最優(yōu)控制習(xí)題參考解答

1、2.6習(xí)題2.2解:QrnSJ-+a必二J；+(x+aS)?+f(x+a必)a=odta=odt=2(x4-a3x)8x+t8xa=odt二J；(2x+f)5xdf己知=0.1Z,當(dāng)必二0.,8J=QAt(2t2+tyit=當(dāng)8x=0.2t,5/二J；0.2f(2尸+謝二右2.4解：=(flL=(flL(JfOx,x,t)dt歐拉方程寧一籍“橫截條件：x(Zo)=xo5x(r/.)=x/d(Xdt1J1+乂273二OtXJl+嚴(yán)-CX二土VT7令-a訃1兀(0)二0Tb二訃1設(shè)X二m+m11TX(f)=xi)二1TQ二1x2dt=y/2,最短曲線為x*(r)=r2.5解：L=2x+丄尹，0()

2、二4,”1)=4,兀(。)=42/歐拉方程丄3冬=0&dt飯0(橫截條件：x(fo)=xo,x(fJ=0(f/),L+0必*n帀=2Tf二2f+qTx*(f)二尸+cj+c?，x(r)=2t+q乂由橫截條件得：x2()=16tF()=4x(l)=1+q+(?2二4tf=5r=V兀()二；+C/+C?二4Tq=6tx(tf)=ar*(r)=ax+bUtf)=aJ=Q=ax(0)=00-b/n/二J；(l+二1,極值軌線為(O=o第三章作業(yè)題1、解：由題意知末端狀態(tài)乳2)=x=x+u=t/=a?-x將其帶入J得丿=(.+x2-2xx+x2L=l+x2-2xx+x2因?yàn)橐驗(yàn)閤(0)=3,x(2)=0

3、因?yàn)橐驗(yàn)閤(0)=3,x(2)=0歐拉方程dLddL八dxdtdx因?yàn)橐驗(yàn)閤(0)=3,x(2)=0因?yàn)橐驗(yàn)閤(0)=3,x(2)=0 x-x=0因?yàn)橐驗(yàn)閤(0)=3,x(2)=0因?yàn)橐驗(yàn)閤(0)=3,x(2)=0從而得到(/x=cLe+c2e=一幾=一幾=一幾=一幾=一幾=一幾i-el-e/-6=W)=el-e再由無約束泛函極小值的充分條件d2Ldd2d2Ldd2Ldx2dtdxdx=20Fl=20=一幾=一幾=一幾=一幾故所求得()可使性能泛函取極小值2、解:丿=*1Ox2+*(2x2、解:=(px(tf)=5x2(l),.1.L=+tr2構(gòu)造函數(shù)H：H=L+*/212212XHU+人2.

4、1.x+u2_21213?X+UAA+久1(22正則方程:oH1i=x+udA2=一幾=一幾=一幾=一幾=一幾=一幾控制方程:duW+Z=0u=兄由：1X=X+U212=_2_2x29=A=A43_3二Q(f)=c&2+c2e211/2x(t)=-cle2+c2e22”(f)=_c哥-c2e2橫截條件：3骯幾(f/)=10X(/y)邊界條件：雙)=219c.+c=22cy+c2e=q-c2e+c2e1方一924H+185=12，-9=u12/-912/93=u12/-912/93、解：由題意知L=-u22構(gòu)造H：H=L+277=W+A,6)+2rIt2正則方程:A(0=-=0=21(Z)=c1

5、CC7dH入(f)=-=-A=入(/)=-c.t+Crdco控制方程：&H2n=H+入=0du狀態(tài)方程:&(/)=刃)如)=w(0=0(t)=-|c2/2+c3t+c4z1.負(fù)/)=產(chǎn)廣-0丿+c3A,.,(1)=e=0=q=c,橫截條件：加邊界條件：()=就)=h&(1)=1則4=10=111_n才廠產(chǎn)+幺+=0=c4=1礦(/)=r3-3r2+t+c4以(/)=3尸一6/+1/(/)=6f64、解：由題意知:/)，/=k-才+x2一2f厶弓訕0卜匕)=“(2)+5兀-15構(gòu)造函數(shù)H：H=L+AIfu+兄X、+A,-,(X-,u)伴隨方程:.dHA(0=-=0=A(0=cox&H入(f)=_

