四年級奧數(shù)排列組合

1、=WORD完滿版-可編寫-專業(yè)資料分享=排列組合排列組合問題是必考題，它聯(lián)系實質(zhì)生動幽默，但題型多樣，思路靈便，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，鑒別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效路子；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，看作一個大元素參加排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，若是A,B必定相鄰且B在A的右邊，那么不相同的排法種數(shù)有A、60種B、48種C、36種D、24種解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4424種，答案：D.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把

2、無地址要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，若是甲乙兩個必定不相鄰，那么不相同的排法種數(shù)是A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A55種，再用甲乙去插6個空位有A62種，不相同的排法種數(shù)是A55A623600種，選B.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必定保持必然的序次，可用減小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，若是B必定站在A的右邊（A,B能夠不相鄰）那么不相同的排法種數(shù)是A、24種B、60種C、90種D、120種解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相

3、同，因此題設(shè)的排法可是5個元素全排列數(shù)的一半，即15種，選B.2A560標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定地址上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，這樣連續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A、6種B、9種C、11種D、23種解析：先把1填入方格中，吻合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其余三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有331=9種填法，選B.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用漸漸下量分組法.例5.（1

4、）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人擔(dān)當(dāng)，乙丙各需一人擔(dān)當(dāng)，從10人中選出4人擔(dān)當(dāng)這三項任務(wù)，不相同的選法種數(shù)是A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解析：先從10人中選出2人擔(dān)當(dāng)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人擔(dān)當(dāng)乙項任務(wù)，第三步從其余的7人中選1人擔(dān)當(dāng)丙項任務(wù)，不相同的選法共有C102C81C712520種，選C.-完滿版學(xué)習(xí)資料分享-=WORD完滿版-可編寫-專業(yè)資料分享=（2）12名同學(xué)分別到三個不相同的路口進(jìn)行流量的檢查，若每個路口4人，則不相同的分配方案有A、C124C84C44種B、3C124C84C44種C、C124C84A33種D、C124C84C44種A33答案：

5、A.全員分配問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校最少去一名，則不相同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有C42種方法，再把三組學(xué)生分派到三所學(xué)校有A33種，故共有C42A3336種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配常常用先分組再分配.（2）5本不相同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生最少一本，不相同的分法種數(shù)為A、480種B、240種C、120種D、96種答案：B.名額分配問題隔板法:例7.10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級最少一個名額，有多少種不相同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看作10個相同的小球分成7

6、堆，每堆最少一個，能夠在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不相同的分配方案為C9684種.限制條件的分配問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不相同派遺方案？解析：因為甲乙有限制條件，因此依照可否含有甲乙來分類，有以下四種狀況：若甲乙都不參加，則有派遺方案A84種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，爾后安排其余學(xué)生有A83方法，因此共有3A83；若乙參加而甲不參加同理也有3A83種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，爾后再安排其余8人到其余兩個

7、城市有A82種，共有7A82方法.因此共有不相同的派遺方法總數(shù)為A843A833A837A824088種.多元問題分類法：元素多，取出的狀況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計.例9.（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A、210種B、300種C、464種D、600種解析：按題意，個位數(shù)字只可能是0、1、2、3和4共5種狀況，分別有A55、A41A13A33、A31A13A33、-完滿版學(xué)習(xí)資料分享-=WORD完滿版-可編寫-專業(yè)資料分享=A21A31A33和A31A33個，合并總計300個,選B.（2）從1，2，3，

8、100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計序次）共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中最少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的會集視為全集I,能被7整除的數(shù)的會集記做A7,14,21,98共有14個元素,不能夠被7整除的數(shù)組成的會集記做IA1,2,3,4,100共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有C142，從A中任取一個，又從IA中任取一個共有C141C861，兩種狀況共吻合要求的取法有C142C141C8611295種.（3）從1，2，3，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計序次）有多少種？解析

9、：將I1,2,3,100分成四個不訂交的子集，能被4整除的數(shù)集A4,8,12,100；能被4除余1的數(shù)集B1,5,9,97，能被4除余2的數(shù)集C2,6,98，能被4除余3的數(shù)集D3,7,11,99，易見這四個會集中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)吻合要；從B,D中各取一個數(shù)也吻合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；其余其余取法都不吻合要求；因此吻合要求的取法共有C252C251C251C252種.交織問題會集法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用會集中求元素個數(shù)公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例10.從6名運動員中選出4人參加4100米接力賽，若是甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共

10、有多少種不相同的參賽方案？解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，依照求會集元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I)n(A)n(B)n(AB)A64A53A53A42252種.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定地址，可先排這個或幾個元素；再排其余的元素。例11.1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相紀(jì)念，若老師不站兩端則有不相同的排法有多少種？解析：老師在中間三個地址上選一個有A31種，4名同學(xué)在其余4個地址上有A44種方法；因此共有A31A4472種.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可概括為一排考慮，再分段辦理.例12.（1）6個不相同的元素排

