因子分析例題

1、優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔PAGEPAGE5優(yōu)選文檔PAGE共享知識(shí)分享快樂(lè)因子解析因子解析（FactorAnalysis）是主成分解析的推行，它也是從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴(lài)關(guān)系出發(fā)，把一些擁有千頭萬(wàn)緒關(guān)系的變量概括為少許幾個(gè)綜合變量的一種多變量統(tǒng)計(jì)解析方法。第一節(jié)因子解析的基本思想第一我們看下面兩個(gè)實(shí)質(zhì)例子：1例1某企業(yè)招聘人才，對(duì)每位應(yīng)聘者進(jìn)行容顏、申請(qǐng)書(shū)的形式、專(zhuān)業(yè)能力、討人喜歡的能力、自信心、洞察力、誠(chéng)實(shí)、銷(xiāo)售本領(lǐng)、經(jīng)驗(yàn)、積極性、理想、理解能力、潛藏能力、實(shí)質(zhì)能力、適應(yīng)性等15個(gè)方面的核查。這15個(gè)方面可概括為應(yīng)聘者的外露能力、討人喜歡的能力、經(jīng)驗(yàn)、專(zhuān)業(yè)能力4個(gè)方面，每一方面稱(chēng)之為一個(gè)公共因子。

2、企業(yè)可依照這4個(gè)公共因子的情況來(lái)衡量應(yīng)聘者的綜合水平。例2例2在企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的議論中，有經(jīng)濟(jì)效益的指標(biāo)系統(tǒng)。平時(shí)這個(gè)指標(biāo)系統(tǒng)有八項(xiàng)指標(biāo)：固定財(cái)富利稅率、資本利稅率、銷(xiāo)售收入利稅率、資本利稅率、固定財(cái)富產(chǎn)值率、流動(dòng)資本周轉(zhuǎn)天數(shù)、萬(wàn)元產(chǎn)值能耗、全員勞動(dòng)生產(chǎn)率等。這八項(xiàng)指標(biāo)可概括為盈利能力、資本和人力利用、產(chǎn)值能耗三個(gè)方面。這三個(gè)方面在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中為主要因子，起著支配作用，企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就要在這三個(gè)公共因子方面下功夫。因子解析的基本思想：是經(jīng)過(guò)變量（或樣品）的相關(guān)系數(shù)矩陣（對(duì)樣品是相似系數(shù)矩陣）內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制全部變量（或樣品）的少許幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量（或樣品）之間的相

3、關(guān)（相似）關(guān)系，但在這里，這少許幾個(gè)隨機(jī)變量是不能觀(guān)察的，平時(shí)稱(chēng)為因子。因子解析分為兩類(lèi)，即R型因子解析（對(duì)變量作因子解析），Q型因子解析（對(duì)樣品作因子解析）。第二節(jié)第二節(jié)因子解析的數(shù)學(xué)模型11模型（R型）設(shè)X(x1,x2,xp)為觀(guān)察到的隨機(jī)向量，F(xiàn)(F1,F2,Fm)是不能觀(guān)察的向量。有x1a11F1a1mFm1x2a21F1a2mFm2xpap1F1apmFmp即XAF其中(1,p)稱(chēng)作誤差或特別因子。滿(mǎn)足假設(shè)：1）mp2）cov(F,)0，3）var(F)Im，var()diag(12,p2)。稱(chēng)Fi為第i個(gè)公共因子，aij為因子載荷。因子解析與主成分的關(guān)系：聯(lián)系：兩者都能夠看作逼近協(xié)

4、方差矩陣。差別：主成分解析的數(shù)學(xué)模型是一種變換，因子解析模型是描述X的協(xié)方差的結(jié)構(gòu)的一種模型。其次，主成分中aij唯一確定，但因子解析中，每個(gè)因子的系數(shù)不是唯一的。與多變量回歸解析不同樣，此處的“自變量”F是不能觀(guān)察的。2.公共因子：因子載荷和變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義。假設(shè)因子模型中，全部變量和因子都已標(biāo)準(zhǔn)化。卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識(shí)分享快樂(lè)（1）（1）因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義設(shè)xiai1F1ainFmii1,pmmE(xiFj)aikE(FkFj)aikr(FkFj)aijFkFjr(FjF1)1aijrxi,Fj則K1K1由于，不相關(guān)，且即因子載荷aij是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)。

