有限元試題總結(jié)

1、一、簡(jiǎn)答題（40分，每小題5分）1、分別寫出板彎類單元和平面應(yīng)力膜單元上一個(gè)有限元節(jié)點(diǎn)的位移自由度及其相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力列陣？（1）薄板彎曲問題單元每節(jié)點(diǎn)三自由度，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量：撓度w，繞X、y軸轉(zhuǎn)角撓度w繞x軸轉(zhuǎn)角0 x繞y撓度w繞x軸轉(zhuǎn)角0 x繞y軸轉(zhuǎn)角0y，即結(jié)點(diǎn)啲位移邛=wi0 xiByidy-dW(=1,K4)同理,相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力=豎向力fMxi繞x軸力偶（上節(jié)中的My）Myi繞y軸力偶（上節(jié)中的Mx）（2）平面應(yīng)力膜單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩自由度，u,vt,對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)力f,fiixiyi2、欲求解在ay+by+cx=R約束下的泛函I=fF（x；y,yr）dx極值，新泛函應(yīng)a如何構(gòu)造？+b

2、y+cx一R)dx答：I*=fF(x;y,+by+cx一R)dx3、欲求解在R=弘（x,y）dx+Q（x,y）dy約束下的泛函I=fF（x；y,y）dx極a值，新泛函應(yīng)如何構(gòu)造？y-Rdx答：I*=fF(x;y,y)+XP(x,y)+Q(y-Rdxa4、滿足Nfg+gf%=L條件下的泛函I=fF（x；y,y）dx極值求解應(yīng)如何構(gòu)造新泛函？答：I*=fF(x;y,y)+九(fg+gf+(y)2dxa5、寫出直梁彎曲問題的勢(shì)能原理表達(dá)式，并說明真解的充分必要條件？答：一變剖面梁，一端C=0)固支,另一端C=1)簡(jiǎn)支。承受軸向拉力N,分布橫向載荷qC)以及扌訂丁FhpM端點(diǎn)彎矩M的作用。N/NlEJ

3、(3)系統(tǒng)總勢(shì)能口：02+-qwdx02+-qwdx+MlWC)充要條件：在所有變形可能的撓度中使系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值的擾度為真解。6、寫出用一維Hermit型基函數(shù)(形狀函數(shù))構(gòu)造未知位移場(chǎng)函數(shù)的表達(dá)式，并說明用其分段插值的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？答：w=wH1CP)+9H1C)+wH2CP)+9H2)=ntUi0i1j0j1eH1(P)=1-3卩2+2卩3，H1(P)=P-2卩2+p301H2(P)=3P2-2P3，H2(P)=-P2+P301在單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高(單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù))，而在單元間的節(jié)點(diǎn)上，要低一階(一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在)。P397、Herm辻型分段插值基函數(shù)(形狀函數(shù))的

4、基本性質(zhì)有哪些？并說明用該基函數(shù)插值獲得的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？答：四個(gè)形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中，H1(P)，H2(P)一節(jié)導(dǎo)函數(shù)值在兩端點(diǎn)00都為；H1(P)函數(shù)值在左節(jié)點(diǎn)為1，右節(jié)點(diǎn)為o；H2(P)相反；所以這兩個(gè)00形狀函數(shù)對(duì)W的節(jié)點(diǎn)值有影響，而不影響W階導(dǎo)在端點(diǎn)的值；H1(P)，H2(P)在兩節(jié)點(diǎn)的值均為；H1(P)一階導(dǎo)函數(shù)值在左節(jié)點(diǎn)為1，在右111節(jié)點(diǎn)為，H2(P)相反；說明這兩個(gè)形狀函數(shù)對(duì)W的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值有影響，而1不影響W在端點(diǎn)的值。在單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高(單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù))，而在單元間的節(jié)點(diǎn)上，要低一階(一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在)。8、敘述一個(gè)平衡彈性結(jié)構(gòu)體的勢(shì)(位)能駐值原

5、理？最小勢(shì)能原理與駐值原理有什么關(guān)系？答：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實(shí)的位移狀態(tài)使總勢(shì)能為駐值（可能極大、極小或者始終保持不變）。由此得到的駐值條件等價(jià)于平衡條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須進(jìn)一步考察總勢(shì)能的二階變分情況。最小勢(shì)能原理是勢(shì)能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。9、通過勢(shì)能泛函近似得到的有限元數(shù)值解是什么性質(zhì)？常規(guī)協(xié)調(diào)單元的收斂性規(guī)律如何（可用曲線描述）？答：按照最小勢(shì)能原理求解時(shí)，必須首先假定單元位移函數(shù)，這些位移函數(shù)是連續(xù)的，但卻是近似的。從物體中取出一個(gè)單元，作為連續(xù)介質(zhì)的一部分，本來具有無限個(gè)自由度，

