工程力學運動學與動力學

1、（優(yōu)選）工程力學運動學與動力學第一頁，共三十頁。13.1 點的運動學 運動學研究模型概念：點：不考慮質量和大小及形狀時的物體 點是運動學研究模型之一剛體：不考慮質量；但是,其大小及形狀不可忽略的物體 剛體是運動學研究的另一物體模型第二頁，共三十頁。13.1 點的運動學 作為描述物體與之相對位置的參考物體 參考系1）參考體 建立在參考體上的坐標系 在工程中的力學研究中，需要指明參考體；通常將參考系固定在地面上，或者機器的機架上2）參考系 第三頁，共三十頁。13.1 點的運動學 描述點運動的矢量法OM1MrM2運動軌跡v考慮點M運動：運動方程： r = r(t)(13-1) 以某確定點為參考點，以

2、參考點到動點位置為矢徑來描述點的位置的方法矢量法速度： v =drdt(13-2)單位: m/s，方向:軌跡切線加速度： a =dvdt=d2rdt2= r.(13-3)= r.單位：m/s2第四頁，共三十頁。13.1 點的運動學 描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyx考慮點M在坐標系中的坐標：(x,y,z)r = x.i + y.j + z.k(13-4)運動方程： x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)(13-5)式（13-6）稱為直角形式的運動方程；消去參數(shù) t 得到點的軌跡方程F(x,y,z) =0(13-6)第五頁，共三十頁。13.1 點的運動學 描述點運動的

3、直角坐標法OyxzjikMrzyxr = x.i + y.j + z.k(13-4)速度： v =drdt= x.i + y.j + z.k(13-7)設：速度在直角坐標軸上的投影:(vx，vy，vz)v = vx.i + vy.j + vz.k(13-8)得到：vx =xvy =yvz =z(13-9)結論： 點的速度在直角坐標軸上的投影，等于點的對應坐標對時間的一階導數(shù)第六頁，共三十頁。13.1 點的運動學 描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyxr = x.i + y.j + z.k(13-4)速度： v = vx.i + vy.j + vz.k(13-8)加速度： a = v=

4、r= x.i + y.j + z.k= ax.i + ay.j + az.k(13-10)其中：(ax，ay，az)表示加速度在直角坐標軸上的投影。得到：ax =vxay =vyaz =vz= x= y= z(13-11)點的加速度在直角坐標軸上的投影，等于點的對應速度投影對時間的一階導數(shù)，或等于點的對應坐標對時間的二階導數(shù)。結論:第七頁，共三十頁。橢圓規(guī)的曲柄OC 可繞定軸O 轉動，其端點C 與規(guī)尺AB 的中點以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B 兩端分別在相互垂直的滑槽中運動。求： M 點的運動方程 軌跡 速度 加速度例13-1BACOMyxj解：x=x(t)， y=y(t)。x = (OCcos

5、j +CMcos j)= (l+a)coswty = AMsin j = (l-a) sinwtta，MClBCACOCwj=, ：已知點M作曲線運動，取坐標系xOy運動方程第八頁，共三十頁。BACOMyxjx= (l+a)coswty= (l-a) sinwt消去參數(shù)t，得軌跡方程：橢圓速度：vx = x=- (l+a)wsinwtvy = y= (l-a)wcoswtvM = vx2+ vy2=w l2+ a2-2a.l.cos2w tcos(v,i)=vxv (l+a)wsinwtl2+ a2-2a.l.cos2w t=-cos(v,j)=vyv (l-a)wcoswtl2+ a2-2a

6、.l.cos2w t=x2(l+a)2y2(l-a)2+ = 1第九頁，共三十頁。x= (l+a)coswty= (l-a) sinwt加速度：cos(a,i) =axa -(l+a) coswtl2+ a2-2a.l.cos2wt=-cos(a,j) =aya -(l-a) sinwtl2+ a2-2a.l.cos2wt=w2 l2+ a2-2a.l.cos2wt#BACOMyxjax =vx= x= (l+a)w2coswt ay =vy= y= (la)w2sinwt a= a2x +a2y = (l+a)2w4cos2wt + (la)2w4sin2wt 第十頁，共三十頁。13.1 點

7、的運動學 描述點運動的弧坐標法 利用點的運動軌跡建立坐標系，并描述和分析點的運動的方法弧坐標法OMs(+)(-)運動方程： s= f (t)(13-12)該式稱為：以弧坐標表示的點的運動方程速度： v = v.ttddts=OM Mrr vrs(13-15)速度大?。?v =ddts= s方向： 沿動點軌跡的切線方向（與運動方向一致）第十一頁，共三十頁。= at + an nt13.1 點的運動學 描述點運動的弧坐標法運動方程： s= f (t)(13-12)速度： v = v.ttddts=(13-15)加速度： a =dvdt=dvdt t + vddt反映速度大小變化at反映速度方向變化

8、an(13-16)切向加速度：at = v= s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at = v.tanv2r= na = at + an(全)加速度：(13-18)第十二頁，共三十頁。13.1 點的運動學 描述點運動的弧坐標法= at + an nt加速度： a =dvdt=dvdt t + vddt(13-16)切向加速度：at = v= s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at = v.tanv2r= na = at + an(全)加速度：(13-18) 切向加速度反映的是速度值對時間的變化率，方向沿軌跡的切線方向；法向加速度是加速度方向的改變率，方向永