11、成前后兩排，每排3個元素，那么不相同的排法種數(shù)是A、36種B、120種C、720種D、1440種-完滿版學(xué)習(xí)資料分享-=WORD完滿版-可編寫-專業(yè)資料分享=解析：前后兩排可看作一排的兩段，因此本題可看作6個不相同的元素排成一排，共A66720種，選C.（2）8個不相同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某個元素排在后排，有多少種不相同排法？解析：看作一排，某2個元素在前半段四個地址中選排2個，有A42種，某1個元素排在后半段的四個地址中選一個有A41種，其余5個元素任排5個地址上有A55種，故共有A41A42A555760種排法.“最少”“至多”問題用間接消除法或分類

12、法:抽取兩類混雜元素不能夠分步抽.例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中最少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不相同的取法共有A、140種B、80種C、70種D、35種解析1：逆向思慮，最少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不相同的取法共有C93C43C5370種,選.C解析2：最少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺可分兩種狀況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不相同的取法有C52C41C51C4270臺,選C.選排問題先取后排:從幾類元素中取出吻合題意的幾個元素，再安排到必然的地址上，可用先取后排法.例14.（1）四個不相同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則

13、恰有一個空盒的放法有多少種？解析：“先取”四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C42種，“再排”在四個盒中每次排3個有A43種，故共有C42A43144種.（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混雜雙打訓(xùn)練，有多少種不相同的分組方法？解析：先取男女運動員各2名，有C52C42種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有A22中排法，故共有C52C42A22120種.部分合條件問題消除法:在采用的總數(shù)中，只有一部分合條件，能夠從總數(shù)中減去不吻合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的極點為極點的周圍體共有A、70種B、64種C、58種D、52種解析：正方體8個極點從中每次取四點，理論上

14、可組成C84周圍體，但6個表面和6個對角面的四個極點共面都不能夠組成周圍體，因此周圍體實質(zhì)共有C841258個.（2）周圍體的極點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不相同的取法共有A、150種B、147種C、144種D、141種-完滿版學(xué)習(xí)資料分享-=WORD完滿版-可編寫-專業(yè)資料分享=解析：10個點中任取4個點共有C104種，其中四點共面的有三種狀況：在周圍體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的狀況為C64，四個面共有4C64個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.因此四點不共面的狀況的種數(shù)是C1044C6436141種.圓排問題線排法:把n個不相

15、同元素放在圓周n個無編號地址上的排列，序次（比方按順時鐘）不相同的排法才算不相同的排列，而序次相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與一般排列的差異在于只計序次而首位、末位之分，以下n個一般排列：a1,a2,a3,an;a2,a3,a4,an,;an,a1,an1在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后能夠重合，故認(rèn)為相同，n個元素的圓排列數(shù)有n!種.因此可將某個元素固定展成線排，其n它的n1元素全排列.例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不相同站法？解析：第一可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A44種，爾后在讓插入此間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不相同的安

16、排方式2425768種不相同站法.1m說明：從n個不相同元素中取出m個元素作圓形排列共有An種不相同排法.m可重復(fù)的排列求冪法:贊同重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受地址的拘束，可逐一安排元素的地址，一般地n個不相同元素排在m個不相同地址的排列數(shù)有mn種方法.例17.把6名實習(xí)生分派到7個車間實習(xí)共有多少種不相同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分派到車間有7種不相同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分派到車間也有7種不相同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種不相同方案.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例18.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，

17、但不能夠關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能夠關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問題看作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C53種方法,因此滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，若是能轉(zhuǎn)變成熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題簡單解決.19.元素個數(shù)較少的排列組合問題能夠考慮列舉法:例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，而且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不相同的方法？解析：從5個球中取出2個與盒子對號有C52種，還剩下3個球與3個盒

18、子序號不能夠?qū)?完滿版學(xué)習(xí)資料分享-=WORD完滿版-可編寫-專業(yè)資料分享=應(yīng)，利用列舉法解析，若是剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能夠裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，因此剩下三球只有2種裝法，因此總合裝法數(shù)為2C5220種.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個不相同偶數(shù)整除？解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=23571113；依題意偶因數(shù)必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，全部的偶因數(shù)為C50C51C52C53C54C5532個.（2）正方體8個極點可連成多少隊異面直線？解析：因為周圍體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個極點可組成多少個不相同的周圍體，從正方體8個極點中任取四個極點組成的周圍體有C841258個，因此8個極點可連成的異面直線有358=174對.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)變法:對應(yīng)思想是教材中浸透的一種重要的解題方法，它能夠?qū)?fù)雜的問題轉(zhuǎn)變成簡單問題辦理.例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦訂交