3立體幾何中的向量方法-2017年高考數學(文)備考學易黃金易錯點含解析

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1直三棱柱ABCABC中，BCA90，M，N分別是AB，AC的中點,BCCA1111111CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A。錯誤!B。錯誤!C.錯誤!D.錯誤!答案C方法二如圖(2)，取BC的中點D,連結MN,ND，AD，由于MN綊錯誤!B1C1綊BD,因此有ND綊BM，則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角設BC2,則BMND錯誤!，AN錯誤!，AD錯誤!，ND2NA2AD2因此cosANDNA錯誤!.2ND2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為線段BD的中點設點A1BD所成的角為P在線段CC1上，直線OP與平面，則sin的取值范

2、圍是（)學必求其心得，業(yè)必貴于專精A錯誤!，1B錯誤!，1C錯誤!，錯誤!D錯誤!,1答案B剖析依照題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，因此過點P作交線A1O的垂線PE，則PE平面A1BD，依照選項可知B正確3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在直學必求其心得，業(yè)必貴于專精線BC1上運動時，有以下三個命題:三棱A錐D1PC的體積不變；直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;二面角PAD1C的大小不變其中真命題的序號是_答案剖析中，BC1平面AD1C，BC1上隨意一點到平面AD1C的距離相等，因此體積不變，正確；中，點P在直線BC1上運動時，直線AB與平面AC

3、D1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等，因此不正確;中，點P在直線BC1上運動時,點P在平面AD1C1B中,既二面角P-AD1C的大小不受影響，因此正確4已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點E、F分別為BB1、CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為_答案錯誤!剖析以點A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標系,以以下圖，學必求其心得，業(yè)必貴于專精5.如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，點E，F分別是CC1，BC的中點，AEA1B1,點D為棱A1B1上的點1）證明：DFAE;2)可否存在一點D,使得平面DEF與平面

4、ABC所成銳二面角的余弦值為錯誤!？若存在，說明點D的地點，若不存在，說明原因學必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）證明AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1?面A1ACC1,AE?面A1ACC1，AA1AEA，AB面A1ACC1。又AC?面A1ACC1，ABAC,以A為原點成立以以下圖的空間直角坐標系Axyz，則有A（0,0，0），E錯誤!，F錯誤!，A1（0，0，1）,B1(1,0,1),由（1）可知平面ABC的法向量n（0，0,1）設平面DEF的法向量為m（x，y，z），則錯誤!FE，（錯誤!，錯誤!,錯誤!),錯誤!錯誤!，錯誤!即錯誤!學必求其心得，業(yè)必貴于專精6如圖,

5、在以A，B，C,D,E,F為極點的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60。1)證明：平面ABEFEFDC；2）求二面角EBCA的余弦值1)證明由已知可得AFDF,AFFE，因此AF平面EFDC，又AF?平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC。2)解過點D作DGEF,垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以點G為坐標原點，錯誤!的方向為x軸正方向，錯誤!為單位長，成立以以下圖的空間直角坐標系Gxyz.學必求其心得，業(yè)必貴于專精由（1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60,則DF2，DG錯誤!,可得A(1,4,0），B(3,4,

6、0)，E（3，0，0）,D（0，0，錯誤!）由已知,ABEF，因此AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，因此CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60,進而可得C（2，0,3)易錯起源1、利用向量證明平行與垂直例1、如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，點M為AB的中點，點O為DF的中點運用向量方法證明：學必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）OM平面BCF;(2）平面MDF平面EFCD.證明方法一由題意，得AB,AD,AE兩兩垂直，以點A為原點成立以以下圖的空間直角坐標系設正方形邊長為1,則A（

7、0,0，0)，B（1，0,0),C(1,1，0),D（0,1，0）,F(1,0，1)，M錯誤!，O錯誤!。(1)錯誤!錯誤!，錯誤!(1，0,0），錯誤!錯誤!0，錯誤!錯誤!。棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF,錯誤!是平面BCF的一個法向量，且OM?平面BCF,OM平面BCF.(2）設平面MDF與平面EFCD的一個法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2,y2，z2）錯誤!（1，1,1)，錯誤!錯誤!,錯誤!(1,0，0)，錯誤!(0,1，1），由錯誤!得錯誤!令x11，則n1錯誤!.同理可得n2(0，1，1)學必求其心得，業(yè)必貴于專精向量錯誤!與向量錯誤!,錯誤!共面,又

8、OM?平面BCF，OM平面BCF。(2）由題意知,BF，BC，BA兩兩垂直，錯誤!錯誤!，錯誤!錯誤!錯誤!，錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!0,錯誤!錯誤!錯誤!（錯誤!錯誤!)1錯誤!2錯誤!錯誤!20。2OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM?平面MDF，平面MDF平面EFCD?！咀兪窖芯俊咳鐖D，在底面是矩形的四棱錐PABCD中,PA底面ABCD，點E,F分別是PC，PD的中點，PAAB1，BC2。(1)求證：EF平面PAB；學必求其心得，業(yè)必貴于專精（2)求證:平面PAD平面PDC.證明(1)以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，成立以以

