矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計算畢業(yè)論文

1、畢業(yè)論文矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計算摘要矩陣函數(shù)是矩陣理論的重要組成部分，矩陣函數(shù)中最重要的函數(shù)之一就是矩陣指數(shù)函數(shù)，它廣泛應用于自動控制理論和微分方程中。本文簡單介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)，并進一步討論了如何借助矩陣指數(shù)函數(shù)分析相關(guān)問題。本文從求解齊次線性微分方程的基解矩陣為出發(fā)點導出矩陣指數(shù)函數(shù)的概念，證明求解矩陣指數(shù)函數(shù)就是求解齊次線性微分方程組的基解矩陣。 ，進而得到矩陣指數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。本文的重點是討論計算矩陣指數(shù)函數(shù)的五種方法。其中，前三種方法廣泛適用于各種矩陣。雖然計算過程的復雜程度不同，但都需要計算矩陣的特征值。在高階矩陣或復雜特征值的情況下，特征值的計算將變得極其麻煩。后兩種方法比

2、較特殊。雖然缺乏通用性，只能計算特殊矩陣的指數(shù)函數(shù)，但避免了特征值的計算，簡化了運算過程。最后，本文具體介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)在求解微分方程中的應用。關(guān)鍵詞：矩陣指數(shù)函數(shù)；喬丹標準表格；微分方程系統(tǒng)目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc23228 1 前言1 HYPERLINK l _Toc4998 1的發(fā)展和歷史 HYPERLINK l _Toc15434 1.2 本文的主要內(nèi)容2 HYPERLINK l _Toc9928 2 預備知識3 HYPERLINK l _Toc24157 3矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)7 HYPERLINK l _Toc8733 3.1 矩陣索引7 H

3、YPERLINK l _Toc26704 3.1.1 關(guān)于系列7的收斂 HYPERLINK l _Toc11924 3.1.2 矩陣指數(shù)的性質(zhì)8 HYPERLINK l _Toc27045 3.1.3 常系數(shù)線性微分方程10的基本解矩陣 HYPERLINK l _Toc17799 3.2矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) PAGEREF _Toc17799 1 0 HYPERLINK l _Toc9871 3.2.1 矩陣函數(shù) PAGEREF _Toc9871 1 0 HYPERLINK l _Toc4511 3.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) PAGEREF _Toc4511 1 1 HYPERLINK l _T

4、oc8549 4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法 PAGEREF _Toc8549 1 7 HYPERLINK l _Toc19677 4.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計算方法 PAGEREF _Toc19677 1 7 HYPERLINK l _Toc4363 4.1.1 Hamilton-Cayley 解法 PAGEREF _Toc4363 1 7 HYPERLINK l _Toc11250 4.1.2 微分方程系數(shù)求解方法 PAGEREF _Toc11250 2 1 HYPERLINK l _Toc13147 4.1.3 佐敦區(qū)解 PAGEREF _Toc13147 2 3 HYPERLINK l _

5、Toc10615 4.2 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計算方法 PAGEREF _Toc10615 2 6 HYPERLINK l _Toc9228 4.2.1 矩陣指數(shù)函數(shù)展開 PAGEREF _Toc9228 2 7 HYPERLINK l _Toc22465 4.2.2 拉普拉斯變換2 7 HYPERLINK l _Toc25523 4.3 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較28 HYPERLINK l _Toc22110 5 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應用 PAGEREF _Toc22110 3 0 HYPERLINK l _Toc22469 6 總結(jié) PAGEREF _Toc22469 3 3 HYPERL

6、INK l _Toc22469 參考文獻 PAGEREF _Toc22469 3 4 HYPERLINK l _Toc12423 至351前言1.1 Matrix的發(fā)展和歷史在 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1284.htm 數(shù)學中，矩陣是一個非常常用的工具。雖然Matrix也有“子宮，或者說控制中心的母親，生命誕生的地方”的意思，但是Matrix和生物學并沒有太大的關(guān)系。矩陣（Matrix）是指數(shù)據(jù)在二維空間中縱向和橫向分布形成的表格，它起源于由 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu

7、%20%20%20%20/view/314172.htm 方程組的系數(shù)和常數(shù)組成的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/404843.htm 方陣。矩陣系統(tǒng)的概念最早由英國著名數(shù)學家 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/112560.htm 凱利提出。事實上，雖然矩陣（Matrix）的概念誕生于19世紀，但矩陣本身有著非常古老的歷史。很早以前就發(fā)現(xiàn)了幻方，用來 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/

