人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章42《直線射線線段》例題與講解

1、4.2直線、射線、線段1直線看法：直線是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形之一，是一個(gè)不作定義的原始的看法，直線常用“一根拉得很緊的細(xì)線”，“一張紙的折痕”等實(shí)質(zhì)事物進(jìn)行描述特點(diǎn)：直線向兩方無(wú)量延伸，不能胸襟，沒(méi)有粗細(xì)；并且同一平面內(nèi)的兩條訂交直線只有一個(gè)交點(diǎn)直線的基本性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線即“兩點(diǎn)確定一條直線”(4)直線的兩種表示法：一是用一個(gè)小寫字母表示：如直線a，b，c或直線是用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母表示，如：直線AB或直線BA.如圖：表示為直線l的字母地址能夠交換)l等另一個(gè)或直線AB(點(diǎn)直線與點(diǎn)的地址關(guān)系：一是點(diǎn)在直線上，也叫做直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)；另一種是點(diǎn)在直線外，也叫做直線不

2、經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)【例11】下面幾種表示直線的寫法中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(A直線aB直線MaC直線MND直線MO解析：直線的表示法有兩種，一種是用一個(gè)小寫字母表示，大寫字母表示，所以直線Ma這類表示法不正確，應(yīng)選B.答案：B)另一種是用直線上兩個(gè)點(diǎn)的【例12】如圖，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A點(diǎn)C點(diǎn)A在直線B在直線m上l上B點(diǎn)A在直線l上D直線m不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)解析：點(diǎn)與直線有兩種地址關(guān)系，一是點(diǎn)在直線上，也稱作直線過(guò)這點(diǎn)，另一種是點(diǎn)在直線外所以C錯(cuò)誤答案：C2射線定義：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分，叫做射線它是直線的一部分如圖就是一條射線，其中O是射線的端點(diǎn)表示法：同直線同樣，射線也有兩種表示方法，一種是用一個(gè)小寫字

3、母表示：如射線a，b，c或射線l等，另一個(gè)是用射線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母表示，其中前面的字母表示的點(diǎn)必定是端點(diǎn)如圖：表示為射線l或射線OA.(3)特點(diǎn)：射線只有1個(gè)端點(diǎn)，向一方無(wú)量延伸，所以不能胸襟【例21】如圖，若射線AB上有一點(diǎn)C，以下與射線AB是同一條射線的是()A射線BAB射線ACC射線BCD射線CB解析：端點(diǎn)同樣，在同一條直線上，且方向一致，就是同一條射線，所以B正確答案：B3線段(1)定義：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分，叫做線段它是直線的一部分(2)特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，不能夠向兩方無(wú)量延伸，所以它有長(zhǎng)度，有大小(3)表示法：同直線同樣，線段也有兩種表示法，一種是用一個(gè)小寫字母表示，如線段a

4、，b，c.另一種是用線段兩個(gè)端點(diǎn)的大寫字母表示如圖：能夠表示為：線段AB或線段BA，或線段a.線段的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短，簡(jiǎn)單的說(shuō)成：“兩點(diǎn)之間，線段最短”意義：采用最短路線的原則和依照(5)兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)間的距離破疑點(diǎn)線段的表示表示線段的兩端點(diǎn)的字母能夠交換，如線段AB也是線段BA，但端點(diǎn)字母不一樣線段就不同樣【例3】如圖有幾條直線？幾條射線？幾條線段？并寫出解析：直線主要看有幾條線向兩方無(wú)量延伸，圖中只有一條；射線主要看端點(diǎn)，再看延伸方向，3個(gè)端點(diǎn)，所以有6條，線段主若是看端點(diǎn)，3個(gè)端點(diǎn)，所以有3條解：有一條直線AB(或AC，AD，AE，BE

