經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)微積分

1、PAGE PAGE 37經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)微積分部分習(xí)題解答（參參考）習(xí)題一（P377）1設(shè)函數(shù) 求：f(0) ， f(-11) ， f() ，f(a+1)解：分析：即求求當(dāng)x為0，-1，（aa+1）時(shí)的的函數(shù)值。 f(0) = = -1 ; f(-1) = = f() = ; f(aa+1) = 3.下列各組函函數(shù)是否表示示相同的函數(shù)數(shù)？為什么？ （1）y= lg 與 y= 2lgx (22)y = 1 與 y = sinx + cosx (3) y= 與 y = x+1 (4) y = -xx 與y = -x解：分析：相同同函數(shù)的條件件是D與f相同。（定定義域與對(duì)應(yīng)應(yīng)規(guī)則）（1）不同，DD不同

2、（2）相同同 定義域與對(duì)對(duì)應(yīng)法則相同同（3）不同，DD不同 （4）不同 對(duì)應(yīng)法則不不同（當(dāng)x= -1，對(duì)對(duì)應(yīng)y不同）4求下列函數(shù)數(shù)的定義域： （1） yy= (22) y= (3) y= lg (4) y= lgg lg(xx+1) (5) y= arcsiin (66) y= tan(22x+1) (2xx+1) 解：求定義域域應(yīng)記?。悍帜? a0 x0 三角函數(shù)的的限制。 y= 解D: x0 或(-)（2）y= (4)lgg lg (x+1)解: D:-1x1 解: D:(0,+)(3) y= lg (5) yy= arcsiin 解: D:-2,1 解: DD:-1,3(6) y = t

3、an(22x+1)解:2x+1 D: x5判斷下列函函數(shù)的奇偶性性。（1） f(xx) = (33)f(x) = lgg (x+ 解:f(-x) = =f(xx) 解:f(-x) = lgg(-x+ f(x)是偶偶函數(shù)。 =llg =llg=lg(x+ = -lg(x+) = -f(x) f(x)是奇奇函數(shù)。(4) f(xx) =xee 解: f(-xx)= -xx e f(x) 也也-f(x) f(x)是非非奇非偶函數(shù)數(shù)。(5) f(xx) = llog解:f(-x)=log 分析析：判斷奇偶偶函數(shù)= log（ （1）f(-x)=ff(x), f(x)是是偶函數(shù) = -llog (2) f(

4、-x)= -f(x), ff(x)是奇奇函數(shù) = -ff(x) 否則非奇非偶偶。 f(x)是奇奇函數(shù)。（6）設(shè)f(xx) = 求 f(0)， f(-1)， f (1) ，ff(-2) ，f(2)，并作出函函數(shù)圖像。解：分析：求分分段函數(shù)的函函數(shù)值D先確定x0的所屬的區(qū)間從向向確定其解析析式爾后代之，作圖需分段作作圖。0 -1x1 -1 x-1 f(0) = 0 =00f(-1) = (-1)+2 =11 , ff(1) = 1 =11 f(-2) = (-22)+2 =0 , ff(2) = 2-2 =0 7設(shè)f(x) = 求 f ,解：分析：視ff中的為中間變變量代替f(x)中的變變量x而成

5、。 f=; = 10求下列函函數(shù)的反函數(shù)數(shù)（3） y = 2x+11 (4) yy = 1-lg (xx+2)解: x = 解: lgg(x+2)=1-y xx = x+2 = 110 即 y = x = 10-2 即 yy = 100-214下列變量量中哪些是無(wú)無(wú)窮小，哪些些是無(wú)窮大（在在指定的變化化過(guò)程）分析：在指定變變化過(guò)程中，變變量0是無(wú)窮小小。變量 是無(wú)窮大大。（1）x+2xx (x0) (2) (x0)解: 當(dāng)x00， x+2x0 解: 當(dāng)x0，2x+11， x0 是無(wú)無(wú)窮小。 是無(wú)窮大大。 (當(dāng)x00， x無(wú)窮小， x是無(wú)窮小小)(3) (-11) (nn) (4) (n)解:當(dāng)

