二次根式的運(yùn)算知識(shí)講解

1、二次根式的運(yùn)算（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類(lèi)二次根式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根 式加減運(yùn)算；2、掌握二次根式的乘除法法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘 除運(yùn)算；3、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式的加減二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次 根式，再把其中的同類(lèi)二次根式進(jìn)行合并對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式，仍要寫(xiě)到 結(jié)果中.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添 括號(hào)法則仍然適用.（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：1）將每個(gè)二次根式都

2、化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；2）判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)的二次根式結(jié)合為一組； 要點(diǎn)二、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根1.乘法法則： 忌 巫=屎 （a三0，b三0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變， 只把被開(kāi)方數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）.在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非 負(fù)數(shù)；（在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)）.（2）.該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：込=陸込込.鳥(niǎo)1 M 0, 0?0? 0)-.二空-七.s -（陽(yáng)三0,耳2 三。，.門(mén)衛(wèi)三0）.（3）.若二次根式相乘的結(jié)果能寫(xiě)成金$的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如716 = 4.積的

3、算術(shù)平方根：低 =（ a三0, b三0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方 根的積.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都 必須滿(mǎn)足a三0, b三0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿(mǎn)足這個(gè)條件，等式右邊就沒(méi)有意義，等式也就不能成立了； （2）二次根式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)，把含有& 形式的a移到根號(hào)外面.要點(diǎn)三、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根除法法則： 書(shū)( a三，b 0)，即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被 開(kāi)方數(shù)相除.。要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谶M(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別 注意，a三0, b0,因

4、為b在分母上，故b不能為0.運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡 量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：(a三0, (a三0, b 0)，即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼\(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問(wèn)題要點(diǎn)四、二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)憾胃降幕旌线\(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算 加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用;二次根式混合運(yùn)算

5、的結(jié)果要寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.【典型例題】類(lèi)型一、二次根式的加減法【高清課堂：高清ID號(hào)：388064關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)(播放點(diǎn)名稱(chēng))：經(jīng)典例題2. (1) - (2)】1計(jì)算:忑+3占-53 - 3臨1【答案與解析】“2 + 3 ：1 了 -32訂+2朽-3朽-3朽【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡(jiǎn)，再合并.舉一反三【變式】計(jì)算蟲(chóng)【答案】Q舉一反三【變式】計(jì)算蟲(chóng)【答案】Q類(lèi)型二、二次根式的乘除【高清課堂：高清ID號(hào)：381280關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：經(jīng)典例題9】2誕2誕X （-書(shū)捱（2）. （、：a3） - （：a）4 十（一、.：2a）2【答案與解析】71（1）原式=彳近x71（

6、1）原式=彳近x （- 8二 3 x (-1) x 2：7 112X X2711(2)原式= a3 a 一 2a2 = a4 一 2a2 = a2 一 2a2【總結(jié)升華】根據(jù)二次根式的乘除法則靈活運(yùn)算，注意最終結(jié)果要化簡(jiǎn).舉一反三：【高清課堂：高清ID號(hào)： 381280關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：經(jīng)典例題9】【變式】:x 24 a b3【變式】:x 24 a b3a + 3b5 b(m0, n0)；(2). -3(a0).3m - 2(2). -3(a0).3m - 2【答案與解析】2朋(1)原式=- 冷 -2朋(1)原式=- 冷 -=-屁【變式】已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）心一 6=-屁

7、【變式】已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）心一 6的值.r-1【答案】由題意得9-0z-60,即(2)原式=-23（陀+挖）（喘一起j匯說(shuō) x (2)原式=-22a2喘 +挖m-n【總結(jié)升華】熟練乘除運(yùn)算，更要加強(qiáng)運(yùn)算準(zhǔn)確的訓(xùn)練.舉一反三.6VxW9,.x 為偶數(shù)，.x=8.原式=(l+x)1)=x .原式=(l+x)1)=x 4 4 j(1+x)=(1+x)=(1+忑)(一4)A+1當(dāng)x=8時(shí)，原式的值二=6.類(lèi)型三、二次根式的混合運(yùn)算（撫順縣期末）計(jì)算：阪 1弓+.苧衛(wèi)-T可.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)后合并即可.【答案與解析】T壺一込+.專(zhuān)乂衛(wèi)- /24=i 42 3

8、+.專(zhuān) x 2 - 2, / &=4+匚& - 21 &=4 - I &【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行 二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類(lèi)二次根式.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題 目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.舉一反三【高清課堂：高清ID號(hào)：388064關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：二次根式的混合運(yùn)算】【變式】3 c5 + 屮7）（.：3 + v5 一茁）【答案】原式二卜3 -（的-占）卜3+（打-環(huán)=3 -（0,二 aVO, bVO原式=（一字）+ （上baVab士）ab ，a+b= - 7, ab=4,原