8、view/244170.htm 記錄古代拉丁方格等矩陣的相關(guān)研究。在我們通常遇到的相關(guān)問題中，我們在求解線性方程問題時都會用到矩陣。在中國古代，有很多類似 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/17765.htm 矩陣的研究。在 中，已經(jīng)提到如何求解線性方程組的增廣矩陣。舒立用類似于分離 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/960.htm 系數(shù)法的方法來表示一個 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/

9、view/325740.htm 線性方程組，一行乘一個非零 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/14749.htm 實數(shù)，另一行減去一行，類似于 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/4204815.htm 當前矩陣變換中的初等變換.但由于當時世界范圍內(nèi)還沒有系統(tǒng)的矩陣研究或相關(guān)概念，僅以線性方程組的表示為標準，相關(guān)的處理方法被記錄在書中。在正常邏輯中，矩陣系統(tǒng)的概念應該在行列式之前提出，但在實際的數(shù)學歷史中，情況正好相反。在 HYPERLINK %20%2

10、0%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/111348.htm 行列式研究體系逐漸完善之后，矩陣逐漸進入了數(shù)學家的視野。在該領(lǐng)域的數(shù)學家中，非常有名的日本人 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/481254.htm 關(guān)貴和（1683 年）與戈特弗里德威廉萊布尼茨（1693 年）（微積分理論的支持者之一）大致在同一時間和地點單獨建立了行列式理論。HYPERLINK :/baike.baidu /view/277584.htm從那時起，該理論不斷發(fā)展，并經(jīng)常用于求解線性方程組。 HYPERLIN

11、K %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/791073.htm 1750年， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/4038820.htm 加布里埃爾克萊默提出 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/1130618.htm 克萊默定律。隨后，由于研究的需要，行列數(shù)等于列數(shù)的行列式在解決重要數(shù)學問題時有很大的局限性，不能滿足實際需要。于是矩陣應運而生。矩陣的當代概念系統(tǒng)在 19 世紀慢慢完成。事實上，矩陣的概念與行

12、列式的概念有著本質(zhì)的不同，其用法也有很大的不同。在這一領(lǐng)域的數(shù)學家中，1850 年， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/3565.htm 英格蘭 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/7776606.htm 的詹姆斯約瑟夫西爾維斯特首先使用名稱矩陣將矩形數(shù)組與原始行列式分開。矩陣論體系的創(chuàng)始人一般被認為是英國著名的數(shù)學家凱萊。他將矩陣這一數(shù)學概念完全獨立為一個新的數(shù)學對象。行列式問題中已經(jīng)討論了矩陣中的許多相關(guān)屬性。發(fā)現(xiàn)矩陣的概念很容易被人們接受。 185

13、8年，凱萊在他的矩陣論研究報告中系統(tǒng)地解釋了矩陣的一些基本理論。在本報告中，作者定義了矩陣等式、算法、轉(zhuǎn)置和矩陣的基本概念，例如逆矩陣的加法，并給出了級數(shù)、互換性和結(jié)合力的概念。此外，Cayley還在報告中寫下了方陣的特征方程以及關(guān)于特征值和矩陣的一些基本結(jié)論。此外，許多其他數(shù)學家在隨后的矩陣系統(tǒng)研究中也有重要發(fā)現(xiàn)。德國數(shù)學家弗羅貝尼烏斯首先提出了最小多項式的概念，矩陣中秩的概念，不變量和主因子，正交矩陣的相似變換，以及矩陣的其他概念，如契約、不變量因子的邏輯排列形式和主因子理論等。 1854 年，Jordan 是第一個發(fā)現(xiàn)將一般形式矩陣化為規(guī)范形式的方法的人。 1892年，梅茨勒利用和發(fā)展了

14、矩陣函數(shù)及其相關(guān)概念，并用它們組織了矩陣冪級數(shù)的形式。此外，Poincare 和 Fourier 還討論了與無限階矩陣有關(guān)的一些問題。至此，矩陣系統(tǒng)已經(jīng)完善。1.2 本文的主要內(nèi)容矩陣函數(shù)是矩陣理論的重要組成部分。最簡單的矩陣函數(shù)是矩陣多項式，它是研究其他矩陣函數(shù)的基礎(chǔ)。本文討論了矩陣函數(shù)中的一類函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)。這篇論文的題目是矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計算，所以主要討論的是性質(zhì)和計算。在文章的開頭，本文將討論矩陣的相關(guān)發(fā)展和歷史。第二章將介紹本文用到的基本數(shù)學知識。在文章的第三章，本文將介紹齊次微分方程的矩陣索引。第4章和第5章主要討論概念、性質(zhì)和計算。性質(zhì)部分討論了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，介紹了矩陣指