6、n時(shí)時(shí)(-1)是是有界量 解法一： 是無(wú)窮小小量。 =0+0 =0是無(wú)窮小。 是無(wú)窮小。（5）e (xx0+)解: x0+ , , ee 是無(wú)窮大.( x0+)(6) e (x0-)解: x0- , , ee 是無(wú)窮窮小.( x0-)(7) lg x (x0+)解: x0+ , lgg x , 是無(wú)窮大.( x0+)(8) (x1)解: x1 , x-10 , 是無(wú)窮大.( x1)(9) (x)解: , 是有有界量, x時(shí), 是無(wú)窮窮小, 0是無(wú)窮小小.( x)(10) 2 (x+)解: x+, 2+ 是無(wú)窮大大.( x+)15.求下列極極限.(1) 解: 連續(xù)函數(shù)數(shù)= 2(-22)2+5(-

7、2)-1=-3(2) (122) 解: 分析:分分子.分母極極限均存在,可用法法則 解:原式= = =0 =11 (3) (13)解: 解:原式= = = =2 = 1-(4) (14) 解 解: 原式= = 分析:無(wú)窮小的的倒數(shù)是無(wú)窮窮大.(11)解:分析:分子子、分母同除除以n50=16.設(shè)函數(shù)ff(x) 解：本題的解解法可參照書(shū)書(shū)中P13 例3 （1）當(dāng)當(dāng)x0 左極限右極限限 f(x)極限不存在在. (當(dāng)xx0) (22) 當(dāng)x1 左極限右極限限f(1)=2 當(dāng)x1時(shí)f(x)的極極限為2 (33) 當(dāng)x 18. (1)解法1: 原式式= 解法2: 原式= = = = = = = = =

8、= 解法3: “用用洛必達(dá)” (3) 原式= 解: 原式= = = = = 0 = = （2）解法1: 原式式= 解法22:可用等價(jià)價(jià)無(wú)窮小解之之= 原式= = = (4) (55) 解: 解: 原式= (當(dāng)x0 arctaanxx) = (6) 解: 原式= = = 1-1 = 019.求下列極極限(1) (2) 解: 原式 = 解: 原式 = = e6 = ee(3) (44) 解: 原式= 解: 原式= = = (5) 解: 原式 = = 20.求下列函函數(shù)的間斷點(diǎn)點(diǎn)并指出其類(lèi)類(lèi)型。 (1) y = (2) y = xx sin解: 解: (無(wú)窮小小x有界量) x = -11是無(wú)窮間斷斷

9、點(diǎn) = 0 是第二二類(lèi)間斷點(diǎn) x = 0是第一一類(lèi)間斷點(diǎn)為為可去間斷點(diǎn)點(diǎn)(3) y = (4) yy = (11+x)解: 解:x = 5是可可去間斷點(diǎn) x = 0是第第一類(lèi)間斷點(diǎn)點(diǎn)，可去間斷斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn) (5) y = (6) y = 解: 解:= x = 00是第一類(lèi)可可去間斷點(diǎn)= -2 但x=k (k=1 , 2)x = 1是第第一類(lèi)可去間間斷點(diǎn) 時(shí) llim y不不存在 x=k (kk=1 , 2)= 時(shí)是第二二類(lèi)無(wú)窮間斷斷點(diǎn)x = 2是第第二類(lèi)無(wú)窮間間斷點(diǎn)23下列函數(shù)數(shù)在x=0是否連連續(xù)？為什么么？(1) f(xx) 解: 但 ff(0)=00 f(x) 在x=0不不連續(xù).(2)