6、在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限個(gè)自由度，這相當(dāng)于位移函數(shù)對(duì)單元變形能力有所限制，使得單元?jiǎng)偠仍黾樱矬w的整體剛度也增加了，因而計(jì)算的位移近似解小于精確解。當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。10、由最小位能原理獲得的有限元解收斂性具有什么特征（可用曲線說明）？答：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。以一位移精確解可能是一復(fù)雜的非顯式曲線，有限元離散后，單元內(nèi)的變形是節(jié)點(diǎn)位移的線性插值函數(shù)，這樣得到的計(jì)算解曲

7、線以折線逼近精確解。如果采用二次曲線逼近，則計(jì)算精度與計(jì)算效率可大大提高，二次曲線即有限元中的高次單元。同樣，當(dāng)有限元網(wǎng)格無限密化時(shí)，計(jì)算解將無限逼近精確解?？紤]計(jì)算過程中的數(shù)值計(jì)算誤差（例如：截?cái)嗾`差），限制了有限元網(wǎng)格的過分密化。11、寫出一般線彈性體的基本控制方程？邊值條件有哪些？答：平衡方程：b+f=0（在彈性體Q內(nèi)）ij,ji幾何方程：=（U+U）cij2i,jj,i物理方程：b=D（在彈性體Q內(nèi)）ijijklkl邊界條件：a位移邊界條件u=u（在位移邊界r上）;iiub應(yīng)力邊界條件bn-T=0（在應(yīng)力邊界r上）；jjibC.混合邊界條件12、等參元的數(shù)值積分最高精度2n-1,指的是

8、什么？若積分點(diǎn)偏少可能發(fā)生什么情況？答：指的是n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可達(dá)2n-1階的精度；高斯積分計(jì)算剛度矩陣時(shí)：Ld=thbLd】BJii=1當(dāng)高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要的階次時(shí)，稱為完全積分；低于時(shí)，稱為減縮積分。對(duì)等參元的數(shù)值積分，積分點(diǎn)減少可能對(duì)積分的精度和結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的奇異性造成影響。（1）在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，其整體剛度偏大，選取積分點(diǎn)偏少的減縮積分方案將使有限元計(jì)算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計(jì)算精度。(2)求解系統(tǒng)方程Ka=P時(shí)，要求引入強(qiáng)迫邊界條件后K必須非奇異。但當(dāng)采用較少的積分點(diǎn)數(shù)目，可能造成K最大志小于獨(dú)立自由度數(shù)，也即剛

9、度矩陣K奇異，則平衡方程組無唯一解。13、有限元結(jié)構(gòu)總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求解方案的可行性原因何在？答：總綱特征：對(duì)稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性(置入邊界條件后是正定的)有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會(huì)浪費(fèi)大量資源。一維變帶寬存儲(chǔ)是建立一個(gè)一維數(shù)組，把總剛矩陣中每行第一個(gè)非零元素以及后面直到對(duì)角線元素按行順序存放，同時(shí)建立另外一個(gè)一維數(shù)組(稱為定位數(shù)組)，記錄總剛矩陣每行對(duì)角線元素在一維剛度數(shù)組中的位置，這樣，通過兩個(gè)較小的一維數(shù)組就實(shí)現(xiàn)了較大規(guī)模的總體剛度矩陣的存儲(chǔ)、定位與獲取。14、任意四邊形平面應(yīng)力單

10、元的某一節(jié)點(diǎn)自由度需用與結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)系不同的局部坐標(biāo)系表達(dá)，寫出該單元?jiǎng)偠葎傟嚨姆?hào)表達(dá)式？答：1=卜卜BLdbJ|dgdn15、-i-i(g,n)(g,n)15、寫出受壓桿穩(wěn)定性問題的泛函表達(dá)式，解釋臨界失穩(wěn)載荷的力學(xué)含義？答：EJJI-wIdx2)答：P=min0crJid丫dJIwdx(dx丿0當(dāng)pp時(shí)，系統(tǒng)是不定的；p=p點(diǎn),crcrcr系統(tǒng)從正定到不定的過渡狀態(tài)，即系統(tǒng)處在隨遇平衡狀態(tài)。16、對(duì)僅受分布橫向載荷q(x)的懸臂梁，寫出具體勢(shì)能泛函表達(dá)式？變分的結(jié)果有哪些，什么性質(zhì)？廠一一、21d2w上EJ一qw2(dx2丿dx答:口J00-qOwdX+EJw6(w)l$-EJw(3)1