6、人+/U=入(/)=+Cdx.控制方程:dH控制方程:dHdu=u-A2=0=u(t)=c2e!+q狀態(tài)方程:x2=-x2一u)=+c4e,-ex2(t)=-c4ee，初始狀態(tài)：兀(0)=疋()=7-訂由目標(biāo)集：兀+5兀(2)=152c2c3-8cr7-lc2e2=30橫截條件：tj=2A(2)-JI+/-i(2)5+y-O去(2)去(2)人一耳什+/一耳2+5卩-c尹dx2(2)dx2(2)=-&+Lc”-5c+23=02則由：5=52c3-8c4e_2-7cc.=7-2023丁+6,則得到/(/)=90,+92/(/)=90,+9220-23+6，3-5已知受控系統(tǒng)x(t)=u(t),x(

7、0)=1,試求”(/)和廠使系統(tǒng)在匚時(shí)刻轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)x(tf)=0,且使J=t2f+u2t)dt為最小。解：由題意得：H=u2+AudH而A(t)=0二/(/)=adxTOC o 1-5 h zdH,1a=2“+2=0=u(/)=/)=dx22再由條件i(O=u(t)=J,t/r=-adt=x(t)=1一*m12由x(tf)=0=f/=H(/)=_糾=一2/nu，()+兄(匚)u(tf)=-2tfna=/16所以，心）一乎爲(wèi)3-6已知線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程=+其中給定Z(O)=(L1),給定Z(O)=(L1),不(2)=0,求叩),使泛函丿=*最小。解：H=-(Mf+2)+x2解：H=-(Mf+

8、2)+x24-如S+心2入=_亦=0=人=4八-竺產(chǎn)-心入=s+bdx.duYoH仁=u2+22=0=w2=一人=at-b系統(tǒng)狀態(tài)方程:xt)=x2(t)+ul(t),x2(t)=u2(t)a.b/.=xA=tr+(c-a)t+d62ci-jm=廣一如+c2代入初始條件得：c=d=lx/2)=0二2a+6b=9入(2)=0n-2d+Z?=0八冬p110、Si(1),B=9X=,u=Aysin8=Aycos0=人sin0=cos0兩邊同時(shí)對(duì)r求導(dǎo)可得:入sin0+人cos0-0=A2cos0-A2sin00=0(人cos0+血sin0)=Xcos0-siii0TOC o 1-5 h zdvdVc

9、(人cos0+A.sin0)cos0+(久icos&+入sin0)sin0dydxdVdV=0=sin。-cos0得證dx勿41解：本題為末端時(shí)刻固定，末端狀態(tài)自由，控制受約束的最優(yōu)化問題。L=(w-l)x,H=(u-l)x+AUX=-X+(Zx+x)udH/=Au(ii1)(1)dxfOAx+x0w=1Ax+x0j/0、.x=ux0,x0,fO2-l/.u=12-1若=1,由得,2=加，又；l(T)=0,/.2=0-1只能取0u=0,x=XqJ=x0T4-4解：本題為末端固定，控制有約束的最優(yōu)化問題。TOC o 1-5 h zL=xk+u；H=X+w;+/;+人+22(召+)=(1+人)為+

10、w;+2/1+u;+心三入=_=0=入=c.dx2dH“久=(1+入)A.=(1+)/+C-y%2c2c3-8cr7-lc2e2=302c2c3-8cr7-lc2e2=30/JvnoA+1-21-2兀=-(l+cjr-c2t+c3TOC o 1-5 h z113x1(0)=0.x1(l)=l=c3=0,-=-4241.111-(l+cjt-“11,1_(1+G)廣cJ+_c1412-4121Z111(1+cjr_產(chǎn)-c/+c4X-y=c4=0151Cx2(l)=l=1212x2(l)=l=人伙+1)=入(k)削伙)入(k)=伙)+幾伙+1)+入伙+1)=久伙+1)=入伙)一久(k)一伙)dx2(k)6H=2u伙)+人伙)=0=伙)=一0.5人伙)du(k)21(3)=oa2(3)=/X伙+1)=x2伙),x2伙+1)=一人伙)+x2伙)+u(k)兀(0)=1=兀(1)=1解得：/(0)=05,u(1)=0.5昇(2)=0.54-7解：本題為末端時(shí)刻固定，末端狀態(tài)自由，控制受約束的最優(yōu)化問題。厶=伙)+伙幾4H=-x伙)+伙)+久伙+1)13x(k)-0.3伙)=0.25+1.3久伙+l)x(k)+0.2