什么是無理數(shù)及其定義是什么

1、可編輯什么是無理數(shù)及其定義是什么什么是無理數(shù)及其定義是什么 無理數(shù)最早是由畢達哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)覺，那么什么是無理數(shù)?下面我就帶大家一起來詳細(xì)了解下吧。 無理數(shù)基本定義 無理數(shù)，即非有理數(shù)之實數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。 常見的無理數(shù)有大部分的平方根、和e(其中后兩者同時為超越數(shù))等。無理數(shù)的另一特征是無限的連分?jǐn)?shù)表達式。傳奇中，無理數(shù)最早由畢達哥拉斯學(xué)派弟-子希伯斯發(fā)覺。他以幾何方法證明無法用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示。而畢達哥拉斯深信任意數(shù)均可用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示，不信任無理數(shù)的存在。但是他始終無法證明不是無理數(shù)，后來希伯斯將無理數(shù)透露給外人

2、此學(xué)問外泄一事觸犯學(xué)派章程因而被處死，其罪名等同于“瀆神”。 無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)和開方開不盡的數(shù). 如圓周率、2(根號2)等。 有理數(shù)是全部的分?jǐn)?shù)，整數(shù)，它們都可以化成有限小數(shù)，或無限循環(huán)小數(shù)。如22/7等。 實數(shù)(real number)分為有理數(shù)和無理數(shù)(irrational number)。 有理數(shù)可分為整數(shù)(正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)) 也可分為正有理數(shù)，0，負(fù)有理數(shù)。 除了無限不循環(huán)小數(shù)以外的數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。 1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成整數(shù)、小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333而無理數(shù)只能寫成無限不循

3、環(huán)小數(shù)， 比如2=1.414213562依據(jù)這一點,人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。 2、無理數(shù)不能寫成兩整數(shù)之比。 利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)分，可以證明2是無理數(shù)。 證明：假設(shè)2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。 既然2是有理數(shù)，它必定可以寫成兩個整數(shù)之比的形式： 2=p/q 再假設(shè)p和q沒有公因數(shù)可以約，所以可以認(rèn)為p/q 為最簡分?jǐn)?shù),即最簡分?jǐn)?shù)形式。 把 2=p/q 兩邊平方 得 2=(p2)/(q2) 即 2(q2)=p2 由于2q2是偶數(shù)，p 必定為偶數(shù)，設(shè)p=2m 由 2(q2)=4(m2) 得 q2=2m2 同理q必定也為偶數(shù)，設(shè)q=2n 既然p和q都是偶數(shù)，他們必定有公因數(shù)2，這與前

4、面假設(shè)p/q是最簡分?jǐn)?shù)沖突。這個沖突是由假設(shè)2是有理數(shù)引起的。因此2是無理數(shù)。 1.推斷ab是否無理數(shù)(a，b是整數(shù)) 若ab是有理數(shù)，它必定可以寫成兩個整數(shù)之比的形式： ab=c/d(c/d是最簡分?jǐn)?shù)) 兩邊a次方得b=ca/da 即ca=b*(da)ca確定是b的整數(shù)倍，設(shè)ca=bn*p 同理b*(da) 必定也為b的整數(shù)倍，設(shè)b*(da)=b*(bm*q). 其中p和q都不是b的整數(shù)倍 左邊b的因子數(shù)是a的倍數(shù)，要想等式成立，右邊b的因子數(shù)必是a的倍數(shù)，推出當(dāng)且僅當(dāng)b是完全a次方數(shù)，ab才是有理數(shù)，否則為無理數(shù)。 無理數(shù)發(fā)覺的故事 對畢達歌拉斯而言，當(dāng)時的數(shù)學(xué)學(xué)問只能熟識到整數(shù)，雖然分?jǐn)?shù)