5、2m2hiaij（i1,p）稱(chēng)作變量xi的共同度：(2)變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義：j1m22m2222var(xi)var(aijFj)var(i)aijvar(Fj)iaijihiij1j1即122xi的方差，其共同度越大，說(shuō)明公共因子包含的xi的信息就hii即共同度是公共因子所占的越多。3）公共因子Fj的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣中列的平方和。psjaijj1,pi1稱(chēng)sj為公共因子Fj對(duì)xi的貢獻(xiàn)，是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。第三節(jié)第三節(jié)因子載荷的估計(jì)方法這是常用的主成分法，設(shè)隨機(jī)向量X(x1,xp)的協(xié)方差為，的特色值為12p0其相應(yīng)的特色向量為e1,e2,ep,（標(biāo)準(zhǔn)正交基）則：

6、Udiag1,pUpieiei(1e1,pep)(1e1,pep)i1當(dāng)公共因子Fi有P個(gè)時(shí)，特別因子為0，因此，XAFA為因子載荷陣。因此，D(X)var(AF)Avar(F)AAA因此，AA，因此,A為（1e1,pep），因此，A(1e1,pep)因此第j列因子載荷為第j個(gè)主成分ej與j的乘積。因此稱(chēng)為主成分法。當(dāng)最后pm個(gè)特色根很小時(shí)，去掉m1em1,pep此時(shí)，A(1e1,mem)，方差A(yù)A=(1e1,mem)(1e1,mem)+diag(12,p2)別的，當(dāng)未知時(shí)，用樣本協(xié)方差s代替，或樣真相關(guān)陣R代替。一般設(shè)?1p為樣真相關(guān)陣R的特色根，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特色向量為e?,e?p，則因

7、子載荷陣的估計(jì)為?)1p。設(shè)mA(aij即A(?1e1,mem)第四節(jié)第四節(jié)因子旋轉(zhuǎn)建立因子解析數(shù)學(xué)模型的目的不但是為了找出公共因子，更重要的是要知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)責(zé)問(wèn)題進(jìn)行解析。若是每個(gè)公共因子的涵義不清，不便于對(duì)實(shí)質(zhì)背景進(jìn)行講解，這時(shí)依照因子載荷卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識(shí)分享快樂(lè)陣的不唯一性，可對(duì)因子載荷陣推行旋轉(zhuǎn)，即用一個(gè)正交陣右乘使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，便于對(duì)公共因子進(jìn)行講解。所謂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化就是使每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余公共因子上的載荷比較小。這種變換因子載荷的方法稱(chēng)為因子旋轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)有方差最大正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)，此處只介紹方差最大正交旋

8、轉(zhuǎn)。先考慮兩個(gè)因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為：a11a12a21a22Acossinap1ap2，sincos為正交矩陣。記BAa11cosa12sina11sina12cosap1cosap2sinap1sinap2cosb11b12bp1bp2（*）這樣做目的是希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素按其平方值說(shuō)也許盡可能大也許盡可能小，即向1和0兩極分化，也許說(shuō)因子的貢獻(xiàn)越分別越好。這實(shí)際上是希望將變量x1,x2,xp分成兩部分，一部分主要與第一因子相關(guān)，另一部分主要與第二因子相關(guān)，這也就是要求(b112,bp21),(b122,bp22)這兩組數(shù)據(jù)的方差要盡可能地大，考慮各列的相對(duì)方

