則其互斥事件為 意義為“選取2個(gè)球都是其它顏色球” 答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 .解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設(shè)事件 為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有 所以答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 .解法3：（獨(dú)立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件 為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球” ，事件有三種可能的情況：1紅1白；1白1紅；2紅，對(duì)應(yīng)的概率分別為：， 則有 答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 .評(píng)價(jià)：本題重點(diǎn)考察我們對(duì)于概率基本知識(shí)的理

25、解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!變式訓(xùn)練1： 在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4 個(gè)是白球，若從中任意選取3個(gè)，求至少有1個(gè)是紅球的概率？解法1：（互斥事件）設(shè)事件 為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則其互斥事件為， 意義為“選取3個(gè)球都是白球”答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 .解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設(shè)事件 為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有， 所以 答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 .解法3：（獨(dú)立事件概率）設(shè)事件 為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球” ，則事件的情況如下：

26、紅 白 白 1紅2白 白 白 紅 白 紅 白 紅 紅 白 2紅1白 紅 白 紅 白 紅 紅 所以 答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 .變式訓(xùn)練2：盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回的從中任抽2次，每次抽取1只，試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：設(shè)事件為“第1次抽到的是次品”， 事件為“抽到的2次中，正品、次品各一次”則 ，（或者）答：第1次抽到的是次品的概率為 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為變式訓(xùn)練3：甲乙兩人參加一次考試共有3道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概

27、率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨(dú)立的，所以可以用獨(dú)立事件的概率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時(shí)互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來解：設(shè)事件為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件為“至少1人抽到選擇題”，則為“兩人都抽到填空題” （1）（2） 則 答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為 ，少1人抽到選擇題的概率為 .變式訓(xùn)練4：一只口袋里裝有5個(gè)大小形狀相同的球，其中3個(gè)紅球，2 個(gè)黃球，從中不放回摸出2個(gè)球，球兩個(gè)球顏色不同的概率？【分析】先后抽出兩個(gè)球顏色相同要么是1紅1球，要么是

28、1黃1球略解:變式訓(xùn)練5：設(shè)盒子中有6個(gè)球，其中4個(gè)紅球，2 個(gè)白球，每次人抽一個(gè)，然后放回，若連續(xù)抽兩次，則抽到1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率是多少？略解: 例2. 急救飛機(jī)向一個(gè)邊長為1千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個(gè)長寬分別為80米和50米的水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米的范圍內(nèi)時(shí)，物品會(huì)失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)是隨機(jī)的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無效的概率？【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測(cè)度用面積來衡量解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長為1千米的正方形為區(qū)域 ，事件“發(fā)放急救物品無效”為 ，距離水池

29、10米范圍為區(qū)域 ，即為圖中的陰影部分， 則有答：略說明：這種題目要看清題目意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會(huì)有落在所給的大的區(qū)域之外的不計(jì)的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個(gè)條件，因?yàn)槌鲆粋€(gè)網(wǎng)格，就會(huì)進(jìn)入另外一個(gè)網(wǎng)格，分析是同樣的變式訓(xùn)練1：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計(jì)，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：變式訓(xùn)練2：如圖，設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)小正三角形的邊長都是 , 現(xiàn)有一直徑等于的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率？【分析】因?yàn)閳A的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點(diǎn)只要圓心到

30、網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解：如圖，正三角形內(nèi)有一正三角形 ，其中 ，當(dāng)圓心落在三角形 之外時(shí)，硬幣與網(wǎng)格有公共點(diǎn) 答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率為 0.82 .變式訓(xùn)練3：如圖，已知矩形 的概率？略解：變式訓(xùn)練4：平面上畫了彼此相距2a的平行線把一枚半徑r a的硬幣，任意的拋在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？解：設(shè)事件為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線，垂足2a為， 線段的長度的取值范圍為 ，其長度就是2a幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域的幾何測(cè)度，只有當(dāng)時(shí)，硬幣不與平行線相碰，其長度就是滿足事件 的區(qū)域的幾何測(cè)度，所以答：硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為【評(píng)價(jià)與鏈接】該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認(rèn)區(qū)域和區(qū)域，理解它們的關(guān)系以及它們的測(cè)度如何來刻畫。蒲豐投針問題：平面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離為（） ，向平面內(nèi)任意的投擲一枚長為的針，求針與平行線相交的概率？ 解：以表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線的距離，又以表示針與此直線的交角，如圖易知 ，有這兩式可以確定平面上的一個(gè)矩形，這是為了針與平行線相交，其充要條件為，有這個(gè)不等式表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，由等可能性知 2a 2a如果，而關(guān)于的值，則可以用實(shí)驗(yàn)的方法，用頻率去近似它，既: 如果 投