5、，BD，CD，)；射線有6條：CA，CB，DA，DB，EA，EB.線段有3條：CD，CE，DE.4.線段的畫法(1)畫一條線段等于已知線段畫法：測(cè)量法：用刻度尺先量出已知線段的長(zhǎng)度，畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段；尺規(guī)法：如圖：畫一條射線AB，在這條射線上截取(用圓規(guī))ACa.(2)畫線段的和差測(cè)量法：量出每一條線段的長(zhǎng)度，求出它們的和差，畫一條線段等于計(jì)算結(jié)果的長(zhǎng)度如：已知線段a，b(ab)，畫線段ABab，就是計(jì)算出ab的長(zhǎng)度，畫出線段AB等于ab的長(zhǎng)度即可尺規(guī)法：如圖，已知線段a，b，畫一條線段，使它等于畫法：如圖，畫一條射線AB，在這條射線上連續(xù)截取再以A為一個(gè)端點(diǎn)，截取AD=a，那么DC=

6、2ba.2ba.(用圓規(guī))AC=2b，【例4】如圖，已知線段a，b，c，畫一條線段，使它等于abc(用尺規(guī)法)畫法：如圖，畫射線(直線也可)AB，在射線AB上分別截取ACa，CDb.以D為一個(gè)端點(diǎn)在AD上截取DEc，線段AE即為所求5線段的比較(1)測(cè)量法：就是用刻度尺測(cè)量出兩條線段的長(zhǎng)度，再比較它們的大小(2)疊合法：把兩條線段的一端對(duì)齊，放在一起進(jìn)行比較如圖：若C點(diǎn)落在線段AB內(nèi)，那么ABAC；若C點(diǎn)落在線段AB的一個(gè)端點(diǎn)上，那么ABAC；若C點(diǎn)落在線段AB外(正確的說(shuō)是AB的延伸線上)，那么ABAC.談重點(diǎn)線段的比較用疊合法比較兩條線段的大小，一端必然要對(duì)齊，看另一個(gè)端點(diǎn)的落點(diǎn)，測(cè)量法要

7、注意單位的一致【例5】已知：如圖，完成以下填空：圖中的線段有_、_、_、_、_、_共六條(2)AB_；AD_；CB_.(3)ACAB_；CDAD_BC_；(4)AB_.注意(4)題有兩種可能解析：依照?qǐng)D形和線段間的和差關(guān)系填空，答案：(1)ACADABCDCBDB(2)ACCDDBACCDCDDB(3)CBACDB(4)ADDB或ACCB6線段中點(diǎn)、線段均分點(diǎn)(1)定義：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)(2)拓展：把一條線段分成相等的三條線段的點(diǎn)叫做這條線段的三均分點(diǎn).(3)等量關(guān)系：在上圖中：1AMBM2AB；2AM2BMAB.【例6】如圖，點(diǎn)C是線段AB的

8、中點(diǎn)(1)若AB6cm，則AC_cm.(2)若AC6cm，則AB_cm.1解析：若AB6cm，那么AC2AB3(cm)若AC6cm，那么AB2AC2612(cm)答案：3127關(guān)于延伸線的認(rèn)識(shí)延伸線是重要的，也是應(yīng)用很多的幾何術(shù)語(yǔ)，是初學(xué)者最易錯(cuò)，最不好理解的地方，下面介紹幾種關(guān)于延伸線的術(shù)語(yǔ)：如圖(1)延伸線段AB，就是由A往B的方向延伸，并且延伸線一般在作圖中都用虛線表示；如圖(2)叫做反向延伸線段AB，就是由B向A的方向延伸；如圖(3)延伸AB到C，就是到C不再延伸；如圖(4)延伸AB到C，使ABBC；如圖(5)點(diǎn)C在AB的延伸線上等幾種常有的錯(cuò)誤，延伸射線AB或延伸直線AB，都是錯(cuò)誤的