9、差V1pp(bi2(12)2i1hipp2(pp2p2bi)21(bi)2(bi)2)i1hi2p2i1hi2i1hi21,222這里取bi是為了除掉符號(hào)不同樣的影響，除以hi是為了除掉各個(gè)變量對(duì)公共因子依賴(lài)程度不同樣的影響?，F(xiàn)在要求總的方差達(dá)到最大，即要求使GV1V2達(dá)到最大值，于是考慮G對(duì)的導(dǎo)數(shù)，求出最大值。若是公共因子多于2個(gè)，我們能夠逐次對(duì)每2個(gè)進(jìn)行上述的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)公共因子數(shù)m2時(shí)，可以每次取2個(gè)，全部配對(duì)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)總是對(duì)A陣中第列、列兩列進(jìn)行，此時(shí)公式（*）中只需將aj1aj，aj2aj就行了。因此共需進(jìn)行次旋轉(zhuǎn)，但是旋轉(zhuǎn)達(dá)成后，其實(shí)不能夠認(rèn)為就已2經(jīng)達(dá)到目的，還可以夠重新開(kāi)始，進(jìn)行

10、第二輪cm次配對(duì)旋轉(zhuǎn)。依次進(jìn)行，能夠是總的方差越來(lái)越大，直到收斂到某一極限。例：觀(guān)察我國(guó)各省市社會(huì)發(fā)展綜合情況一、一、運(yùn)用方法：多元統(tǒng)計(jì)因子解析因子解析的基本思想：經(jīng)過(guò)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能夠控制全部變量的少許幾個(gè)隨機(jī)變量的少許幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少許.幾個(gè)隨機(jī)變量是不能觀(guān)察的，平時(shí)稱(chēng)為因子。爾后依照相關(guān)性的大小把變量分組，只得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同樣組的變量相關(guān)性較低。二、二、因子解析方法的計(jì)算步驟：卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識(shí)分享快樂(lè)第一步：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。第二步：建立變量的相關(guān)系數(shù)R。第三步：求R的特色根極其相應(yīng)的單位特

11、色向量。第四步：對(duì)因子載荷陣推行最大正交旋轉(zhuǎn)。第五步：計(jì)算因子得分。以下是我國(guó)各省市綜合發(fā)展情況做因子解析。數(shù)據(jù)表中采用了六個(gè)指標(biāo)分別是：人均GDP（元）X1，新增固定財(cái)富（億元）X2，城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入（元）X3，農(nóng)村居民機(jī)家庭純收入（元）X4，高等學(xué)校數(shù)量（所）X5，衛(wèi)活力構(gòu)數(shù)量（所）X6。原始數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：地區(qū)人均gdp新增財(cái)富城鎮(zhèn)人均農(nóng)村人均高校數(shù)量衛(wèi)活力構(gòu)北京1026530.8162353223654955天津816449.1349292406213182河北337677.76392116684710266山西281933.9733051206265922內(nèi)蒙古301354.51

12、28631208194915遼寧6103124.0237061756616719吉林370328.6531741609433891黑龍江442748.5133751766387637上海15204128.9371914245455286江蘇5785101.09463424566712039浙江614941.8862212966378721安徽252155.7437951302356593福建538618.3545062048304537江西237626.2833761537315423山東4473102.54426417154810463河南247571.3632991231507661湖北3

13、34137.7542081511569744湖南270143.0146991425479137廣東638051.8274382699428848廣西277232.5247911446275571海南48025.354770151951653四川251680.97400211586418885貴州155322.0739311086223934云南249048.4840851010266395陜西234426.313309962466215甘肅192514.843152880174131青海29104.163319102971176寧夏26857.94338299871028新疆393526.6541631136213932數(shù)據(jù)本源中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1、將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化2、建立六個(gè)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)陣R3、共因子方差4、總方差解建立因子載荷陣：5、建立因子載荷陣：卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識(shí)分享快樂(lè)由于前三個(gè)特色值的累計(jì)貢獻(xiàn)率已達(dá)93.505%，因此取前三個(gè)特色值建立因子載荷陣以下：6、對(duì)因子載荷陣推行方差最大旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得正交因子表矩陣以下：由此有：X2=0.940F1+0.105F2+0.261F3X3=0.893F1-0.0747F2+0.404F3X4=0.0364F1+0