15、數(shù)函數(shù)的相關(guān)特性；第5章將介紹三種矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法，并對三種方法進行比較。最后，本文將介紹矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應用。2預備知識為便于題目討論中的理解，介紹本文研究所需的矩陣相關(guān)知識概念：這里表示對數(shù)域上的整個矩陣線性空間，故表示復矩陣集。1.矩陣的光譜矩陣通過數(shù)學運算計算出的特征值集合就是矩陣的譜，用數(shù)學表達式表示，即：譜表示，即；2.矩陣的光譜半徑設(shè)為階矩陣，其中矩陣的特征值為， ，如果寫成數(shù)學表達式，即： A 的譜半徑。即矩陣的譜半徑為最大模的值在矩陣中的所有特征值中；如果矩陣的特征值是虛數(shù)，則譜半徑是特征值的實部和虛部的平方和的算術(shù)平方根。3.矩陣的零多項式及其最小多項式定義

16、 2.1給定一個矩陣，如果滿足多項式，則稱為零多項式。定義 2.2在的歸零多項式中，次數(shù)最低且首項系數(shù)為 1 的歸零多項式可稱為是的最小多項式，記為。根據(jù)高等代數(shù)基本定理，在復數(shù)領(lǐng)域可作如下證明：性質(zhì) 2.1令,是的特征值，它們彼此不同，并且是矩陣 A 的最小多項式聯(lián)立，其中的導數(shù)值有足夠的階數(shù)并且下一個值（稱為陰影譜上的值）是有意義的，則可以說該函數(shù)定義在矩陣的譜陰影上。函數(shù)可以在給定矩陣的譜上未定義。4.矩陣系列定義 2.3：設(shè)為矩陣序列，其中矩陣集合的無窮和稱為矩陣的序列，記為。這里相對于正整數(shù)，可以記為?？梢苑Q為矩陣序列的部分和，如果矩陣序列是收斂的，并且矩陣序列有一個極限，即可以證明

17、矩陣序列是收斂的，并且可以稱為矩陣序列的和，記為。如果矩陣系列不收斂，則可以稱為發(fā)散的。定義 2.4 ：設(shè)，矩陣級數(shù)的形式為,可以稱為矩陣冪級數(shù)。5.齊次微分方程線性微分方程組(2.1)如果那么 (2.1) 被稱為非齊次線性的，如果是齊次線性的，則方程形式為通常將上述方程稱為對應于（2.1）的齊次線性微分方程組。6.正定矩陣在線性代數(shù)領(lǐng)域，正定矩陣有時簡稱為正定矩陣。在雙線性代數(shù)領(lǐng)域，正定矩陣的行為類似于復數(shù)中的正實數(shù)。對稱正定雙線性形式（或復數(shù)域中的Hermitian正定雙線性形式）是 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/

18、52425.htm 對應 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/90573.htm 于正定矩陣的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/325745.htm 線性算子。正定矩陣的定義分為廣義定義和狹義定義。廣義定義： 設(shè)置一個階方陣，如果對任意（非零向量）存在，如果存在，這里的轉(zhuǎn)置表示為，可以稱為正定矩陣。例如：一個階矩陣，表示一個單位矩陣，指的是一個正實數(shù)。當它足夠大時，它可以稱為正定矩陣（在這種情況下它必須是對稱矩陣）。狹義：它是一個實數(shù)對稱矩陣，同時它是

19、正定的， HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/422527.htm 當且僅當，對于所有非零實系數(shù) HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/77260.htm 向量，它都存在。這里的 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/689095.htm 轉(zhuǎn)置可以表示為。7. Hermitian 矩陣是一個復雜的有序方陣，其中如果對稱元素是共軛的，也就是說，共軛轉(zhuǎn)置矩陣就是它本身，那么這個方陣就是一個 He

