含參變量的積分

1、. z.12.3 .含參變量的積分教學(xué)目的 掌握含參變量積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握含參變量正常積分的求導(dǎo)法則教學(xué)要求(1)了解含參變量積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，熟練掌握含參變量正常積分的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式(2)掌握含參變量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明一、含參變量的有限積分設(shè)二元函數(shù)在矩形域有定義，一元函數(shù)在可積，即積分存在.都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)確定的積分值.于是，積分是定義在區(qū)間的函數(shù)，表為稱(chēng)為含參變量的有限積分，稱(chēng)為參變量.定理1.假設(shè)函數(shù)在矩形域連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間也連續(xù).*說(shuō)明：假設(shè)函數(shù)滿足定理1的條件，積分與極限可以交換次序.定理2 .假設(shè)函數(shù)與在矩形域連續(xù)

2、，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且，有，或.簡(jiǎn)稱(chēng)積分號(hào)下可微分.*說(shuō)明：假設(shè)函數(shù)滿足定理2的條件，導(dǎo)數(shù)與積分可以交換次序.定理3 .假設(shè)函數(shù)在矩形域連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間可積，且.簡(jiǎn)稱(chēng)積分號(hào)下可積分.*說(shuō)明：假設(shè)函數(shù)滿足定理3的條件，關(guān)于不同變數(shù)的積分可以交換次序.一般情況，含參變量的有限積分，除被積函數(shù)含有參變量外，積分上、下限也含有參變量，即.但，對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)積分值，它仍是區(qū)間的函數(shù)，設(shè) . 下面給出函數(shù)在區(qū)間的可微性.定理4.假設(shè)函數(shù)與在矩形域連續(xù)，而函數(shù)與在區(qū)間可導(dǎo)，有，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且二、例I例1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：，暫時(shí)固定，使，顯然，被積函數(shù)與在矩形域都連續(xù)，根據(jù)定理2，有.因?yàn)槭?，所以，?/p>

3、.例2 .求.解：，暫時(shí)固定，使，顯然，被積函數(shù)及其關(guān)于r的偏導(dǎo)數(shù)，即與在矩形區(qū)域連續(xù)，根據(jù)定理2 ，有=設(shè)萬(wàn)能換元，有=從而，.于是， 3又有.將在做連續(xù)開(kāi)拓.令函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，對(duì)等式3等號(hào)兩端求不定積分，有.，有.于是 ， .例3 .證明：假設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)是微分方程的解，并滿足條件.證明： 逐次應(yīng)用定理4，求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，有=，即函數(shù)是微分方程的解，顯然，當(dāng)時(shí)，.例4. 證明：假設(shè)函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)是弦振動(dòng)方程的解.證明：根據(jù)定理4，有于是，即是弦振動(dòng)方程的解例5 .求積分.解法一 應(yīng)用積分號(hào)下積分法.解： 函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，函數(shù)在0與1沒(méi)定義，

4、卻有極限.將函數(shù)在0與1作連續(xù)開(kāi)拓，即從而，函數(shù)在區(qū)間連續(xù).而函數(shù)在閉矩形域連續(xù)，根據(jù)定理3，有.解法二 應(yīng)用積分號(hào)下微分法.解： 設(shè) 根據(jù)定理2，有.兩端求不定積分，有令 ，有，即 于是， 令 ，有三、含參變量的無(wú)窮積分設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義。，無(wú)窮積分都收斂，即都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)無(wú)窮積分值.于是，是區(qū)間的函數(shù)，表為，稱(chēng)為含參變量的無(wú)窮積分，有時(shí)也簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分，是參變量.定義 設(shè)，無(wú)窮積分收斂，假設(shè)有則稱(chēng)無(wú)窮積分在區(qū)間I一致收斂。例6 .證明：無(wú)窮積分在區(qū)間a,b(a0)一致收斂.證明：設(shè),求無(wú)窮積分將u看做常數(shù)設(shè)有有使不等式成立，解得。取于是，有即無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂.定理5 柯西一致收斂準(zhǔn)

5、則無(wú)窮積分在區(qū)間I一致收斂，有.定理6 .假設(shè)有 ，且無(wú)窮積分收斂，則無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂。例7.證明：無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂證明：有 無(wú)窮積分收斂，根據(jù)定理6，則無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂.例8.證明： 無(wú)窮積分在R一致收斂證明：，有.無(wú)窮積分，則無(wú)窮積分在R一致收斂。定理7 .假設(shè)函數(shù)在區(qū)域(a0)，連續(xù)且在D有界，即，有則當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分在區(qū)間I一致收斂.例9 .證明：無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂。證明： 因?yàn)橛?，所?不是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，因此將被積函數(shù)在0作連續(xù)開(kāi)拓。首先證明無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂由7.2例6 ，有,有于是，函數(shù)在區(qū)域D有界，根據(jù)定理7，無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，再根據(jù)柯西一致收斂

6、準(zhǔn)則，無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂.定理8. 假設(shè)函數(shù)在區(qū)域，連續(xù)且無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂。則函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。定理9 .假設(shè)函數(shù)在區(qū)域，連續(xù)且無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可積，且，即.簡(jiǎn)稱(chēng)積分號(hào)下可積分.定理10.假設(shè)函數(shù)與在區(qū)域，連續(xù)且無(wú)窮積分在區(qū)間收斂，而無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且即 .簡(jiǎn)稱(chēng)積分號(hào)下可微分.四、例II例10 .證明：證明：將被積函數(shù)表積分，即-.有 而無(wú)窮積分收斂。根據(jù)定理6，無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，根據(jù)定理9，交換積分次序，有例11.求無(wú)窮積分解：12.1例11證明了無(wú)窮積分收斂條件收斂因?yàn)楸环e函數(shù)不存在初等函數(shù)的原函數(shù)，所以不能直接求這個(gè)無(wú)窮積分，為

7、此在被積函數(shù)中引入一個(gè)收斂因子，討論無(wú)窮積分顯然，。無(wú)窮積分的被積函數(shù)及其關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，即與在區(qū)域連續(xù)連續(xù)開(kāi)拓，無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂見(jiàn)例，下面證明。，無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，事實(shí)上有無(wú)窮積分收斂，由定理，無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，根據(jù)定理10，有從而下面確定常數(shù)C，等式8都成立，有即，對(duì)等式8等號(hào)兩端取極限，有即或，于是.下面證明函數(shù)在右連續(xù)，事實(shí)上，無(wú)窮積分7在區(qū)間一致收斂，根據(jù)定理8，函數(shù)在在右連續(xù)，對(duì)等式9等號(hào)兩端取極限,有，即 .于是 例12. 求無(wú)窮積分解：顯然，y=0時(shí)，=0當(dāng)，設(shè)由例11，有于是，例13 .求無(wú)窮積分解： 被積函數(shù)是偶函數(shù)，有由分布公式與例12，有五、函數(shù)和B函數(shù)一 函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：1、函數(shù)在區(qū)間連續(xù)2、遞推公式 有二函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的性質(zhì)1.對(duì)稱(chēng)性2.遞推公式有即3、事實(shí)上，設(shè)，有 11由公式11，在下面有幾個(gè)簡(jiǎn)單公式：，有 12在公式12中，令與，有 13在公式13中，令，有或，即六、例III 例14.求概率積分與.解：設(shè)有于是例