數(shù)學(xué)應(yīng)用之分形課件

1、4. 6 分形圖形的計(jì)算機(jī)生成由生成元生成由迭代函數(shù)系生成由復(fù)變函數(shù)迭代生成9/26/20221黃建華制作4. 6 分形圖形的計(jì)算機(jī)生成由生成元生成9/24/20224.6.1由生成元生成的分形圖形cantor三分集 生成方法：選取一條直線段F0，將該線段三等分，去掉中間一段，剩下兩段。將剩下的兩段分別再三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。繼續(xù)這樣的操作，直至無窮，則可得到一個離散的點(diǎn)集，稱為cantor三分集。 程序略。 由生成元產(chǎn)生的分形是一種規(guī)則分形，是數(shù)學(xué)家按照一定規(guī)則構(gòu)造出來的，相當(dāng)于物理學(xué)種的模型。構(gòu)造特點(diǎn)：最終圖形是按照一定規(guī)則R對初始F0不斷修改得到的。 9/26/20222黃

2、建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形cantor三分集 4.6.1由生成元生成的分形圖形koch曲線 生成方法：選取一條直線段F0，將該線段三等分，并將中間一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩條邊代替，得到圖形F1。再將F1的每一段都按上述方法修改，直至無窮，則最后得到的極限曲線，稱為koch曲線。 9/26/20223黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形koch曲線9/24/2024.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;new=0,1;%定義初始線段的兩端kmax=20; %迭代次數(shù) for k=1:kmax old=new; %保存原有各點(diǎn)的坐標(biāo) n=leng

3、th(old)-1; %計(jì)算需要改變圖形的線段數(shù)目 for m=0:n-1 %計(jì)算各新線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)(5點(diǎn)) diff=(old(m+2)-old(m+1)/3; %取新線段長度向量 new(4*m+1)=old(m+1); %新線段第一點(diǎn)坐標(biāo)new(4*m+2)=old(m+1)+diff; %新線段第二點(diǎn)坐標(biāo)new(4*m+3)= new(4*m+2)+diff*(1+sqrt(3)*i)/2); %第三點(diǎn)new(4*m+4)=old(m+1)+2*diff; %第四點(diǎn)endnew(4*n+1)=old(n+1); %最后一點(diǎn)plot(new) ; axis equal; end9/26

4、/20224黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;n4.6.1由生成元生成的分形圖形9/26/20225黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形9/24/20225黃建華制4.6.1由生成元生成的分形圖形分形樹 生成方法：選取一條直線段F0，將該線段三等分，在等分點(diǎn)上各畫一條長度為原線段長度三分之一的線段，并與原線段成固定夾角，得到圖形F1。再將F1的每一段都按上述方法修改，直至無窮，則最后得到的極限圖象，稱為分形樹。 abcdeo9/26/20226黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形分形樹abcdeo9/24/4.6.1由生成元生成的分形圖形程序：cl

5、ear;clf;th=pi/6;%設(shè)置角度u=0,0;0,1; %初始線段坐標(biāo) rov1=cos(th),-sin(th);sin(th),cos(th) ;rov2=rov1; %坐標(biāo)變換矩陣kmax=15; %循環(huán)次數(shù)for k=1:kmax uuu=; %建立一空數(shù)組，保存點(diǎn)坐標(biāo) n=length(u)/2; %計(jì)算需要改變圖形的線段數(shù)目 for m=0:n-1 %計(jì)算各新端點(diǎn)的坐標(biāo) p1=(u(2*m+1,:)*2+u(2*m+2,:)/3 ; %a點(diǎn) p2=(u(2*m+1,:) +u(2*m+2,:)*2)/3; %b點(diǎn)pp=(u(2*m+2,1)-u(2*m+1,1); (u(2

6、*m+2,2)-u(2*m+1,2)/3; %計(jì)算新線段向量9/26/20227黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;t4.6.1由生成元生成的分形圖形lp=rov1*pp; %第一條樹枝偏轉(zhuǎn)向量 lp=p1+lp; %第一條樹枝端點(diǎn)C坐標(biāo) rp=rov2*pp; %第二條樹枝偏轉(zhuǎn)向量 rp=p2+rp; %第二條樹枝端點(diǎn)D坐標(biāo) uu=u(2*m+1,:);p1;p1;lp;p1;p2;p2;rp;p2;u(2*m+2,:); %按順序排列新線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)uuu=uuu;uu;endu=uuu;plot(u(:,1),u(:,2) ; axis(-0.5,0.5