11、$，可得:0對(duì)于微分方程EJw（4）q=0基本邊界條件：x=0,w=O,dw/dx=O;自然邊界條件：x=l,w=0,w=0;17、你所理解的有限元素法基本概念有哪些?答：依據(jù)求解問題的路徑不同,有限元方法大致可分為：位移法：以位移為基本未知量；力法：應(yīng)力為基本未知量；混合法：部分以位移；部分以應(yīng)力為基本未知量。將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體,用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù),近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對(duì)每一單

12、元假定一個(gè)合適的（較簡(jiǎn)單的）近似解,然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件（如結(jié)構(gòu)的平衡條件）,從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解,而是近似解,因?yàn)閷?shí)際問題被較簡(jiǎn)單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解,而有限元不僅計(jì)算精度高,而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。有限元法是Rayleigh-Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh-Ritz法,有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)

13、）,且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件,這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。18、經(jīng)典Ritz方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同？答：有限元法=RayleighRitz法+分片函數(shù)”即有限元法是RayleighRitz法的一種局部化情況。兩種方法都需要尋找坐標(biāo)基函數(shù)；但兩者差別在于Ritz法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標(biāo)函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方程組可能滿陣，造成較大計(jì)算工作量；有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來逼近，基函數(shù)是在單元中選取的.由于各個(gè)單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。使解得計(jì)算量減小和有效性增大。二、分析題（30分）1、（10

14、分）已知一等截面懸臂桿（截面積為A,彈性模量為E）承受沿軸向均勻分布載荷q及端部軸向應(yīng)力（如下圖）寫出勢(shì)能泛函（用軸向位移表達(dá)）？解：利僚）洛5心勢(shì)能泛函包括三個(gè)部分，一個(gè)部分是由于桿的變形桿中存儲(chǔ)的勢(shì)能口，第二1部分是分布力的勢(shì)能口，第三部分是端部軸向應(yīng)力的勢(shì)能口。23nedvi2v=EAJLe2dx20dx丿2dxdx丿2dx口2口3=-JLqudx=YAu（L）2、（8分）構(gòu)造下圖一維桿單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)插值基函數(shù)?x“(x-x)(x-x)(x“(x-x)(x-x)(x-L/4)(x-L)N=23=(x一x)(x一x)(0一L/4)(0L)1213N=-16x(x-1)3

15、L2L)x4丿43L(L)xx_I4丿1、（8分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷q,用有限元方法求解端點(diǎn)A的位移？jlllllllllllllllq解：d2u門微分方程描述fAdjr+q=0u（0）=0僅求解A點(diǎn)位移，可將整根梁看做一個(gè)單元?jiǎng)tA點(diǎn)的線性位形函數(shù)可寫為：U=UU=Ua9AEA|du丫2、dx丿梁的能量泛函為：口、梁的能量泛函為：口-qudx丿則n=EAu2-qLu由此可得u=眶2La2aa2EA或者法二：分布軸力q的等效：EA(1-EA(1-1JIu丿ay解得：qL2EA2、（8分）構(gòu)造下圖8節(jié)點(diǎn)單元中角節(jié)點(diǎn)1的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)二次插值基函n數(shù)？66-11

16、522i52i5n(1-n)=-(ig2)(1耳)TOC o 1-5 h zIi務(wù)勺巧丿22N=(Hd(i+g)=1(i-n2)(i+g)Ii6n6_ni丿22n=$_?-(i+n)=-G-g2)(i+n)Ii占勺巧丿22N=口3卩(i_g)=丄(i-n2)(i-g)Ii-n丿22再改造原四節(jié)點(diǎn)情況下的角節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，N=(i+gg)(i+nn),i=i,2,3,4i4ii對(duì)角點(diǎn)i分析：選N=丄(i-g)(i-n)時(shí)，在節(jié)點(diǎn)5、8處不為零而為丄，故處理為:i42N=(i-g)(i-n)-N5-N=(i-g)(i-n)(-n-g-1)i425284n.=I(i+g.g)(i+nn)(g.g+nn-

17、1),i=5,6,7,8i4iiii2、（8分）構(gòu)造下圖正方形上關(guān)于原點(diǎn)的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)雙二次插值基函數(shù)?X-span1,E,E2spanH尹,i1,2,3nw解:k1ikk羊iYspan1,m耳2span0a,/1,2,3n口一口k1ikkHi將二;1代入上述基得到:Xn=吶1E（一11心1），2E11）Yn=SPan2耳（-1），7+IEPt耳（n+1）因此對(duì)于中點(diǎn)的基函數(shù)為No=(+l)(gl)(q+1)(q-1)3、g分)已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達(dá)式為:IJ打駕+瞇-a-bdIJ打駕+瞇-a-bdx丿-軸dxdy2a2bx式中，為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上0(x,y)=0