5、 總可以用正數(shù)表達。數(shù)學(xué)之美在于有理數(shù)能解釋一切自然現(xiàn)象。這種起指導(dǎo)作用的哲學(xué)觀使畢氏對無理數(shù)的存在視而不見，甚至導(dǎo)致他一個同學(xué)被處死。 無理數(shù)的發(fā)覺 畢達哥拉斯的同學(xué)希伯斯，他試圖找出根號2的等價分?jǐn)?shù)，最終他熟識到根本不存在這個分?jǐn)?shù)，也就是說根號2是無理數(shù)，希帕索斯對這發(fā)覺，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。 希帕索斯在爭論勾股定理時，發(fā)覺了一種新的數(shù)，而這種數(shù)是不符合他老師的宇宙理論的。希伯斯發(fā)覺，假如直角三角形兩條直角邊都為1，那么，它的斜邊的長度就不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比(應(yīng)當(dāng)?shù)扔?，是一個無理數(shù))。更令畢達哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯竟然用數(shù)學(xué)方法證明白這種新數(shù)存在的合理性，而證明的方法

6、歸謬法，又是畢達哥拉斯學(xué)派常用的。 由于畢氏已經(jīng)用有理數(shù)解釋了天地萬物，無理數(shù)的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經(jīng)洞察力獲致的成果確定經(jīng)過了一段時間的論和深思熟慮，畢氏本應(yīng)接受這新數(shù)源。然而，畢氏始終不愿承認(rèn)自己的錯誤，卻又無法經(jīng)由規(guī)律推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數(shù)學(xué)的最大悲劇，只有在他死后無理數(shù)才得以平安的被爭辯著。后來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數(shù)。 沉重的打擊 可以想象，畢達哥拉斯學(xué)派受到了多么沉重的打擊。小小的竟然動搖了他們慘淡經(jīng)營的宇宙理論。怎么辦?畢達哥拉斯的可悲，在于他不敢視這個新的數(shù)學(xué)問題，而是企圖借助宗教信條來維護他的權(quán)

7、威。他搬出學(xué)派的誓言，揚言要嚴(yán)懲敢于“泄密”的人。然而，真理從來就不是權(quán)劫的奴仆，真理的聲音是誰也封鎖不了的。漸漸地，有一種新的數(shù)存在的消息傳播了開去。 這一發(fā)覺實際上是推翻了教派原來的論斷，觸犯了這個學(xué)派的信條。他們不許希帕索斯泄露存在根2(即無理數(shù))的隱秘，但是天真的希帕索斯在無意中向別人談到了他的發(fā)覺。后來畢達哥拉斯教派為了維護教派的信條，以破壞教規(guī)為理由將希帕索斯裝進大口袋扔進了大海。希帕索斯由于發(fā)覺了根號2“無理數(shù)”的存在，為揭示了一個科學(xué)的真理而付出了生命的代價。 同時該教派犯下了將發(fā)覺無理數(shù)存在的教派成員、畢達哥拉斯的同學(xué)希帕索斯迫害致死的罪行。這是數(shù)學(xué)史上一個最著名的悲劇。他那

8、傳奇般的一生給后代留下了許多的故事與傳奇。 然而像根號2這樣的“無理數(shù)”存在的.事實，卻不行能一扔了之，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一次危機，也帶來了數(shù)學(xué)思想一次大的飛躍。熟識無理數(shù)的存在告知我們，沖突的存在說明人的熟識還具有某種局限性，需要有新的思想和理論來解釋。我們只有突破固有思維模式的束縛，才能開拓新的領(lǐng)域和方向，科學(xué)才能夠連續(xù)進展。 科學(xué)無止境，熟識無禁區(qū)，那些事先為科學(xué)設(shè)定條條框框的，最終將變成阻礙科學(xué)進步的阻力，必定被時代的所拋棄。 進步的代價 希伯斯由于違反了學(xué)派的誓言，患病到殘酷的迫害。不久，他就失蹤了。畢達哥拉斯派的人說，那是海神普賽登懲處了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大風(fēng)暴沖散了希伯斯的船隊，然后就卷起海浪沉沒了他但是，誰會信任這些騙人的鬼話呢? 這類無理數(shù)的發(fā)覺，是數(shù)學(xué)史上一個重要的發(fā)覺。希伯斯為此獻出了生命，但我們欣忍地看到，數(shù)學(xué)卻因此又前進了一步。 有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)分 實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)主要區(qū)分有兩點： （1）有理數(shù)可分為整數(shù)(正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù))。把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0；4/5=0.8等等；也可分為正有理數(shù)(正整數(shù)、正分?jǐn)?shù))，0，負(fù)有理數(shù)(負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)),而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù). （2）全部的有理數(shù)都可以寫成兩