勾股定理解題方法

1、17.1勾股定理技巧1利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)技巧1如圖所示，在RtAABC中，ZC=90, AD平分ZCAB, DE 丄AB 于點(diǎn) E,若 AC=6, BC=8, CD=3.求DE的長(zhǎng)；求AB的長(zhǎng)及AADB的面積.解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD=DE,從而DE=3；(2)首先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算AADB的面積.解：(1)T AD 平分/CAB, DE丄AB, ZC=90。，CD=DE. CD=3, DE=3.(2)在RtABC中，由勾股定理，得AB= AC 2+BC 2 = 62+82 =10,ADB的面積為ADB=1 abde = 2 Z,i)如圖所示，將長(zhǎng)方形ABC

2、D沿著BD折疊，使點(diǎn)C落在 C處，BC交 AD 于點(diǎn) E,若 AD=8. AB=4.i)求MDE的周長(zhǎng)；求ABDE的面積.解析：(1)由將長(zhǎng)方形ABCD沿BD折疊，知CD = CD,/C=/C, /1 = /2，可證 BE=DE, 即 AE+BE=AD. 在 RtABE 和 RtBCD 中，利 用勾股定理求出BE, BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出ABDE的周長(zhǎng);由題意，知C=90,即DC丄BC,貝ISBDE= * BDCD. 解：/將長(zhǎng)方形ABCD沿著BD折疊， CD=CD, /C=/C, Z1 = Z2.又/2=/3, Z1 = Z3. BE=DE.設(shè) BE=DE=x,貝IAE=8-x.在 RtABE

3、中，BE2-AE2=AB2,即 X2 (8 x) 2 = 42,解得 x=5,即 BE=DE=5.在 RtABCD 中，BD= BC2+CD2= 82+42=45 ,BDE 的周長(zhǎng)為 BE+DE+BD=10+ 4(5 .(2) /C=90, DC丄BC.: SABDE= 1 BE. CD= 1 X5X4=10, 即ABDE的面積為10.技巧3利用勾股定理解決最短路徑問題如圖(1)所示是一個(gè)長(zhǎng)方體的大箱子，已知它的高為3 m,底面是邊長(zhǎng)為2 m的正方形.現(xiàn) 在點(diǎn)A處有一只壁虎，想沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)C處，則壁虎爬行的最短路程是多少？A(1)(2)(3)解析：首先將長(zhǎng)方體展開成平面圖形，連接AC,根

4、據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來解答，然后 利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)度.解：(1)如圖(2),將長(zhǎng)方體的右表面翻折至前表面，使A，C兩點(diǎn)共面，連接AC,則 此時(shí)線段AC的長(zhǎng)度即為此種情況的最短路程. AC2= (2 + 2)2 + 32 = 25.AC=5.(2)如圖(3),將長(zhǎng)方體的后表面翻折至上表面，使A, C兩點(diǎn)共面，連接AC,則此時(shí) 線段AC的長(zhǎng)度即為此種情況的最短路程. AC2=22+ (2 + 3)2=4+25=29.ac=29.5,壁虎爬行的最短路程是5 m.技巧4利用勾股定理求圖形的面積b如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，E是正方形內(nèi)一點(diǎn)，且 AE丄BE.若AE=6, BE=8,求圖中

5、陰影部分的面積.b解析：先利用勾股定理求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積 公式求得正方形和直角三角形的面積，最后求出陰影部分的面積.解：J AE丄BE, ZE=90.AE=6, BE=8,AB= AE2+BE2=1 62+82=10 . 正方形ABCD的面積為AB2= 100.J S F= 1 AEBE= - X6X8=24 ,ABE 22圖中陰影部分的面積為S陰影=100-24 = 76.技巧5利用勾股定理解決非直角三角形中的問題如圖(1)所示，已知在ABC中，ZC=60. AB=14, AC=10，求BC的長(zhǎng).(2)解析：過點(diǎn)A作AD丄BC,則出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形：RtAACD與RtAAB