9、下圖的空間直角坐標系，則A(0，0,0),B（1，0，0），C（1,2，0)，D（0,2,0），P(0,0，1）,點E，F分別是PC,PD的中點，（2）由（1）可知錯誤!(1,0,1），錯誤!(0，2，1），錯誤!（0,0,1),錯誤!(0，2,0),錯誤!(1,0,0）,錯誤!錯誤!（0,0,1)1，（0，0）0，錯誤!錯誤!(0,2，0）（1,0，0）0,錯誤!錯誤!，錯誤!錯誤!,即APDC，ADDC。又APADA,學必求其心得，業(yè)必貴于專精DC平面PAD.DC?平面PDC，平面PAD平面PDC.【名師點睛】用向量知識證明立體幾何問題，如故離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只要要證

10、明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行,用向量方法證明直線ab，只要證明向量ab(R）即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需重申直線在平面外【智謀過人,戰(zhàn)勝自我】設直線l的方向向量為a（a1，b1，c1)，平面,的法向量分別為（a2，b2，c2），v（a3，b3，c3)則有：（1）線面平行l(wèi)?a?a0?a1a2b1b2c1c20。(2）線面垂直l?a?ak?a1ka2，b1kb2，c1kc2.（3）面面平行?v?v?a2a3，b2b3，c2c3.（4)面面垂直?v?v0?a2a3b2b3c2c30。易錯起源2、利用空間向量求空間角例2、如圖，在四棱

11、錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD學必求其心得，業(yè)必貴于專精錯誤!,PAAD2，ABBC1.(1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長解以AB，錯誤!，錯誤!為正交基底成立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則各點的坐標為B(1，0,0），C(1,1，0），D(0，2，0）,P0，0，2)1)由于AD平面PAB,因此錯誤!是平面PAB的一個法向量，錯誤!(0,2，0）由于錯誤!(1,1，2），錯誤!(0,2,2)設平面PCD的法向量為m（x，y，z),學必求其心得，業(yè)必

12、貴于專精(2)由于錯誤!(1，0，2)，設錯誤!錯誤!(，0,2）（01)，又錯誤!(0,1,0)，則錯誤!錯誤!錯誤!(,1,2）,又錯誤!(0，2,2)，進而cos錯誤!，錯誤!錯誤!錯誤!.設12t,t1，3,則cos2CQ，錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!.當且僅當t錯誤!,即錯誤!時，cos錯誤!，錯誤!|的最大值為錯誤!。由于ycosx在錯誤!上是減函數,此時直線CQ與DP所成角獲取最小值又由于BP錯誤!錯誤!，因此BQ錯誤!BP錯誤!.【變式研究】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，點P是棱BB1上一點,知足錯誤!錯誤!（01)學必求其心

13、得，業(yè)必貴于專精(1）若錯誤!,求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；2)若二面角PA1CB的正弦值為錯誤!,求的值解以點A為坐標原點O,分別以AB,AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，成立空間直角坐標系Oxyz。由于ABAC1，AA12，則A（0，0,0)，B（1,0，0)，C（0，1,0），A1（0,0，2），B1(1，0,2），P（1,0,2）不如取z11，則x1y12，進而平面A1BC的一個法向量為n1(2，2，1）設直線PC與平面A1BC所成的角為，則sin|cos|。（3）面面夾角設平面、的夾角為（0)，則cos|錯誤!cos，v。易錯起源3、利用空間向量求解研究性問題例3、

14、以以下圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD,且MDNB1，E為BC的中點(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值;(2)在線段AN上可否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明原因解(1)由題意,易得DMDA，DMDC，DADC.學必求其心得，業(yè)必貴于專精設異面直線NE與AM所成角為,則cos|cos錯誤!,錯誤!|錯誤!錯誤!錯誤!。因此異面直線NE與AM所成角的余弦值為錯誤!.(2）假定在線段AN上存在點S，使得ES平面AMN，連結AE.由于AN，(0,1，1),可設錯誤!錯誤!（0，,），0,1，又錯誤!(錯誤!，1，0)

15、，學必求其心得，業(yè)必貴于專精【變式研究】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2,ADAE1,AEAB，且AEBP。1)設點M為棱PD的中點,求證：EM平面ABCD;2)線段PD上可否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于錯誤!？若存在，試確定點N的地點；若不存在,請說明原因(1）證明由已知,平面ABCD平面ABPE，且BCAB，則BC平面ABPE，因此BA，BP，BC兩兩垂直,故以點B為原點，錯誤!,錯誤!,錯誤!分別為x軸,y軸，軸正方向，成立以以下圖的空間直角坐標系則P（0,2，0)，D(2，0，1），M錯誤!,E(2,1,0）

