全版微分方程課件

1、 第六章 微 分 方 程 6.1 微分方程的基本概念6.2 一階微分方程6.3 可降階的二階微分方程6.4 二階線性微分方程6.5 微分方程的應(yīng)用舉例.精品課件.16.1 微分方程的基本概念6.2 一階微分方程66.1 微分方程的基本概念定義例 偏微分方程 . 常微分方程.精品課件.26.1 微分方程的基本概念定義例 偏微分方程 . 常微分方程微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之為微分方程的階.一階微分方程:高階微分方程:注意:注意:.精品課件.3微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn) 線性與非線性微分方程：.精品課件.4 線性與非線性微分方程：.精品課件.4微分方程的解:

2、等式的函數(shù)稱之為微分方程的解. 代入微分方程能使方程成為恒 .精品課件.5微分方程的解: 等式的函數(shù)稱之為微分方程的解. 代入微微分方程的解的分類：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨立任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解: 不包含任何任意常數(shù)的解.精品課件.6微分方程的解的分類：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù)初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.通解的圖象: 微分方程的積分曲線族.解的圖象: 微分方程的積分曲線.精品課件.7初值問題: 求微分方程

3、滿足初始條件的解的問題.過定點的積分曲解.精品課件.8解.精品課件.8所求特解為.精品課件.9所求特解為.精品課件.9注意：.精品課件.10注意：.精品課件.10思考題解答中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.思考題.精品課件.11思考題解答中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.思考題.精品課6.2 一階微分方程.精品課件.126.2 一階微分方程.精品課件.12一. 可分離變量的微分方程則稱原微分方程為可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.精品課件.13一. 可分離變量的微分方程則稱原微分方程為可分離變量的微分方解法：稱為所給可分離變量微分方程的隱函數(shù)形式的通解.精品課件.14解法：稱為所

4、給可分離變量微分方程的隱函數(shù)形式的通解.精品課例1 求微分方程解分離變量兩端積分.精品課件.15例1 求微分方程解分離變量兩端積分.精品課件.15例2 解.精品課件.16例2 解.精品課件.16二. 齊 次 方 程定義的微分方程稱為齊次方程 .精品課件.17二. 齊 次 方 程定義的微分方程稱為齊次方程 .精品課件解法:令 ,代入原方程，得可分離變量的微分方程 .精品課件.18解法:令 ,代入原方程，得可分離例 3 求解微分方程微分方程的解為解.精品課件.19例 3 求解微分方程微分方程的解為解.精品課件.19例 4 求解微分方程解微分方程的解為.精品課件.20例 4 求解微分方程解微分方程的

5、解為.精品課件.20三. 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:(1) 稱為齊次方程 .(1) 稱為非齊次方程.例如線性的;非線性的.精品課件.21三. 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:(1) 稱1. 先求線性齊次方程 的通解：一階線性微分方程的解法齊次方程的通解為用分離變量法.精品課件.221. 先求線性齊次方程 2. 再求線性非齊次方程 的通解：討論非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比，不難看出：.精品課件.232. 再求線性非齊次方程 只要在齊次方程的通解 中，積分得.精品課件.24只要在齊次方程的通解 故一階線性非齊次微分方程的通解為:稱為常數(shù)變易法 . 把齊次方程通

6、解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解.精品課件.25故一階線性非齊次微分方程的通解為:稱為常數(shù)變易法 . 解例1.精品課件.26解例1.精品課件.26例2 如圖所示，平行于 軸的動直線被曲線 與 截下的線段 之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .解兩邊求導(dǎo)得.精品課件.27例2 如圖所示，平行于 軸的動直線被曲線 代入方程 ，得故 所求曲線為.精品課件.28代入方程 伯努里(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程.解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.四. 伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士）.精品課件

7、.29伯努里(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程代入上式, 得.精品課件.30代入上式, 得.精品課件.30解例 3.精品課件.31解例 3.精品課件.31例4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解代入原方程，得故 原方程的通解為.精品課件.32例4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解代入原方程，得解所求通解為.精品課件.33解所求通解為.精品課件.331、分離變量法步驟:1）分離變量;2）兩端積分-隱式通解.小 結(jié)2、齊次方程3.線性非齊次方程4.伯努里方程.精品課件.341、分離變量法步驟:1）分離變量;2）兩端積分-6.3 可降階的二階微分方程.精品課件.356.3 可降