6、D，借助于勾 股定理解題即可.解：如圖所示，過點(diǎn)A作AD丄BC，交 BC于點(diǎn)D. ZC=60。，AC=10，CD=5, AD=5 3 .又 AB=14， BD=1425( 3)2 = d9675=ll . BC=BD+CD=11+5 = 16.如圖(1),由于過度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲.近日， A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城正西方向240 km的點(diǎn)B處，以12 km/h的速度向北偏東 600方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150 km的范圍均為受影響區(qū)域.A城是否會(huì)受到這次沙塵暴的影響？為什么？若A城受到這次沙塵暴影響，則遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？Jt+*RA(1)(2)解析：

7、(1)過點(diǎn)A向沙塵暴行進(jìn)的方向作垂線，得到點(diǎn)A到直線BM的距離，將該距離 與150 km作比較來判斷A城是否會(huì)受影響.(2)由于在沙塵暴中心周圍150 km的范圍內(nèi)均 受影響，故以點(diǎn)A為圓心，以150 km為半徑畫弧，該弧與沙塵暴所經(jīng)路線有兩個(gè)交點(diǎn)，先 利用勾股定理求出這兩點(diǎn)的距離，再用這個(gè)距離除以沙塵暴的速度即可求出A城受影響的 時(shí)間.解：(1)A城會(huì)受到影響，理由如下：如圖(2)，過點(diǎn)A作AC丄BM，交BM于點(diǎn)C. 在 RtAABC 中，ZABM= 30， AC= - AB= 1 X 240 =120 (km).2 2120 V150，A城會(huì)受到這次沙塵暴的影響.(2)如圖(2),以點(diǎn)A為

8、圓心，以150 km為半徑畫弧，與BM交于E, F兩點(diǎn).由題意，得 CE=AE2+AC2=41502+1202=90 (km).AE=AF, ZAEF= ZAFE.又 ZACE= ZACF, AC=AC,ACEAACF(AAS). CE=CF.:.EF=2CE=2X90=180(km).18012= 15(h). A 城遭受這次沙塵暴影響的時(shí)間為 15 h17.2勾股定理的逆定理技巧1利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀已知a, b, c是ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式Jc2a2b2+ a_b =0 ,則AABC的形狀為 技巧4利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題解析：T解析：Tc2a2b2c2a2

9、b2=0,且 ab = 0. C2=a2+b2, a=bABC為等腰直角三角形. 答案：等腰直角三角形.技巧2勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB=1, BC=2, CD =2, AD = 3,且AB丄BC.試說明AC丄CD.解析：先在RtAABC中，利用勾股定理，求出AC的長(zhǎng)， 再利用勾股定理的逆定理求得ZACD=90.解：J AB丄BC, ZB = 90. AB=1, BC=2,AC2=AB2+BC2= I2+225.在AACD中，AC2+CD2=5+22=5+4=9,AD2=32=9, AC2+CD2=AD2. ZACD=90,即 AC丄CD.技巧3利用勾股

10、定理的逆定理求三角形的面積如圖所示，已知D, E, F分別是ABC中BC, AB,AC 邊上的點(diǎn)，且AE=AF, BE=BD, CF=CD, AB=4,BD 3AC=3,=，求ABC 的面積.CD 2解析：先出BC,證明ABC是直角三角形，即可求出面積.BD 3解：=-，設(shè) BD=3x，則 CD=2x，由 AE=AF, BE=BD, CF=CD,CD 2即 AF=32x, AE=4 3x,32x=43x,解得 x= 1,BC=3x+2x=5.又32 + 42 = 52，即 AC2+AB2 = BC2,ABC是直角三角形，ZA = 90.SSABC=2 abac= 2 X4X3=6-如圖所示，南

11、北向直線MN為我國(guó)領(lǐng)海線，即MN以西為我 國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，上午9： 50，我國(guó)反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方 向有一走私艇C以13 n mile/h的速度偷偷向我國(guó)領(lǐng)海駛來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國(guó)反走私艇B已知A, C兩艇 的距離是13 n mile, A, B兩艇的距離是5 n mile，反走私艇B 測(cè)得其離走私艇C的距離是12 n mile.若走私艇C的速度不變， 則走私艇C最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？解析：如圖所示，設(shè)MN交AC于點(diǎn)E,從而確定么BEC=90。，由已知條件確定ZABC = 90,利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，最后由速度公式求出時(shí)間.解：如圖所示，設(shè)MN交AC于點(diǎn)E,lZBEC=90.由題意，得 AB2+BC2=52 +122= 169 = 132=AC2, 故ABC是直角三角形