20、rmitian 矩陣。很明顯，Hermitian 矩陣是實對稱矩陣的推廣。inference是一個階 Hermitian 矩陣，正定（半正定）矩陣的充要條件是矩陣中得到的所有特征值都大于等于 0。8.喬丹矩陣以主對角線為特征值，次對角線為 1 的 Jordan 塊對角排列稱為 Jordan 形 HYPERLINK %20%20%20%20:/baike.baidu%20%20%20%20/view/10337.htm 矩陣，主對角線上的小方陣稱為 Jordan 塊。 .,.9.需求矩陣Demond 矩陣是由法國數(shù)學家 Demonde (Vandermonde, Alexandre Theoph

21、ile, 1735-1796) 提出的幾何級數(shù)矩陣。其形式如下：在 Demond 矩陣中，矩陣的行數(shù)為 m，矩陣的列數(shù)為 n，矩陣的秩最大。1 0.酉矩陣定義 2.5如果是復矩陣，則該矩陣滿足條件：這里yes的共軛轉(zhuǎn)置是階單位矩陣，可以稱為酉矩陣。3 矩陣指數(shù)函數(shù)的矩陣指數(shù)性質(zhì)在計算常系數(shù)線性微分方程時，主要考慮齊次線性微分方程組。這個方程組的基本解矩陣的結(jié)構(gòu)非常重要。這里，本文研究的主要問題矩陣指數(shù)函數(shù)與齊次線性微分方程組的基本解矩陣的解密切相關(guān)。在本章中，我們將從齊次線性微分方程的基本解矩陣的解開始，研究矩陣指數(shù)的概念，然后詳細討論矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。在本章3.1矩陣指數(shù)函數(shù)中，本文將逐步

22、將矩陣指數(shù)函數(shù)與齊次線性微分方程組聯(lián)系起來，證明該矩陣是齊次線性微分方程組的基本解矩陣.在3.2矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)中，本文將首先簡單介紹矩陣指數(shù)函數(shù)的概念。在引入矩陣指數(shù)函數(shù)時，會從指數(shù)函數(shù)的概念推導出相似矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并一一進行分析。證明。3.1 矩陣索引首先，齊次線性微分方程組可以簡單地表示為(3.1)這是常數(shù)矩陣。本文將使用代數(shù)方法找到（3.1）的基本解矩陣。為了求解（3.1）的基解矩陣，需要定義矩陣索引。如果a是一個常數(shù)矩陣，那么我們可以定義為以下矩陣系列的和, (3.2)其中是階單位矩陣，矩陣是的冪。特別是，在這里，我們可以設(shè)置, 。這個級數(shù)對所有都是收斂的，所以它是一個定矩陣

23、。特別是，對于所有元素為零的零矩陣，存在.此時，如果代入 (3.1)這很像，只是此時還不確定兩者的關(guān)系如何。接下來，將討論兩者之間的關(guān)系。3.1.1系列的收斂很容易知道，對于所有的正整數(shù)，我們有,因為任何矩陣都是確定的實數(shù)，所以數(shù)值級數(shù)是收斂的（上式之和為）。假設(shè)矩陣序列的任何一項的個數(shù)小于對應的收斂數(shù)值序列的對應項，那么我們可以推斷出矩陣序列是收斂的，所以(3.2)首先對所有矩陣A絕對收斂。此外，該系列(3.3)它在所有有限區(qū)間上一致收斂。實際上，相對于所有正整數(shù)k，當(c為正數(shù))時，可以有,并且數(shù)值級數(shù)是收斂的，所以 (3.3) 是一致收斂的。由于 (3.3) 是一致收斂的，因此 (3.3

24、) 可以導出。該證明結(jié)果用于3.1.3本節(jié)的證明過程。3.1.2矩陣指數(shù)的性質(zhì)1. 如果矩陣 A 和 B 是可交換的，即，則(3.4)事實上，由于矩陣級數(shù)（3.3）是絕對收斂的，所以有一些關(guān)于絕對收斂數(shù)值級數(shù)運算的定理，包括級數(shù)的收斂性不受項重排的影響，級數(shù)的和乘以等可以應用在這里，并且可以通過二項式定理和(3.5)另一方面，通過絕對收斂級數(shù)的乘法定理，我們得到(3.6)比較（3.5）和（3.6），推斷（3.4）。2. 對于任何矩陣，存在，并且事實上，和是可交換的，所以在 (3.4) 中， let ，本文推導出,因此，可以推導出.如果 T 是一個非奇異矩陣，那么. (3.7)實際上這是本文需要