16、,C（0,0,1)，因此錯誤!錯誤!。易知平面ABCD的一個法向量n(0,1，0),因此錯誤!n(1，0，錯誤!）（0，1，0)0，因此錯誤!n,又EM?平面ABCD，學必求其心得，業(yè)必貴于專精因此EM平面ABCD。（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為錯誤!。原因以下：錯誤!（2,2，1),錯誤!(2，0，0），設錯誤!錯誤!(01），則錯誤!(2，2,1)(2，2，)，錯誤!錯誤!錯誤!（2,22，）因此sin|cos錯誤!，n1|錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!.2因此9810,解得1或錯誤!（舍去）因此,線段PD上存在一點N，當N點與D點重合時，直線BN與平面PCD所成

17、角的正弦值等于錯誤!.【名師點睛】空間向量最適合于解決這類立體幾何中的研究性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只要經過坐標運算進行判斷解題時,把要成立的結論看作條學必求其心得，業(yè)必貴于專精件，據此列方程或方程組，把“可否存在問題轉變?yōu)椤包c的坐標可否有解,可否有規(guī)定范圍內的解”等，因此為使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法【智謀過人，戰(zhàn)勝自我】存在研究性問題的基本特點是要判斷在某些確定條件下的某一數學對象（數值、圖形、函數等）可否存在或某一結論可否成立解決這類問題的基本策略是先假定題中的數學對象存在（或結論成立）或姑且認可其中的一部分結論，爾后在這個前提下進行邏輯推理,若由此導出矛

18、盾，則否認假定；否則，給出必然結論1已知平面ABC，點M是空間隨意一點，點M滿足條件錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!，則直線AM（）A與平面ABC平行B是平面ABC的斜線C是平面ABC的垂線D在平面ABC內答案D剖析由已知得M、A、B、C四點共面因此AM在平面ABC內,選D.2。如圖，點P是單位正方體ABCDA1B1C1D1中學必求其心得，業(yè)必貴于專精異于A的一個極點，則錯誤!錯誤!的值為()A0B1C0或1D隨意實數答案C剖析錯誤!可為以下7個向量:錯誤!,錯誤!,錯誤!,錯誤!，錯誤!，錯誤!，錯誤!，其中一個與錯誤!重合,錯誤!錯誤!錯誤!|21；錯誤!,錯誤!，錯誤!與錯誤!

19、垂直，這時錯誤!錯誤!0；錯誤!，錯誤!與錯誤!的夾角為45，這時錯誤!錯誤!錯誤!1cos錯誤!1，最后錯誤!錯誤!錯誤!1cosBAC1錯誤!錯誤!1，應選C.3在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(2,0，0)，B2,2,0)，C(0，2，0），D（1，1，錯誤!）若S1,S2,S3分別是三棱錐DABC在xOy,yOz，zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則（)AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D剖析以以下圖，學必求其心得，業(yè)必貴于專精AD4如圖，三棱錐的中點,則直線CEABCD的棱長全相等,點E為與BD所成角的余弦值為（）A。錯誤!B.錯誤!C

20、.錯誤!D.錯誤!答案A剖析設AB1，則錯誤!錯誤!（錯誤!錯誤!)（錯誤!錯誤!）錯誤!錯誤!2錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!cos60cos60cos60錯誤!。cos錯誤!，錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!。選A.5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于(）A。錯誤!B.錯誤!C.錯誤!D。錯誤!學必求其心得，業(yè)必貴于專精答案A6正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動,則錯誤!錯誤!的取值范圍是_答案0，1剖析以DA所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,DD1所在的直線為z軸，

21、成立空間直角坐標系Dxyz.則D（0，0，0），C（0，1,0)，A（1,0，0），B(1,1,0），D1(0,0，1)錯誤!（0,1，0)，錯誤!（1，1,1)點P在線段BD1上運動，設錯誤!錯誤!(，)，且01。錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!(,1，)，錯誤!錯誤!10，17在素來角坐標系中,已知點A（1，6),B(3,8），現沿x軸將坐標平面折成60的二面角,則折疊后A、B兩點間的距離為_學必求其心得，業(yè)必貴于專精答案2錯誤!剖析如圖為折疊后的圖形，其中作ACCD，BDCD,8已知ABCDA1B1C1D1為正方體,（錯誤!錯誤!錯誤!)23錯誤!2；錯誤!(錯誤!錯誤!）0;向量錯誤!與向量錯誤!的夾角是60;正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|錯誤!錯誤!錯誤!|。其中正確命題的序號是_答案剖析設正方體的棱長為1，中(錯誤!錯誤!錯誤!）2錯誤!23錯誤!