最小二乘法擬合原理及代碼的實(shí)現(xiàn)

1、最小二乘法擬合原理及代碼實(shí)現(xiàn)最小二乘法定義已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi)(i=0,1,2，.m),且觀測數(shù)據(jù)有誤差求自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系y=F(x),不要求y二F(x)經(jīng)過所有點(diǎn)，而只要求在給定點(diǎn)的誤差Si=F(xi)-yi(i=0,l,2/.zm)按某種標(biāo)準(zhǔn)最小。度量的標(biāo)準(zhǔn)不同，將導(dǎo)致不同的結(jié)果，常用的準(zhǔn)則有如下三種：殘差的最大絕對值為最小maxI1=maxIy廠尸(兀)1=nun殘差的絕對值之和最小TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4mm0卜必-尸(兀)|=】山1f=o/=0殘差的平方和最小 HYPERLINK l bookmark8mmf=Or=O

2、其中C被稱為最小二乘法原則。具體定義:已知一組數(shù)據(jù)(xGYi)(i=0,12,m),在函數(shù)類(p=spanl,x,.,xn中找到一個(gè)函數(shù)y=Sx),是誤差平方和最小，即: HYPERLINK l bookmark18mmm晴=QU)-yf=想豊Qw-z)21=0/=OZvf=o這里：S(x)=aQ+atx+anxn(nvm)求最小二乘解y=Sx)的方法現(xiàn)要求一S”(x)=f絞*使得：k=0mmn1=E二W一X2=EGa用-xl2=皿/=01=0k=0ntit顯然/=工工色h-）汀為他皿,.耳）的多元函數(shù)，因此上述問題/=0k=0即為求/=/（，.衛(wèi)”）的極值問題。多元函數(shù)的求極值的必要條件：設(shè)

3、函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（xo,y。）有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零。dididcijVIII(j=0,1,2,.,11)=(-開)斤(j=0,1,2,.,11)r=0Jt=onntm即：（護(hù)）色（j=0,l,2,.,n）Jt=0/=O/=0上式是關(guān)于包刈,.）的線性方程組，用矩陣表示為:mmmm+1DEx-i=0z=oi=0a0mmmm弟o;E+1心0z=0/=0i=0ammm_n_m工礦1姑_/=0/=0/=0_-/=o_可以證明，方程組的系數(shù)矩陣式個(gè)對稱正定矩陣，故存在唯解。m/=0mD/=0mf=ontm/=0mD/=0mf=ontf=omE+1/=

4、0m/=0mEXlXA=XlY=EA=XlY=A=XlY?？梢运愠?。,/”）。其中X-是X的逆矩陣，E是單位矩陣。還可以用消元法算出他，4,工%-仏+4兀）丁/=0應(yīng)有工久-（4+4X/）=-2S（X-o-）=/=01=0QmmT-E!/-Wo+4兀）丁=-2工（X-4-g）=0W=o1=0整理得mapFoldList,refdoublefk,refdoublefb)fmX0.0;fmY0.0;fmXX0.0;fmXY0.0;fn0.0;doubledoubledoubledoubledoubleif(0二二mapFoldList.Count):returnfalse;long1Count二m

5、apFoldListCount;if(ICount2):returnfalse;fn=ICount;foreach(sAD_PWRiterinmapFoldList)fmX+=iter.fAD;fmY+二iter.fPWR;fmXX+二iter.fAD*iter.fAD;fmXY+二iter.fAD*iter.fPWR;if(Math.Abs(fmX*fmX-fmXX*fn)0.000001)returnfalse;fk二(fmY*fmX-fmXY*fn)/(fmX*fmX-fmXX*fn);fb=(fmY-fmX*fk)/fn;returntrue;曲線擬合（三階及以上lllj線）代碼實(shí)現(xiàn)根

6、據(jù)曲=丫得出，我們需要算出矩陣X和矩陣丫，再對X進(jìn)行矩陣變換，得到消元后的矩陣，算出5%心。代碼的實(shí)現(xiàn):/Function:fnCurveSimulate(doublen,doubleT,intM,intN,intxi)/Parain:n/T/M/N/xi/ParaOut:無H變量數(shù)據(jù)數(shù)組因變量數(shù)據(jù)數(shù)組擬合公式的最高階數(shù)數(shù)據(jù)組數(shù)所返回系數(shù)值的對應(yīng)參數(shù)/Return:double/Description:用于最小二乘法曲線擬合/publicstaticdoublefnCurveSimulate(doublen,doubleT，intM,intN,intxi)double,b二newdouble1

7、0,20;double,A二newdouble10,10;doubleB二newdouble10;doublex二newdouble10;doubley二newdouble10;doublet=0.0;inti=o；intj=o；intk=o；int1=o；算出X矩陣for(i=0;iM；i+)for(j=0;jN;j+)t=l;for(l=0;li;1+)t=t*nj;bi,jl=t;for(i=0;iM;i+)for(k=0;kM;k+)t二0;for(j=0;jN;j+)t+=bi,j*bk,j;Ai,k=t;算出Y矩陣for(i=0;iM;i+)t二0;for(j=0;jN;j+)t+=Tj*bi,j;開始進(jìn)行消元運(yùn)算for(i=l;iM;i+)Ai,O=Ai,O/AO,0;for(i=l;iM;i+)for(j=i;jM;j+)t二0;for(20;ki;k+)t+=Ak,j*Ai,kJ;Ai,j=Ai,j-t;if(j+l!=M)t二0;for(k=0:ki:k+)t+=Ak,i*Aj+l,k;