空間兩條直線的關(guān)系

1、空間兩條直線的關(guān)系摘要：本文通過空間兩條直線上的三個(gè)重要向量，表現(xiàn)出了空間兩條直線的位置關(guān)系，從而 得出了用三個(gè)向量表示空間直線關(guān)系的充要條件，可以方便的解決關(guān)于空間兩直線關(guān)系的問 題.關(guān)鍵詞：空間直線；異面；相交；平行空間兩直線的關(guān)系有異面和共面兩種，其中共面直線又可以分為相交，平行，重合三種.在仿射坐標(biāo)系中，設(shè)兩直線l與l過點(diǎn)M （x , y, z）與M （x , y , z ），方 TOC o 1-5 h z 1211112222向向量分別為v =x , y, z , v = x , y , z ，那么它們的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 11112222l: J=二七1Xy1,X - X y - y z

2、 - z:2 = 2 = 22x2y2z2l與1的關(guān)系取決于三個(gè)向量MM, v, 7的相互關(guān)系;121212（1（1）當(dāng)且僅當(dāng)三向量M：M；,日，匚異面時(shí),l1與l2異面，即不共面;（2）當(dāng)且僅當(dāng)三向量MM, V, 7共面時(shí)，/與/共面； 121212在共面的情況下：（1）如果7, r不平行時(shí)，/與相交；1212（2）如果7, b平行但不平行于MVT，那么l與l平行;121212（3）如果MM, V, 7的相互平行，那么l與l重合;121212因此，我們可以得到下面命題：命題 1，l與l異面O（MHT, v, r）豐0. 1212122，2，l與l相交o( MM,1212v, r)=o且v,

3、r不共線.12123，l與l平行o v, r共線.但和mm不共線.為共線向量.為共線向量.l與l重合o MM, 1212用坐標(biāo)表示，則有下面推論：推論1.11與匕異面推論1.11與匕異面o N =x - xx1x2y2 - y 1y1y2z - zz1z2l 與 l 相交= = 0 且 x : y : z。x : y : z ； TOC o 1-5 h z 12111222l 與 l 平行o x : y : z = x : y : z o(x -x ): (y - y ): (z -z );12111222212121l 與 l 重合o x : y : z = x : y : z = (x -

4、x ):(y - y ): (z - z );12111222212121下面我們要定義空間兩直線的夾角，即平行于空間兩直線的兩向量間的夾角.兩直線l與 間的角記做/(l,l)，空間兩直線l與 的夾角，如果用它們的方向 121 212向量7, r之間的角表示，就是z(l,l).121 2因此，在直角坐標(biāo)系里，空間兩直線的夾角的余弦為() xx + y y + zzcos Z(l, l .)= 1212 121 2k：x2 + y2 + z2 ,：x2 + y2 + z2通過兩直線的夾角我們可知兩直線垂直的充要條件是：xx + yy + zz = 0.121212綜上所述，我們可判定空間兩直線的

5、關(guān)系為異面，相交(垂直)，平行，重 合五種.通過以上幾種關(guān)系的充要條件，我們可以已知兩直線方程，求兩直線的關(guān)系.求 通過某點(diǎn)且與已知兩直線關(guān)系的方程.已知兩個(gè)含參直線關(guān)系，求直線的方程中 的參數(shù).求通過某點(diǎn)且與一直線關(guān)系的直線方程.求與三條直線有關(guān)系的方程.例一已知兩直線110l: x=z=z+11:x -1 = y-1 =z -1 1 -10 , 2 110求兩直線l1與匕的關(guān)系.解：因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M(0,0, -1)，方向向量為7 = 解：因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M(0,0, -1)，方向向量為7 = 1,-1,0，而直線l過點(diǎn)M2 (1,1,1)1方向向量為匚=1,1,0，因?yàn)镸M1-= 1,1,

6、22從而有A =(M1V,112-10 =1014主0=11所以l1與匕為兩異面直線.例二求通過點(diǎn)P(1,1,1)且與兩直線y - 2 T都相交的直線的方程.解設(shè)所求直線的方向向量為那么所求直線解設(shè)所求直線的方向向量為那么所求直線l的方程可寫成x -1 y -1 z -1XY Z，因?yàn)閘與l , l都相交，而且l過點(diǎn)M(0,0,0 )，方向向量為8 = 1,2,3,l過點(diǎn)12112M2 (1,2,3),方向向量V = 2,1,4.所以有1122111223 = 0,艮口 X - 2Y + Z = 0,Y Z-1 -214 = 0,即 X + 2Y - Z = 0,Y Z由上兩式得X : Y :

7、 Z = 0: 2: 4 = 0:1: 2，顯然又有0:1: 2衛(wèi)1:2:3，艮口 V不平行于7,0:1: 2豐2:1: 4,即V不平行于匚.所以所求直線l的方程為x -1y -1 z -1.012例三確定人的值使下面兩直線相交.l2: z 軸.解：因?yàn)橹本€/的方向向量1-1 1 = 人一8,2 - 3 人,13.1 4 I又因?yàn)樗粤?1又因?yàn)樗粤?13。0 4M3x-y*：= 0 得廠=3I x + 4 y -15 = 0I y = 3所以l1過點(diǎn)M1(3,3,0 )又l2過點(diǎn)M2 (0,0,0 )且方向向量7 = 0,0,1. TOC o 1-5 h z -3- 30所以=人8 2-乳

8、 13- + 6 A9 -3 = 24 0001解得x= 5例四 求過點(diǎn)P(2,1,0)且與直線l: M = V = 壬5垂直相交的直線.32-2解：設(shè)所求直線11方向向量為7 = x, y, J因?yàn)?過點(diǎn)P(5,0, -25 )，方向向量為匚=3,2, -2又因?yàn)?與1相交3 - 3 - 1 25所以解得 又因?yàn)?與1垂直1所以兩直線夾角的余弦coL (1 j) = + -3x+2y-=2 = 01.：1 7： X 2 + y 2+ z 2所以-5 2x + 6羅-9 = 0綜上得方程組:，綜上得方程組:3x + 2 y - 2z = 0解得352解得3522=120:131:311 69顯

9、然120:131:歸 11 - 3 : 2顯然所以所求直線11的方程為x - 2 _ y -1 _ z lL331i例五 求直線1:!x-3y+z=0 ，平行且與下列兩條直線 0 X + y - z + 4 = 0I: x 3 + t,芳-1 + 2t 和=:4t= -2 + 3t, y = -1,z = 4-1相交的直線 1 的方程.解：直線l的方向向量 = 3 ： ；,； 3二2 1,1,2,因?yàn)閘與l平衡， 0 TOC o 1-5 h z 所以取7 = 1,1,2作為1與1的方向向量. 00又因?yàn)閘1過點(diǎn)M1（3,-1,0 ），方向向量二二1,2,4，12過點(diǎn) M2 （-2,-1,4），方向向量匚=3,0,-1.直線l 與 l相交，那么l必定在經(jīng)過點(diǎn)M，方向向量為云7的平面上， 1101x 一 3 y +1 z則該平面方程為112 = 0，124展開得02x + 2 y +1 z 02x + 2 y +1 z 一 412 =