9、，圖(6)中只能反向延伸射線AB.【例71】若AC1AB，那么點(diǎn)C與AB的地址關(guān)系為()2A點(diǎn)C在AB上B點(diǎn)C在AB外C點(diǎn)C在AB延伸線上D無(wú)法確定答案：D【例72】畫線段AB5cm，延伸AB至C，使AC2AB，反向延伸AB至E，使AE1CE，再計(jì)算：3(1)線段AC的長(zhǎng)；(2)線段AE，BE的長(zhǎng)解析：按要求畫圖由畫圖過(guò)程可知：AC2AB，且C在AB的延伸線上，所以ABBC1AC，E在ABAE1CE，所以ABBCAE5cm.2的反向延伸線上，且3解：如圖：(1)由于AC2AB，所以BCAB5cm，所以ACABBC5510(cm)1(2)由于AE3CE，所以AEABBC5cm，8.線段的計(jì)數(shù)公式

10、及應(yīng)用一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，怎樣不重復(fù)不遺漏地?cái)?shù)出該直線上分布著多少條線段呢？以以下列圖為例：為防備重復(fù)，我們一般能夠按以下方法來(lái)數(shù)線段的條數(shù)：即AAB，AC，AD，BBC，BD，CCD，線段總數(shù)為3216，若是更多的點(diǎn)，由以A為極點(diǎn)的線段的條數(shù)能夠看出，每個(gè)點(diǎn)除了自己以外，和其他任何一個(gè)點(diǎn)都能組成一條線段，所以當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，以A為極點(diǎn)的線段就有(n1)條，同樣以B為極點(diǎn)的線段也有(n1)條，所以n個(gè)極點(diǎn)共有n(n1)條線段；但由A到B獲取的線段AB和由B到A獲取的線段BA是同一條，而每條線段的數(shù)法都是這樣，這樣關(guān)于每一條線段都數(shù)了2次，所以除以2就是所得線段的實(shí)質(zhì)條數(shù)，即當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)

11、，線段的總條數(shù)就等于12n(n1)【例81】從秦皇島開往A市的特快列車，途中要停靠?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)，若是任意兩站之間的票價(jià)都不同樣，那么有多少種不一樣的票價(jià)？有多少種車票？解析：這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于一條直線上有4個(gè)點(diǎn)，求這條直線上有多少條線段由于任意兩站之間的票價(jià)都不同樣，所以有多少條線段就有多少種票價(jià)，依照公式我們很快能夠得出有6種不一樣的票價(jià)，由于任意兩站往返的車票不同樣，所以，從秦皇島到達(dá)目的地有12種車票解：當(dāng)n4時(shí)，有n(n1)4(41)6(種)不一樣的票價(jià)22車票有6212(種)答：有6種不一樣的票價(jià)，有12種車票【例82】在1,2,3，100這100個(gè)不一樣的自然數(shù)中任選兩個(gè)求和，則不一樣的結(jié)

12、果有多少種？解析：本題初看憂如和線段條數(shù)的計(jì)數(shù)規(guī)律沒(méi)關(guān)，但事實(shí)上，若把每個(gè)數(shù)都看作直線上的點(diǎn)，而把這兩個(gè)數(shù)求和獲取的結(jié)果看作是1條線段，則其中的道理就和直線上線段的計(jì)數(shù)規(guī)律是完好一致的，所以解法同樣，直接代入公式計(jì)算即可求出結(jié)果解：不一樣的結(jié)果共有：1n(n1)1100(1001)4950(種)22答：共有4950種不一樣的結(jié)果9.與線段有關(guān)的計(jì)算和線段有關(guān)的計(jì)算主要分為以下三種狀況：(1)線段的和差及有關(guān)計(jì)算，一般比較簡(jiǎn)單，依照線段間的和差由已知線段求未知線段有關(guān)線段中點(diǎn)和幾均分點(diǎn)的計(jì)算，是本節(jié)的重點(diǎn)，其中以中點(diǎn)運(yùn)用最多，這也是用數(shù)學(xué)推理的方式進(jìn)行運(yùn)算的開始綜合性的運(yùn)算，既有線段的和差，也有