9、遠指向曲率中心。大?。篴= at2+an2方向：tanq =atan第十三頁，共三十頁。列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達54km/h。求：列車起點和未點的加速度。例13-2RsO解：分析：v0=0，at=Constant，t=120s，v =15m/s列車作曲線加速運動，取弧坐標如圖dvdt= at = 常量積分得：v = at tat = v / t15120=0.125m/s2第十四頁，共三十頁。RsO列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達54km/h。求：列車起點和未點的加速度。例13-

10、2 t = 0 , an= 0 , a = at = 0.125m/s2 t = 2min =120sanv2r=(15m/s)2800m= =0.281m/s2a = at2+an2= 0.308m/s2#第十五頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 剛體基本運動的兩個類型：AB平行移動 定軸轉動 第十六頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 平移 剛體運動時，其上一直線在運動過程中始終平行于初始位置稱為平行移動，簡稱平移。OyxzABrABrBrAA1B1A2B2A、B兩點的軌跡相同rA= rB+ rAB常矢量第十七頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 平移OyxzABrABrBrAA1

11、B1A2B2rA= rB+ rAB速度： d rABdt= 0d rAdt=d rBdt故vA= vB(13-24)加速度： d vAdt=d vBdt得aA= aB(13-25)結論： 當剛體做平動時，其上各點的軌跡形狀相同； 在每一瞬時的速度、加速度也相同平移剛體運動，可看作點的運動研究第十八頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動稱為定軸轉動 運動剛體上(或其擴展部分) 有一條直線始終保持不動。轉軸jjAZw運動方程： 定軸轉動剛體位置：j 轉角(rad)j = f(t)(13-26)角速度： =d tdjw=j(13-27)方向：逆時針為正，單位：弧度/秒 (rad/s)第十九

12、頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動jjAZw運動方程： j = f(t)(13-26)角速度： =d tdjw=j(13-27)角速度與工程轉速關系： 2pn60=pn30轉速n：r/min(轉/分)rpm(13-28)第二十頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動jjAZw運動方程： j = f(t)(13-26)角速度： =d tdjw=j(13-27)角加速度： 2dt2dj=dtdwa=j=w(13-29) 角加速度的大小等于角速度對時間的一階導數(shù)；或等于轉角方程對時間的二階導數(shù)。單位：弧度/秒2 (rad/s2)第二十一頁，共三十頁。例13-5 計算機硬盤驅動器

13、的電機勻變速轉動，啟動后為了盡快達到最大轉速，要求3s內轉速從零增加到3000r/min ，求電機的角加速度及轉過的轉數(shù)。解：t = 0 , w0 =0t = 3s :w =pn303000p30=100p (rad/s)dtdwa= 常量（勻變速轉動）30100p0adt= dw積分：a= (rad/s2)100p3解得：又：dtdwa=djdwdtdj=wdtdj第二十二頁，共三十頁。例13-5 計算機硬盤驅動器的電機勻變速轉動，啟動后為了盡快達到最大轉速，要求3s內轉速從零增加到3000r/min ，求電機的角加速度及轉過的轉數(shù)。積分：#dtdwa=djdwdtdj=wdjdwj0100

14、p0adj= wdw解得：=150(rad)j = (100p)2(rad)3100p12j2pN =150p2p=75(轉)第二十三頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動定軸轉動剛體上各點的速度和加速度 OOsjMMABrvatanaq轉動方程： s = rj(13-30)速度： v = s= rw= rj(13-31)加速度： at =dvdt= s= ra= rj(13-32)an=v2(rw)2r= rw2(13-33)=aw2a = at2 + an2= r a 2 + w4tanq =atan(13-34)第二十四頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動定軸轉動剛

15、體上各點的速度和加速度 速度、加速度分布情況： vvv速度分布三角形v= rwaat= raan= rw2a= r a2 + w4aqanatavqanataqqaa加速度分布三角形=aw2tanq第二十五頁，共三十頁。O例：13-6 汽輪機葉輪由靜止開始作勻加速轉動。 輪上M點距輪心為r，在某瞬時的全加速度與轉輪半徑之間的夾角為 求葉輪的轉動方程及 t =2s 時M點速度和法向加速度。 設：a=40m/s2；t=0；j0=0，q=30，r=0.4m。aMr分解M點的全加速度（切線和法線方向） 則，切向加速度和角加速度為：勻加速轉動，角加速度a =常量，且與a同向解：第二十六頁，共三十頁。由初始條件，得葉輪的轉動方程當 t=2s 時，葉輪的角速度為：求得M點的速度及法向加速度分別為：OaMr#第二十七頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動用矢量表示定軸轉動剛體的角速度與角加速度 角速度矢量w指向： 右手螺旋規(guī)則大小:=wwd tdj=w作用線: 沿軸線滑移zkzwkw kw =w矢量表示：(13-35)第二十八頁，共三十頁。13.2 剛體的基本運動 定軸轉動用矢量表示定軸轉