10、 f(xx) 解: f(xx) 在x=0連連續(xù).(3) f(xx) 解: f(xx) 在x=0連連續(xù).24.求下列函函數(shù)的極限。 (1) (22) 解: 原式 = 解解: 原式 = x-1, ccos(1+x)1(3) x-1 ,coot(1+xx) 解: 原式 = (5) (6) 解原式： 解原式式： = = = =27某廠生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品10000t，定價(jià)為1130元/tt，當(dāng)售出量量不超過(guò)7000t時(shí)，按原定定價(jià)出售，超超過(guò)700tt的部分按原原價(jià)的九折銷(xiāo)銷(xiāo)售，試將銷(xiāo)銷(xiāo)售收入表示示成銷(xiāo)售量的的函數(shù)。解：設(shè)銷(xiāo)售收入入為R元，銷(xiāo)售量量為q噸(t)則700t1130元/tt=910000R= 習(xí)題二

11、 (PP61) 1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)數(shù)的定義，求求下列函數(shù)的的導(dǎo)數(shù). （1） y = 解: ; (3)設(shè)f(xx)=coss x, 求解: , , 3求下列函數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 （1）f(x) = 2 求解: (2) ff(x) = , 求 解:(3) f(xx) = , 求 解:(4) f(xx)= , 求 解: 4. 求下列列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)。 (1) yy = 3xx2-x+7 (2) yy = 5(2x-5)(x-8)解: 解:= 6x-1+0 = 6x-1 =52(x-8)+2x-5 =5(4xx-21)(3) y = (4) y = 解: 解: = = （5）y = 解法1: y = 解法法2: =

12、 = - = = = = = = （6） y = (7) y = 解:y = 解: = = = (8) y = 解: = = = (9) y = (111) y = 解: 解: = = = =(10) y = (12) y = 解: 解: = = = =6. 求下列函函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 (1) y = (33) y = 解: 解: = =(7) y = (10) y = ln ( ln x )解: 解: = = =7. 求隱函數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù). ( 指 )(1) （3） 解:原方程兩邊邊對(duì)x求導(dǎo) 解:兩邊取取對(duì)數(shù) 兩邊求求導(dǎo) 9.求高階導(dǎo)數(shù)數(shù).(1) y = ln(11+x) 求 (33) 求 解: 解解

13、: 由不不完全歸納法法的 10.求下列函函數(shù)的微分.(1) y = (4) yy = 解: 解: = 11.利用微分分求近似值.解:分析:近似似公式: (1) (2) 解:設(shè) 解:設(shè) =1.02 =11-0.0002=0.9998 習(xí)題三（P922）3利用洛必達(dá)達(dá)法則求下列列極限。 (2) (4) 解：原式= 解：原原式= = = = =(6) *(14)解：原式= 解：設(shè) y = = = 則 = = = 4.求下列函數(shù)數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1) y = x（0，100） 100（100，+） + 0 f 解 : D: x0 , (x-100) 即 X100 函數(shù)在 ( 0 , 1100) 在 (

14、1100 , +) 5.證明下列列不等式. (1) 當(dāng)0 x時(shí), xsinn xx x證明: 當(dāng)0 x0 證: ssin x x設(shè)f(x)=xx-sinxx 令gg(x)=(x)=1-ccosx 0 x0 , ff(x)=xx-sinxxf(0)=0 對(duì)對(duì)于x0 , tannxx x siinx gg(x) 在在 (0 , ) 即 xg() 兩g()= g(x) 0 即 即sinnxx的證6求下列函數(shù)數(shù)的極值。（1） x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+) + +f極大 極小解 : =6（x-33）(x+11)駐點(diǎn)： x=3 xx= -1 函數(shù)的的極大值為ff（-1）=177 函數(shù)的的極小