25、證明的。3.1.3常系數(shù)線性微分方程的基本解矩陣在前兩小節(jié)中，我們已經(jīng)證明了（3.3）的收斂性，還介紹了矩陣指數(shù)相關(guān)性。本節(jié)將闡明常系數(shù)線性微分方程（即定理3.1）的矩陣指數(shù)函數(shù)與基本解矩陣之間的關(guān)系，并證明該關(guān)系。定理 3.1矩陣(3.8)是 (3.1) 的基解矩陣。和。證明是明確定義的。 (3.8) 對于推導，我們得到這表明它是（3.1）的解矩陣。再一次。所以它是（3.1）的基解矩陣。證書完成。根據(jù)定理 3.1，我們可以利用這個基解矩陣知道 (3.1) 的解都具有形式(3.9)這是一個常數(shù)向量。因此，求解(3.1)基解矩陣的問題可以轉(zhuǎn)化為矩陣指數(shù)函數(shù)的解。3.2矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在矩陣索引

26、的上一章中，我們從求解常系數(shù)線性微分方程組的過程中實現(xiàn)了矩陣索引的概念，并了解到（3.8）是常系數(shù)微分方程組的基本解矩陣。在本章的開頭，我們將簡要介紹矩陣函數(shù)的性質(zhì)，然后描述和證明矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。3.2.1矩陣函數(shù)定理3.2.1假設(shè)sum和是兩個不同的多項式，這里是一個階矩陣，那么它的充要條件是sum在陰影譜上的值對應相等，即通過使用矩陣多項式，矩陣函數(shù)的定義寫在下面。在階矩陣的陰影譜上設(shè)置定義3.2.2，定義函數(shù)，即它的價值是一個確定的價值。如果是多項式，兩者都滿足那么矩陣函數(shù)可以定義為。定理3.2.3 假設(shè)這里矩陣的譜半徑是，如果函數(shù)的冪級數(shù)的表達式是,然后在那個時候根據(jù)該定理3.2.

27、3，可以推導出許多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表達式，列舉了其中的三個。;3.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如果把矩陣指數(shù)函數(shù)換成矩陣，你會發(fā)現(xiàn)此時矩陣指數(shù)函數(shù)變成了指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)作為基本函數(shù)之一，也用作特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)。是否可以應用在函數(shù)中，接下來，本文將一一列舉矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并進行演示。定理3.2.4假設(shè)它是一個復值函數(shù)，如果它被定義，那么矩陣指數(shù)函數(shù)具有以下七個性質(zhì)：(1)(2)(3) 如果和是可交換的，也就是說當時有；(4) 對于任何矩陣，它總是可逆的，并且同時；(5) ;(6) ，痕跡在哪里。(7) 設(shè)置為 Hermite 正定矩陣，則存在唯一 Hermite 矩陣，所以。證明由定理可

28、知3.2.1如果命運，那么但由于，有反之亦然。從定理知道3.2.1(3) 在滿足的情況下，二項式成立，因此證明(1)過程中的公式可以整理為或者因此。(4) 矩陣指數(shù)函數(shù)滿足, 根據(jù) (1) 我們得到所以給定的矩陣和絕對收斂并且對所有一致收斂，所以(6) 讓，這里是喬丹標準型，那么,所以由于它是一個正定 Hermite 矩陣，它的特征值都是正數(shù)。所以 let , then是上面定義的，令,為積分函數(shù), , ,它也是一個積分函數(shù)，如果, ,因此。同時。如果將表示為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，知道和。order , unique 和 have如果是正規(guī)矩陣，則可以推導出( 3.10 )反之，若滿足式( 3.10

29、 )，則為正規(guī)矩陣，即定理3.2.5假設(shè)建立了正規(guī)矩陣的充分必要條件。下一個研究問題是：如果一個非正態(tài)矩陣滿足式（ 3.10 ）的條件，那么該矩陣具有什么樣的結(jié)構(gòu)？為了研究這個問題，需要預先證明一個引理引理1令,是具有定義域 的復值函數(shù)。求解矩陣方程的充分必要條件是：對于任意，總是存在這樣的。證明必要性。有，有。心目中的喬丹標準形式是在哪里：是 Jordan 塊的階，由引理可知,因此有，存在,擁有充分性。任何方程都存在解。let 的 Jordan 規(guī)范形式是所以有一個可逆矩陣，所以在哪里：因此有所以知道( 3.11 )如果已訂購，則式（ 3.11 ）中。定理假設(shè)方程（7）3.2.6成立的充分必