18、求1：與問題等價(jià)的控制微分方程(Euler方程)。求2：取的近似解形式為：e=aC2一a2)(2一b2)，為未知參數(shù)，求使泛函I取極值的具體近似解。II則微分方程為：F-匚0a2dxdya2dxdy（2）將x2a2y2b2代入Iab224dxdy中:xy00得到：22即：2=0 x2y2ab42x2y2b22y2x2aba22dxdy4y2b2x2abababI4A24B32a3b3(a2b2)4516a3b39可得當(dāng)54(a可得當(dāng)54(a2b2)時(shí)I（）取極小值因此近似解為x2a2y2b24(a2b2)4、12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達(dá)式為：4、ab2xdxdy00dxdy

19、一2廿辿+型材dxdy+遊dx2dy2一2廿辿+型材dxdy+遊dx2dy2抵(6)cosa+|y(6)cospds-ff46dxdy00微分方程：型+型+2=0，代近似解到泛函，得dx2dy2?。篺aC0S2(竺)dx=faSin2(空)dx=a0a0a2(2)將0=a(x2-a2)(y2-b2)代入I)/得到:)2-軸dxdy中:1()2ff兀x.兀y)cossinab丿2兀2(+b2l兀y.兀x)cossinbdxdy式中，為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上0（x,y）=0求1：與問題等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2:取的近似解形式為：=asin竺sin空，為未知參數(shù)，求使泛ab函I取極值

20、的具體近似解。解：61(b)=：00ff2魯d創(chuàng))+261(b)=：0000dxdy.兀y.兀xsinsin-ba00dxdy計(jì)算得到：I（止Aa2-4Ba_k2(a2+b2)4ab4ab兀2可得當(dāng)a_可得當(dāng)a_32a2b2時(shí)I（0）取極小值兀4(a2+b2)因此近似解為32a2b2.兀兀.兀ysmsin-兀4(a2+b2)ab5、(12分)已知一物理問題的泛函為：n=f(y，+2xydx0其中，未知函數(shù)y(x)的邊界條件為：y(0)=0,y=1求1：與泛函等價(jià)的控制微分方程(Euler方程)。求2：取y的解形式為y(x)=ax3+ax2+ax+a，其中多項(xiàng)式系數(shù)為未知1234參數(shù)，求使泛函取

21、極值y的具體解。解：8n=-N2y-2Jydx+2y，8y|ip00微分方程：yd=0，解為y=-x3+Bx+C，代入邊界條件，得y=1x3+5x666近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。6、(12分)已知一物理問題的泛函為：口01(du口01(du2dx式中，U（x）,0 x1,為未知函數(shù)，且uG）=uG）=0求1：與泛函等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2:取u的近似解形式為Q（x）=ax+ax2，aa為未知參數(shù)，求使泛函12】、2取極值u的具體解。解：an=/an=/p0d2udx2+u+xaudx-嘗au%由邊界條件，得a1+a2=0,所以將0（x）=a1

22、x（1-x）代入泛函，求極值，得a1=5/187、（12分）已知一物理問題的泛函為:n=ff12-50dxp(2，x丿0式中，為未知函數(shù)，且G）=0求1：與問題等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2：取的近似解形式為C）=ax+ax2，aa為未知參數(shù)，求使泛函取12】、2極值的具體解。求3：解釋你的直接泛函駐值解說明了什么問題？解：對(duì)泛函作變分：an=-!l(+50)adx+aip0邊界值中，（L）任意，所以必須有（L）=0所以a=-2aL，12(x)=a(x2-2Lx所以a=-2aL，1222該駐值解等于精確解。三、計(jì)算題（30分）1、（15分）一四節(jié)點(diǎn)平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已

23、知該單元的節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系為：u=-u=u=-u,v=v=v=v=0（圖中的虛線狀態(tài)）。12341234試給出該單元剪切應(yīng)變能表達(dá)式；當(dāng)Gauss積分點(diǎn)僅取坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該剪切應(yīng)變能等于多少？已知：n=1G+箕）（+nn）細(xì)wLi,+i,g,n為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。i4iiii廠、O1V08xEi0 x卜=VV8y1-V21-VyT008xy2xy解：雅克比矩陣為ax一淹axax一淹ax一旳-J雅克比矩陣中每項(xiàng)的值如下假設(shè)母單元長寬分別為L和H則計(jì)算得J=下面寫出應(yīng)變矩陣的表達(dá)式亍ON=iX淹ii=1yon假設(shè)母單元長寬分別為L和H則計(jì)算得J=下面寫出應(yīng)變矩陣的表達(dá)式亍ON=iX淹ii=1yon=尹OQii=