15、值為ff（3）= -477求下列函數(shù)數(shù)在所給區(qū)間間上的最大值值和最小值。 解：分析：不必列表，只只須將可純的的極值點(diǎn)的極極值與端點(diǎn)值值比較之求極。 （2）y=, x-2,22 解： x=0 xx=1 ， ， ， ， 比較之 ， ， 12某商品的的總成本函數(shù)數(shù)為C=10000+3QQ，需求函數(shù)數(shù)Q= -1100P+11000，其其中P為商品品單價(jià)，求能能使利潤(rùn)最大大的P值。解：L=R-CC , R=Pq L=RR-C=P(-100PP+10000)-10000+3(-100PP+10000) = -1000P2+13000P-40000 L=13000-200PP 令LL=0 P=6.55答：能

16、使利潤(rùn)最最大的P值是是6.5。 17.確定定下列函數(shù)圖圖形的凸向區(qū)區(qū)間和拐點(diǎn)。 （1） y = x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+) +00+y拐拐 解： 令 x=1 圖形下下凸區(qū)間為 (-,-1) ，(1,+) 上凸區(qū)間間為 (-11,1) 拐點(diǎn)是（-1，-100）， （11， -100）18求下列曲曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)線(xiàn)。 (1) yy = (2) y = 解： 解： x= -2是yy的鉛垂?jié)u近近線(xiàn)。 y = 0是是曲線(xiàn)的水平平漸近線(xiàn)。 y=1為為曲線(xiàn)的水平平漸近線(xiàn) XX=0和x= -為曲線(xiàn)線(xiàn)的鉛垂?jié)u近近線(xiàn)。19.按照作圖圖步驟，描繪繪下列函數(shù)的的圖象。 解：函數(shù)數(shù)作圖步驟：求出函數(shù)的的定義

17、域考查函數(shù)的的奇偶性，周周期性。求出方程=00的根，列表表判別函數(shù)的的升降區(qū)間及及極值點(diǎn)求出方程=00的根，列表表確定函數(shù)凸凸凹性與拐點(diǎn)點(diǎn)求出函數(shù)的的漸近線(xiàn)計(jì)算幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)值，畫(huà)畫(huà)出圖形。(1) y = x+ 解：函數(shù)定定義域?yàn)椋?，0）（0，+），f(xx)為奇函數(shù)數(shù)，無(wú)周期性性。 , =00 x=1 無(wú)零零點(diǎn) x0 , x00 X=0處 ff , 均不不存在x(-，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+ ) + + +f-22 , a= , bb=x=0為鉛垂?jié)u漸近線(xiàn),無(wú)水水平漸近線(xiàn)。 y=x為斜斜漸近線(xiàn)。 習(xí)題四1求解下列問(wèn)問(wèn)題：（1）已知曲線(xiàn)線(xiàn)上任一點(diǎn)切切線(xiàn)的斜率為為3x，且該

18、該曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（11，1）求此此曲線(xiàn)方程。解：分析；若所所求曲線(xiàn)方程程為y=f（xx），則已知知f（x）=33x即已知f（xx）=3x，求求f（x）用用方法。=x+c 即即y=x+c 過(guò)（1，1）點(diǎn)點(diǎn) ，1=1+c c= 所求曲線(xiàn)方程程為y=x，即3 x2y11=02求不定積分分（1） （2）解：原式=+ 解：原式式= =2+x+cc =3+c（3） （44）解：原式= 解：原原式= = = = =（5） （6）解：原式= 解：原式= = =（7） （8）解：原式= 解：原式式= = = = =3求不定積分分（1） （2）解：分析用湊微微法 解：方法同同（1）原式= 原式= （=） = （=） =

19、4求不定積分分（1） （22）（第二換元法）解：原式= 解解：令 = = 原式= = = =5求下列不定定積分（分部部積分公式）（1） （2）解：形式，用分分部積分法 解：原原式=原式= = （第二次用用公式）= = =（3） （4）解：原式= 解：原式= = = = = = =*8求下列微微分方程的通通解和滿(mǎn)足條條件（初始）的的特解（1）解：分函變量： 兩邊積分 （2） , 解： 習(xí)題五1不計(jì)算積分分，比較下列列各組積分值值大?。?）與 （22）與解：根據(jù)定積分分性質(zhì)與（1） （2）當(dāng) 2估計(jì)下列積積分值的大小?。海?）解：根據(jù)積分性性質(zhì)6，而在1，4 （2）解： 3求下列函數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）