30、要條件是：存在一個酉矩陣，使得( 3.12 )其中：是一個可以對角化的矩陣。證明必要性。假設(shè)方程（7）成立，它是一個正規(guī)矩陣，并且存在一個酉矩陣使得( 3.13 )在哪里：是單位矩陣，.這是其中： .容易證明方程有解且可逆，因此， 和可以對角化， ，這樣它就可以對角化充分性是顯而易見的。4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法4.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計算方法矩陣指數(shù)函數(shù)的計算有多種計算方法，即 的計算。日常計算中有很多常用的方法。本文本節(jié)提到的三種方法都沒有確定矩陣，所以對矩陣沒有特殊要求，即矩陣不是特殊矩陣。因此，一般情況可以解決。前兩種方法都是基于微分方程，主要是利用微分方程進行計算，但求解方法與基本

31、思想不一樣；第三種方法利用了Jordon表達式的知識，主要根據(jù)矩陣函數(shù)Jordon表達式的變化來求解。這種方法是通過計算出來的Jordon表達式計算出來的，但是Jordon標準形式的變化有點復雜，而且變換矩陣也需要排序后計算。這里需要的計算是相當大的，如果矩陣的階數(shù)越大，這里需要的計算就越復雜。即便如此，這種方法也有優(yōu)點，計算步驟很清晰，過程也很清晰，通俗易懂，除了計算，用起來也很方便。4.1.1Hamilton-Cayley 解法本節(jié)探討的計算方法使用了 Hamilton-Cayley 定理和定理，4.1.2可以通過定理4.1.2推導出為具有初值條件的微分方程的解。通過求解這個微分方程計算。

32、定理4.1.1（Hamilton-Cayley 定理）階方陣的特征多項式是零多項式，即定理4.1.2這里一個階方陣的特征多項式是.的每個元素都滿足階線性微分方程，是一個矩陣線性微分方程( 4.1 )( 4.2 )唯一的解決方案。證明：首先證明問題( 4.1 )( 4.2)解的唯一性。讓所有階矩陣線性微分方程( 4.1 )，并滿足初值條件( 4.2 )，令。所以滿足矩陣線性微分方程( 4.1 )，滿足初值條件。因此，所有元素都符合以下常系數(shù)階線性微分方程,很容易知道，這個方程的解是，所以，所以。如下所示，唯一的解決方案是矩陣指數(shù)函數(shù)。階方陣的特征多項式：如果, 那么,（漢密爾頓-凱萊定理）。同時

33、滿足初值條件（ 4.2 ）。所以它是階矩陣的線性微分方程,唯一的解決方案。證書完成。在本文中，假設(shè)矩陣具有不相等的特征值。所以微分方程的通解是是階常數(shù)矩陣。從初始條件，我們可以得到線性階方程：設(shè)系數(shù)矩陣為，則此矩陣為 Demond 矩陣，則,因為這個矩陣的特征值不同，所以這個系數(shù)矩陣的行列式不相等，所以這個方程組是有解的。,是元素。通常矩陣有重復的特征值，假設(shè)有不同的特征值，每個特征值的重復次數(shù)為所以微分方程的通解為：.同樣，從初始條件，線性方程組，其系數(shù)矩陣為可以通過求解這個方程組得到.示例 1 計算矩陣指數(shù)函數(shù)，其中解開：特征方程為：所以矩陣的特征值為。所以所以，,是元素。同時,終于想通了

34、4.1.2微分方程系數(shù)求解方法本節(jié)介紹第二種計算矩陣指數(shù)函數(shù)的方法，與上一節(jié)的方法類似，使用微分方程，但這種方法從一個表達式開始，然后求解一些具有常系數(shù)的微分方程，得到 計算系數(shù)的表達式，最后計算。定理4.1.3假設(shè)一個階方陣的特征多項式是,但,其中是階常系數(shù)的線性微分方程的解，每個都滿足初始值條件：.證明：令一個階方陣的特征多項式為.制作,其中是階常系數(shù)的線性微分方程，并且滿足定理的初值條件。但所以和所以是的解決方案。由定理可知4.1.2證書完成。示例 1具有矩陣指數(shù)函數(shù)，請在此處求解解開：特征方程為：, 所以矩陣 A 的特征值為.所以總則解決辦法是：當時， .當時 ，當時， .同時,所以終