7、,0,1 ); end9/26/20228黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形lp=rov1*pp; 4.6.1由生成元生成的分形圖形9/26/20229黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形9/24/20229黃建華制4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形以及相應(yīng)的一組概率:p1,p2,.,pn(p1+p2+.+pn=1,pi0) 。 對于任意選取的初始值z0=(x0,y0)，以概率pi選取變換wi做迭代： zk+1=(xk+1,yk+1)=wi(xk,yk),k=0,1,2,. 則點(diǎn)列zk收斂的極限圖形稱為一個IFS吸引子，即分形。 利用IFS迭代可以生成美麗的分形，而且IFS迭代

8、的程序具有通用性，要想得到不同的分形只需改變變換種的系數(shù)和概率值。 由迭代函數(shù)系(IFS)產(chǎn)生分形的一般算法是：給定平面上的一組仿射變換wi: 9/26/202210黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形以及相應(yīng)的一組概率:p14.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形步驟：(1)設(shè)定迭代的可視區(qū)域?yàn)椋篤=(x,y)|xminxxmax,yminyymax再按分辨率的大小V分成a*b的網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)為(xi,yi)，其中：xi=xmin+(xmax-xmin)*i/a,i=0,1,2,.,ayi=ymin+(ymax-ymin)*i/b,i=0,1,2,.,b設(shè)迭代N次；(2)設(shè)定初始點(diǎn)(x0

9、,y0)，不妨取(0,0)；(3)在數(shù)列1,2,.,n中，以概率pi選取變換wi；(4)將變換作用到點(diǎn)(xk,yk) 上，得到新點(diǎn)(xk+1,yk+1) ；(5)畫出點(diǎn)(xk,yk) ，直到循環(huán)結(jié)束。9/26/202211黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形步驟：9/24/20224.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形barnsley羊齒葉 wabcdefp10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.4400.440.07程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)

10、置迭代次數(shù)v=rand(n,1); %隨機(jī)數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0 ;x=x0;zeros(n-1,1); y=y0;zeros(n-1,1); %可視區(qū)域點(diǎn)數(shù)for i=2:n % 按規(guī)則計(jì)算下一點(diǎn)坐標(biāo)9/26/202212黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形barnsley羊齒葉w4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); % 取概率if vv0.01 % 概率p=0.01y(i)=0.16*y(i-1);elseif vv0.86 % 概率p=0.85x(i)=0.85*x(i-1)+0.04*y(i-1); y(i)=1.6-0.04*x(i-1)+

11、0.85*y(i-1);elseif vv0.93 % 概率p=0.07x(i)=0.2*x(i-1)-0.26*y(i-1); y(i)=1.6+0.23*x(i-1)+0.22*y(i-1);elsex(i)=-0.15*x(i-1)+0.28*y(i-1); y(i)=0.26*x(i-1)+0.24*y(i-1)+0.44;end9/26/202213黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); 4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形endplot(x(1:n),y(1:n),.r,markersize,1) ;axis off 9/26/202214黃建華制作4.6.

12、2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形end9/24/20224.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形sierpinski墊 wabcdefp10.5000.5000.33320.5000.50.250.4330.33330.5000.50.500.333程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1); %隨機(jī)數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0 ;x=x0;zeros(n-1,1); y=y0;zeros(n-1,1); %可視區(qū)域點(diǎn)數(shù)for i=2:n % 按規(guī)則計(jì)算下一點(diǎn)坐標(biāo)9/26/202215黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形sierpinski墊

13、w4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); % 取概率if vv0.333 % 概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1);y(i)=0.5*y(i-1);elseif vv0.666 % 概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1)+0.25; y(i)=0.433+0.5*y(i-1);elsex(i)=0.5*x(i-1)+0.5; y(i)=0.5*y(i-1);endendplot(x(1:n),y(1:n),.b,markersize,1) ;axis off9/26/202216黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); 4.6.2由迭代