24、1y4ON=iX=yonL2002J-1=Lf0H02H一ONONOx=J-1ONfON、莎、莎ONOxb=dgdqu=ffJ4ELu1g.對(duì)上式采用高斯積分，取取積分點(diǎn)g=nu=ffJ4ELu1g.-1-1心計(jì)g心牛H.占=2，2，4-1-1i=1j=1最后計(jì)算得到U=0。2、(15分)已知一對(duì)稱等截面桿件結(jié)構(gòu)，如圖所示，桿彈性模量E=104kg/mm2,截面面積A=10mm2,作用載荷p=104N。用有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)各點(diǎn)位移。要求作出求解過程的簡(jiǎn)化圖。解：1)節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如下：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)號(hào)單兀長度方向112L/2022341.L/2135334L/20424L/2902)各單元在總體

25、系下的剛度矩陣：各桿在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣計(jì)算公式：cos-asin-asin-a-case?sincz-sm2a一cos一cosasmacosa幻no-sitracosasin-sitracosasinasiira代入各桿對(duì)應(yīng)數(shù)值：10-10代入各桿對(duì)應(yīng)數(shù)值：10-101-1-112EA0000_EA-111-1L-1010K気-111-1_00001-1-1110-10_00002EA00002EA010-1K二一L-1010L000000000-101K=K(3)=3)單元拼裝，計(jì)算總剛度矩陣剛贋拒險(xiǎn)K=Ka)+K2：l+K3)+K4)10-1000010-100000_0000000

26、0-101+a-a-aa0000-a1+aa-a0-100-aa1+a-a-1000a-a-aa000000-1010000-100010P/200Tk=2EA節(jié)點(diǎn)力：P=RRx1y1y2x3(4)(4)邊界條件的處理及剛度方程求解節(jié)點(diǎn)植移：q節(jié)點(diǎn)植移：q=i片a2v2iqvj邊界條件為：邊界條件為：u=v=v=u=01123u-PL/4EA2vPL(a+1)/4EAa3u04v4_0_解得：1+解得：1+aa2EAaa12、（15分）已知一四邊固支的各向同性彈性正方形薄板（邊長為4,如下圖示），有一P載荷作用于中心點(diǎn)處，產(chǎn)生的位移撓度等于1，應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)12參數(shù)板彎單元計(jì)算所需載荷P的大小？（

27、已知彈性模量為E,板厚為t,泊桑比U=0.3,邊長為2的方板元素剛陣為：k11kk12kD2122kk3132kk4142aa1112aa2122aa13132eij解：ii4628xialii（局部坐標(biāo)系）如圖，把薄板劃分為四個(gè)單元，結(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如圖所示，由薄板固支的邊界條件，可以得到板邊界結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角都為零。4節(jié)點(diǎn)12參數(shù)的位形函數(shù)如下：w(g,n)=a+ag+an123+ag2n+agn289由于完全對(duì)稱，計(jì)算(1)單元為例：將1,2,3,4節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角條件w(g,n)=N5=竹頂2除3N4S+ag2+agn+an2+ag4+an3+ag3n+agn1011367312

28、NZiNni=|(1+g.g)(1+n.n)(2+g.g8iii=-bn(1+gg)(1+nn)(1-n2)8iii=1ag.(1+g.g)(1+n.n)(1-g2)8iiB矩陣計(jì)算如下：Bi3x3fNJ.ggJ-t(i=1,2,3,4,gn取-1,1)i，iBi3x3t4ab3b竺g.g(1+n.n)aii尋n.n(1+g.g)-an.(1+g.g)(1+3n.n)biiiiign(3g2+3n2-4)-bg(3n2+2nn-1)an(3g2+2gg-1).bg(1+3gg)(1+nn)iiiw=11Qw.小i=0b2w=11Qw.小i=0b2廠a2_(Ah2)a=3H15g+n+144卩+511(a20b20丿1a2丿00前述計(jì)算（1）單元中結(jié)果：H=?o=7=吧160abxia(i=1,2,3,4)b=bbbh1234片=f訂IdBd抽將每個(gè)單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣Ke由邊界條件:=0i=2,3Li=1,2,L9i=1,2,L9即6=10Lob因此對(duì)于1節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力與位移關(guān)系為P=K5=Ke111e11P=DCi