35、于想通了4.1.3Jordon 塊求解器本節(jié)介紹的計算比前面的計算方法要麻煩一些，原理和過程也不同。這種計算方法利用了矩陣函數(shù)的 Jordon 表達式的知識。此方法中使用的 Jordon 表達式的計算間接計算 Got 。變量多項式,說是矩陣多項式。和同階方陣如果是階 Jordan 塊矩陣但階矩陣上的矩陣多項式由式(1)可引入多項式的導數(shù)，則可表示為如果是 Jordan 標準型，則.假設(shè)A是一個階方陣，表示這個方陣的Jordon標準形式，那么就會有一個滿秩矩陣P，使得,所以矩陣多項式的 Jordon 表示。假設(shè)定理4.1.4是這個矩陣 Jordon 的典型形式，如果函數(shù)定義在 的陰影譜上，則在根

36、據(jù)定理4.1.4，矩陣函數(shù)的 Jordon 標準形式可用于計算矩陣指數(shù)函數(shù)。計算步驟：1. 求 A 的 Jordon 規(guī)范形式， ；2.由, 哪里;3.通過 計算變換矩陣，其中;4. 寫出Jordon 表達式代入矩陣指數(shù)函數(shù)對應的函數(shù)。示例 1有一個矩陣指數(shù)函數(shù)，求解，這里解開：求矩陣的基本因子：,矩陣的基本因子是所以喬丹的標準形式是變換矩陣和分別是,和,所以喬丹的標準形式是：那時 , , 所以4.2矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計算方法以上三種方法各有優(yōu)缺點，都可以用來計算矩陣指數(shù)函數(shù)。第一種和第二種方法的計算使用微分方程的相關(guān)知識。兩種方法都使用一階線性微分方程，通過求解該方程來計算。第三種方法從利用

37、Jordon標準形式的知識開始，解決方法主要是基于矩陣函數(shù)的Jordon表達式的變化。第三種方法雖然過程多、計算復雜，但三種方法都可以求解總則矩陣指數(shù)函數(shù)。實際上，由于上述三種方法都需要計算矩陣的特征值，所以當矩陣的階數(shù)變高，或者發(fā)生復雜運算時，矩陣的特征值計算就會變得困難。接下來，本文將介紹兩種特殊的方法矩陣指數(shù)函數(shù)展開法，拉普拉斯變換法。使用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法將避免計算矩陣的特征值，而拉普拉斯變換法使用拉普拉斯變換而不計算矩陣的特征值。不過兩者也有相應的不足，本節(jié)將詳細介紹。4.2.1矩陣指數(shù)函數(shù)展開法示例、設(shè)計、計算直接計算，是一個二階單位矩陣。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，我們有是二階正交矩

38、陣，可以使用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法計算，但該算法不能使用一般矩陣指數(shù)函數(shù)計算公式。4.2.2拉普拉斯變換法該算法旨在利用拉普拉斯逆變換跳過矩陣指數(shù)函數(shù)特征值的計算并改變矩陣。由積分定義4.2.1在復平面上定義的復變量的函數(shù)，一般稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，在這里有意義，符合不等式（對于復數(shù)，就是它的模數(shù)），在這里，對于一些二是正規(guī)的。我們將調(diào)用原始函數(shù)而不是圖像函數(shù)。在這里，對拉普拉斯變換進行因此，如果我們要請求，我們可以進行拉普拉斯逆變換，即可以得到結(jié)果。示例、設(shè)計、計算。，它表示拉普拉斯逆變換。該方法使用了拉普拉斯逆變換，完全避免了特征值的計算和矩陣的變換，充分發(fā)揮了拉普拉斯逆變換的便利性。但是，

39、這種方法也存在一定的缺陷，即拉普拉斯逆變換本身的計算并不簡單。4.3 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較以上三種方法各有優(yōu)缺點，都可以用來計算矩陣指數(shù)函數(shù)。不用說，在這三種方法中，最后一種方法比前兩種方法需要更多的計算量。方法3利用了Jordon表達式的知識，主要根據(jù)矩陣函數(shù)Jordon表達式的變化來求解。計算出來的Jordon表達式是計算出來的，但是改變Jordon標準形式的階段有點復雜，排序后也需要計算變換矩陣。這里需要的計算是相當大的，如果矩陣的階數(shù)很大，這里需要的計算也會變得復雜。 .即便如此，這種方法也有優(yōu)勢。其計算步驟清晰易懂。除了計算，使用起來也很方便。第一種和第二種方法的計算使用微分方程的相