13、線段的中點(diǎn)，綜合運(yùn)用和差倍分關(guān)系求未知線段解技巧線段的計(jì)算有關(guān)線段的計(jì)算都是由已知，經(jīng)過(guò)和差或中點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)變，求未知的過(guò)程，所以要結(jié)合圖形，解析各段關(guān)系，找出它們的聯(lián)系，經(jīng)過(guò)加減倍分的運(yùn)算解決【例91】如圖，線段AB8cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在CB上且DB1.5cm，求線段CD的長(zhǎng)度解析：依照中點(diǎn)關(guān)系求出CB，再依照CDCBDB求出CD.11，CDCBDB41.52.5(cm)解：CBAB84(cm)22答：線段CD的長(zhǎng)度為2.5cm.【例92】以下列圖，線段AB4，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，求線段CD的長(zhǎng)解：由于C，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，1111142

14、.所以O(shè)COA，OD2OB，所以CD(OAOB)AB2222答：線段CD的長(zhǎng)為2.10直線訂交時(shí)的交點(diǎn)數(shù)兩條直線訂交有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線兩兩訂交最多有3個(gè)交點(diǎn)，那么n條直線兩兩訂交最多有多少個(gè)交點(diǎn)？下面以5條直線兩兩訂交最多有多少個(gè)交點(diǎn)為例研究：如圖，當(dāng)有5條直線時(shí)，每條直線上有4個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)有(51)5個(gè)交點(diǎn)，但圖中交點(diǎn)A，既在直線e上也在直線a上，所以多算了一次，其他交點(diǎn)也是這樣，所以實(shí)質(zhì)交點(diǎn)數(shù)是(51)5210個(gè)，同樣的道理，當(dāng)有n條直線時(shí)，在沒(méi)有共同交點(diǎn)的狀況下，每條直線上有(n1)個(gè)交點(diǎn)，共有n條直線，交點(diǎn)總數(shù)就是n(n1)個(gè)，但由于每一個(gè)點(diǎn)都數(shù)了兩次，所以交點(diǎn)總數(shù)是12n(n1)個(gè)

15、【例101】三條直線a，b，c兩兩訂交，有_個(gè)交點(diǎn)()A1B2C3D1或3解析：三條直線a，b，c兩兩訂交的狀況有兩種，如圖答案：D【例102】同一平面內(nèi)的12條直線兩兩訂交，(1)最多能夠有多少個(gè)交點(diǎn)？(2)可否存在最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10的狀況？解析：(1)將n12代入1n(n1)中求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10，也就是1n(n1)2210，即n(n1)20，沒(méi)有兩個(gè)相鄰整數(shù)的積是20，所以不存在最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)是10的情況解：(1)12條直線兩兩訂交，最多能夠有：1n(n1)112(121)66(個(gè))交點(diǎn)22(2)不存在最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10的狀況11.最短路線選擇“兩點(diǎn)之間，線段最短”是線段的一條

16、重要性質(zhì)，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)，能夠解決一些最短路線選擇問(wèn)題這類問(wèn)題一般分兩類：一類是選擇路線，選擇從A到B的最短路線，連接AB所獲取的線段就是；另一類是選擇一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到A，B的距離之和最小，依照“兩點(diǎn)之間，線段最短”這條線段上的任一點(diǎn)到A到B的距離之和都等于這條線段的長(zhǎng)度，所以這條線段上的任一點(diǎn)都吻合要求但這類問(wèn)題經(jīng)常還有附加條件，如：這點(diǎn)還要在某條公路上，某條河上等，所以要滿足所有條件解技巧求最短路線關(guān)于第一類問(wèn)題，只要將A，B放到同一個(gè)平面上，連接AB即可獲取所需線路關(guān)于第二類問(wèn)題，連接AB，它們的交點(diǎn)一般就是所求的點(diǎn)【例11】如圖(1)，一只壁虎要從圓柱體A點(diǎn)沿著表面盡可能快的爬到B點(diǎn)，由于B點(diǎn)處有它要吃的一只蚊子，