8、階的二階微分方程.精品課件.35解.精品課件.36解.精品課件.36.精品課件.37.精品課件.37解.精品課件.38解.精品課件.38.精品課件.39.精品課件.39例 3解1.精品課件.40例 3解1.精品課件.40解2.精品課件.41解2.精品課件.41例 4解1解2故通解為.精品課件.42例 4解1解2故通解為.精品課件.42解3兩邊積分,得故通解為.精品課件.43解3兩邊積分,得故通解為.精品課件.436.4 二階線性微分方程二階線性微分方程的一般形式方程為齊次方程；方程為非齊次方程 .n 階線性微分方程.精品課件.446.4 二階線性微分方程二階線性微分方程的一般形式方程為齊次一.

9、 二階線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)問題:1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):定理1（齊次方程解的疊加原理）.精品課件.45一. 二階線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)問題:1.二階齊次證代入方程（1）的左端，得證畢.精品課件.46證代入方程（1）的左端，得證畢.精品課件.46定義例如線性無關(guān).線性相關(guān),.精品課件.47定義例如線性無關(guān).線性相關(guān),.精品課件.47定理2證明略推論例如：線性無關(guān)，線性無關(guān)，線性無關(guān) .精品課件.48定理2證明略推論例如：線性無關(guān)，線性無關(guān)，線性無關(guān) .精品定理3（齊次線性方程通解結(jié)構(gòu)）證.精品課件.49定理3（齊次線性方程通解結(jié)構(gòu)）證.精品課件.492.二階非齊次線性方程

10、的解的結(jié)構(gòu):定理4（非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)）證.精品課件.502.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):定理4（非齊次線性方程通解.精品課件.51.精品課件.51定理5（非齊次方程解的疊加原理）證明略.精品課件.52定理5（非齊次方程解的疊加原理）證明略.精品課件.52二. 二階常系數(shù)線性齊次方程的解法二階常系數(shù)線性齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.精品課件.53二. 二階常系數(shù)線性齊次方程的解法二階常系數(shù)線性齊次方程的標(biāo) 特征根法.精品課件.54 特征根法.精品課件.541* 特征方程有兩個不相等的實根.精品課件.551* 特征方程有兩個不相等的實根.精品課件.552* 特征方程有兩個相等的實根此時，只得到方程

11、 (1) 的一個特解=0=0.精品課件.562* 特征方程有兩個相等的實根此時，只得到方程 (1) 的一3* 特征方程有一對共軛復(fù)根.精品課件.573* 特征方程有一對共軛復(fù)根.精品課件.57.精品課件.58.精品課件.58.精品課件.59.精品課件.59解特征方程為解得特征根故所求通解為例1解特征方程為解得特征根故所求通解為例2.精品課件.60解特征方程為解得特征根故所求通解為例1解特征方程為解得特征根解.精品課件.61解.精品課件.61二階常系數(shù)線性非齊次方程對應(yīng)齊次方程非齊次方程通解結(jié)構(gòu)關(guān)鍵：方法：待定系數(shù)法.三. 二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法.精品課件.62二階常系數(shù)線性非齊次方程對

12、應(yīng)齊次方程非齊次方程通解結(jié)構(gòu)關(guān)鍵：代入原方程得.精品課件.63代入原方程得.精品課件.63綜上所述.精品課件.64綜上所述.精品課件.64解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程, 得故 原方程通解為例1.精品課件.65解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程, 得故 原方程作輔助方程.精品課件.66作輔助方程.精品課件.66.精品課件.67.精品課件.67注意：.精品課件.68注意：.精品課件.68解作輔助方程代入（*），得例2對應(yīng)齊次方程的通解（取虛部）原方程的特解為原方程通解為.精品課件.69解作輔助方程代入（*），得例2對應(yīng)齊次方程的通解（取虛部）原例3解1對應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程代入輔助方程，得.精品課件.70例3解1對應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程代入輔助方程，得.精品課原方程的特解為原方程通解為（取實部）.精品課件.71原方程的特解為原方程通解為（取實部）.精品課件.71解2對應(yīng)齊次方程的通解代入原方程，得原方程的通解為.精品課件.72解2對應(yīng)齊次方程的通解代入原方程，得原方程的通解為.精品課件6.