20、 （2）解：依據(jù)定理55.1 （1）= （22） （3） （44）解： 解： = =4求下列極限限（1） （2）解：原式 解解：原式= = = =0 =（有界量無(wú)窮窮小量=無(wú)窮窮?。?（二二次用洛必達(dá)達(dá)法則）5求函數(shù)在區(qū)區(qū)間-1，55上的最大大值和最小值值解：令 x=0 ， x=4 為駐點(diǎn)又， ， 上最大值為，最最小值為6計(jì)算下列定定積分（1） （22）解：原式= 解：原式= = = = =（4） （5）解：原式= 解：是奇函數(shù)，原式式=0 = =57計(jì)算下列定積積分（1） （2）解：原式= 解解：令 = = = = = = =8利用函數(shù)的的奇偶性計(jì)算算定積分（1） （2）解：原式 解：原式式

21、=0 =9計(jì)算下列定定積分（分部部積分法）（1） （2）解：原式= 解：原式= = = = = = =10計(jì)算下列列廣義積分（1） （22）解：原式= 解：原式= = = = =00+1=1 11求下列各各題中平面圖圖形的面積（1）由曲線(xiàn)與與圍成的圖形形解： 交點(diǎn)坐坐標(biāo)為（1，11）（-1，11）12某產(chǎn)品產(chǎn)產(chǎn)量為Q單位位時(shí)，邊際成成本為C（Q）=880（元/單單位），固定成本為為C（0）5500元，求求生產(chǎn)1000個(gè)單位產(chǎn)品品時(shí)的總成本本和平均成本本。解： C（00）=5000 若生產(chǎn)100個(gè)個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)時(shí)的總成本是是8500元元/單位，平平均成本量885元/單位位。13某投資總總額為100

22、0萬(wàn)元，在110年中每年年可獲收益225萬(wàn)元，年年利率為5%，試求（1）該投資的的純收入貼現(xiàn)值值，（2）回收該項(xiàng)項(xiàng)投資的時(shí)間。解：（1） = 貼現(xiàn)值為回收投資時(shí)間為為（2） 習(xí)題六1求下列函數(shù)數(shù)的定義域，并并用聯(lián)立不等等式表示（1） （2）解： 解：解得：2求下列函數(shù)數(shù)的極限（1）（解法依依據(jù)定義6.3）解：原式= =22+4 =66（2）解：原式=3討論下列函函數(shù)的連續(xù)性性 解：分析：由于于y與x同階階時(shí)分子、分分母同階，所所以可選用路路線(xiàn)加以討論。由于K的不同可可以解得不同同的極限值，原極限不存在 Z在（0，00）不連續(xù)。4求下列函數(shù)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）解：分析P1660，對(duì)于求求關(guān)于x的偏偏導(dǎo)，只需將將y視為常量量，對(duì)x求導(dǎo)導(dǎo)；求關(guān)于yy的偏導(dǎo)，只只需將x視為為常量，對(duì)yy求導(dǎo)即可。解： （2）解：數(shù)學(xué)（微積分）在在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中中的應(yīng)用一、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中中常見(jiàn)函數(shù)1需求函數(shù)、供供給函數(shù)、成成本函數(shù)、收收入函數(shù)、利利潤(rùn)函數(shù)。習(xí)題一2633126設(shè)某商品品的銷(xiāo)售收入入R是銷(xiāo)售量量Q的二次函函數(shù)，已知QQ=0，2，44時(shí)，相應(yīng)地地R=0，66，8 試確確定