9、式故選：A.【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化是解題的關(guān)鍵.化簡(jiǎn)：C+巨品3+【答案與解析】lx G/3-冋原式二lx （近-1） lx （羽-72）1x378lx G/3-冋原式二（1+、：2）（、：2 1）（蓄2 + *3）（i：3 -冷2）（、.：8+*9）（,9-18）二巨-1 +爲(wèi)-邁+. + 3 -國(guó)二厲-1=2【總結(jié)升華】運(yùn)用分母有理化運(yùn)算，找出規(guī)律，是這一類(lèi)型題的特點(diǎn)舉一反三【變式】（蓬溪縣校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)求值：已知：a是41虧的小數(shù)部分，求代數(shù)式的值.1 - 2廿呂打-曲+1 a- 1* a2 - a的值.【答案】解:丁壬巫,6V4 運(yùn)7, a=4 ： 3 _

10、 6, a - 1 0,.1 一 2且十爼？丄;1；一戈且+1 且一1a2 - a=a - 1+=a - 1 -=4 3 - 6 =4 3 - 6 -=4：3-7-二次根式的運(yùn)算（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題若x 0, b 0）等于（）.aabA.ab B.ab C.ab D . b、：ab TOC o 1-5 h z ab2ab2b 1弓+1（淄博）已知x=, y= ，則x2+xy+y2的值為（）A.2B.4C.5D.75若:a -b - 2 3 + (a + b - 22)2 = 0，那么二的值是()A. 1B.-1 C. 5-26D. 2 0) =.a xa設(shè) a = J7 +

11、J6, b = J7 - J6,則 a2010 - b2011 的值是.(吳江市模擬)設(shè)a=lT, b=2+l 3, c=:，則a、b、c從小到大的順序Vs -Vs是.三、綜合題13. (1)若y = 2x 3 + 2x + 4 x，求的值.ya + * ab | ab b冃口(2) 化簡(jiǎn)并求值：+其中a = 2 +、3b = 2 - 3 .ab + b a -、ab(東平縣校級(jí)期末)(1)計(jì)算：2去-去+ 而J(2)先化簡(jiǎn)，再求值：(a-(a+J)-a (a-6),其中 a=J+*.15 .已知p515 .已知p5 + 2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b,求a 2 一 4b 2a 2 + 4ab

12、 + 4b 2的值.【答案與解析】一、選擇題【答案】A.【解析】Tx ，二原式=卜|-卜-1 =-x一（1 -x） = 一1所以選A.【答案】C._【解析】A、原式=3以A選項(xiàng)的計(jì)算正確；B、原式=6冷戈X 3=6旋，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確；C、原式=5+2丁示1=6+2 ，所以C選項(xiàng)的計(jì)算不正確；D、原式=7-4=3,所以D選項(xiàng)的計(jì)算正確.【答案】A.b1 廠1 萬(wàn) 1 :b x a1【解析】原式二一x x = ab .a ab ab ab a ab a x a a 2b【答案】B.【解析】解：少式二（x+y） 2 xy_=（+）乂 -4=5 - 1=4.故選B.【答案】D.【解析】.Ja-b

13、-2爲(wèi)0,a + b-2邁0,/. a b 2 弋 3, a + b 22 .貝 U a =+ 人：2 , b = ; 2 - 3 ,b邁-朽92-薦?（朽-邁），一則a=厲其2=（巨+邁）（朽-、；=2“6 一5.【答案】B.【解析】注意運(yùn)算技巧.=(a jb + b a )(b a a Qb) = :ab (x; a + * b)、ab (v b * a) = ab(b a).二、填空題【答案】2._【解析】原式=(迓)2一(込)2=5 一 3=2.【答案】0.【解析】因?yàn)?b 0，所以(x)( vbx)(2abj )(x 0)a x-x -a-x -a - 2ab -x-bx - = 2

14、a 2b -= 2ab2x.a【答案】.12.【答案】aVcVb.【解12.【答案】aVcVb.【解析】解：c=Vs V2 CVs V2)(后Q.aVcVb.故答案為aVcVb.=73+-/2；三、解答題13.【解析】(1).因?yàn)?y =2x 3 + 弋3 2x + 4 x，所以 2x-3$0,3-2x$0,即x二I, y二罟則獲占乎韶示貝 y=y 1010105(2) a + Jab * Jab b7a +/b)十 亦(亦-亦)_ 品 十 亦ab + b a 、abvb ( a +、： b) a(ya yb)-jbax：ababjab (a + b)= + =baab因?yàn)閍 = 2 + ：3,b = 2 壬3，所以a + b