14、函數(shù)系生成的分形圖形9/26/202217黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形9/24/202217黃4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形分形樹wabcdefp10000.5000.0520.42-0.420.420.4200.20.430.420.42-0.420.4200.20.440.1000.100.20.15程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1); %隨機(jī)數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0 ;x=x0;zeros(n-1,1); y=y0;zeros(n-1,1); %可視區(qū)域點(diǎn)數(shù)for i=2:n % 按規(guī)則計(jì)算下一點(diǎn)坐標(biāo)9

15、/26/202218黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形分形樹wabcdefp14.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); % 取概率if vv0.05 % 概率p=0.05y(i)=0.5*y(i-1);elseif vv0.45 % 概率p=0.4x(i)=0.42*x(i-1)-0.42*y(i-1); y(i)=0.2+0.42*(x(i-1)+y(i-1);elseif vv0.85x(i)=0.42*(x(i-1)+y(i-1); y(i)=0.42*(y(i-1)-x(i-1)+0.2;elsex(i)=0.1*x(i-1); y(i)=0.2+0.1*y(i

16、-1);end9/26/202219黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); 4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形endplot(x(1:n),y(1:n),.m,markersize,1) ;axis off 9/26/202220黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形end9/24/20224.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形levy曲線wabcdefp10.5-0.50.50.5000.520.50.5-0.50.50.50.50.5程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1); %隨機(jī)數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0

17、=0 ;x=x0;zeros(n-1,1); y=y0;zeros(n-1,1); %可視區(qū)域點(diǎn)數(shù)for i=2:n % 按規(guī)則計(jì)算下一點(diǎn)坐標(biāo)9/26/202221黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形levy曲線wabcde4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i); % 取概率if vvM,表明點(diǎn)(x0,y0)產(chǎn)生的序列無界，用白色顯示點(diǎn)并轉(zhuǎn)向步驟(2)；若k=kmax,表明點(diǎn)(x0,y0)產(chǎn)生的序列有界，用黑色顯示點(diǎn)并轉(zhuǎn)向步驟(2)；若rM且kkmax，則繼續(xù)迭代 ；4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/26/202226黃建華制作(2)建立初值與計(jì)算機(jī)屏幕上點(diǎn)的對應(yīng)

18、關(guān)系：4.6.3由復(fù)變函mandelbrot集程序：clear;clf;x=linspace(-1.5,1.5,300);y=linspace(-2.25,0.75,300); %設(shè)置顯示范圍X,Y=meshgrid(x,y); %設(shè)置像素點(diǎn)的坐標(biāo)n=100;c=X+i*Y;Z=X+i*Y;for k=1:n %迭代過程Z=Z.2+c;endW=abs(Z);pcolor(X,Y,W); %繪制當(dāng)前顏色矩陣W的偽彩色圖shading flat; %畫出二維曲面W的陰影,axis(square);colormap prism(256) %創(chuàng)建顏色矩陣,并返回顏色值gtext(mandelbrot

19、圖)4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/26/202227黃建華制作mandelbrot集程序：4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/26/202228黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/24/202228mandelbrot集程序修改：clear;clf;x=linspace(-2,0.5,300);y=linspace(-1.25,1.25,300); %設(shè)置顯示范圍X,Y=meshgrid(x,y); %設(shè)置像素點(diǎn)的坐標(biāo)n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X);for k=1:n %迭代過程Z=Z.2+c

20、;i0=find(abs(Z)2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W=0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W); shading flat; axis(square);colormap prism(256)gtext(mandelbrot圖)4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/26/202229黃建華制作mandelbrot集程序修改：4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形龜圖9/26/202230黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形龜圖9/24/2022mandelbrot集程序再修改：clear;clf;

21、x=linspace(-0.74547,-0.74538,300);y=linspace(0.11298,0.11304,300); %設(shè)置顯示范圍X,Y=meshgrid(x,y); %設(shè)置像素點(diǎn)的坐標(biāo)n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X);for k=1:n %迭代過程Z=Z.2+c;i0=find(abs(Z)2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W=0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W); shading flat; axis(square);colormap prism(256)gtext(mandelbrot圖)4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/26/202231黃建華制作mandelbrot集程序再修改：4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/26/202232黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形9/24/2022324.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形x=linspace(-0.19590,-0.13824,300);y=linspace(1.01480,1.06707,300); 9/26/202233黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形x=linspace(jul