40、關(guān)知識。兩種方法都使用了一個n階線性微分方程，通過求解這個方程來計算，與方法三相比，它減少了矩陣指數(shù)函數(shù)的計算量，計算過程也比較簡單，但仍然是普通人難以理解和熟練使用。但實際上，由于上述三種方法都需要求矩陣的特征值，如果高階矩陣或特征值很復雜，這三種方法的計算復雜度都會增加。在第二節(jié)中，本文提到了兩種特殊的方法。矩陣指數(shù)函數(shù)展開法簡單粗暴。如果A是正交矩陣，矩陣指數(shù)函數(shù)展開法可以簡化計算。這種方法避免了矩陣特征值的計算。 ，遇到高階矩陣或復雜特征值時，計算量不會增加。缺點是只能用于正交矩陣。拉普拉斯逆變換方法使用拉普拉斯逆變換，完全避免了特征值的計算和矩陣的變換，充分利用了拉普拉斯逆變換的便利

41、性。首選，但是這種方法也有自己的缺點，就是拉普拉斯逆變換本身的計算并不簡單。5 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應用微分方程有解。如果我們考慮以下向量：線性微分方程可以表示為：兩邊乘以一個積分因子得到：我們可以計算，從而得到微分方程的解。如果 ，一個齊次微分方程組，即，很容易知道， 。示例 1（均質(zhì)）我們有以下微分方程組：相關(guān)矩陣為：我們可以通過計算得到：所以微分方程組的通解為：對于非齊次情況，方程組的一般是齊次方程的通解和非齊次方程的特解之和。我們可以找到以下形式的特定解：為方程的解，必須有：所以：示例 2（非均質(zhì)）我們有以下方程組：有,和.使用上面使用的方法，我們可以找到：,在.所以進一步計算，

42、可得特解所以微分方程組的通解為：,其中是齊次方程組的通解。6 總結(jié)生活中有很多問題可以用線性微分方程來解決，在現(xiàn)代系統(tǒng)和控制與工程技術(shù)等許多領(lǐng)域都有重要的應用。矩陣指數(shù)函數(shù)是一種特殊的矩陣函數(shù)，也是求解線性微分方程的重要組成部分。本文不是從一開始就直接介紹矩陣指數(shù)函數(shù)，而是從與矩陣密切相關(guān)的齊次線性微分方程入手，介紹齊次線性微分方程的相關(guān)信息，并介紹齊次線性微分方程?；窘饩仃嚽蠼?，我們從這里學到了，從而有了一個初步的認識。實際上，雖然是以齊次線性微分方程的形式引入的，但不可能直接將基解矩陣與等號等同，還需要證明相關(guān)性質(zhì)。之后，本文簡要介紹了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，從另一方面又進行了介紹，在矩陣函數(shù)的

43、基礎(chǔ)上研究了矩陣函數(shù)的性質(zhì)。一共提出了7個性質(zhì)，并一一證明。事實上，一般文獻中只提到了 6 個基本屬性。 ，第七點是矩陣指數(shù)函數(shù)的導數(shù)性質(zhì)，本文最終通過研究證明了這一點。在計算方面，本文參考了一些論文中的一些計算方案。經(jīng)過總結(jié)和修改，給出了三種解法：Hamilton-Cayley解法、微分方程系數(shù)解法、Jordon塊解法（以上解法均獨立命名），然后用這三種方法用例題進行介紹和解釋，然后指出這三種方法的不足之處。第一種和第二種方法的計算使用微分方程的相關(guān)知識，這兩種方法都使用一階線性微分方程，通過求解這個方程來計算。與第三種方法相比，計算量減少了，計算步驟也比較簡單，但要明白為什么要這樣做。 ，要清楚地理解其中使用的一些定理和方法。但實際上，由于上述三種方法都需要求矩陣的特征值，如果高階矩陣或特征值很復雜，這三種方法的計算復雜度都會增加。之后，本文提到了兩種特殊的方法。矩陣指數(shù)函數(shù)展開法簡單粗暴。如果A是正