二重積分以及其計算

1、關于二重積分及其計算第1頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四8.1.1 二重積分的概念1.曲頂柱體的體積 設有一立體，它的底是 面上的閉區(qū)域D， 它的側面是以 D 的邊界曲線為準線而母線平行于 z 軸的柱面，它的頂是曲面 且在D上連續(xù).此立體稱作曲頂柱體. 第2頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法.其步驟為用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積， 先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積第3頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四平面薄片的質量將薄片分割成若干小塊，取

2、典型小塊，將其近似看作均勻薄片， 所有小塊質量之和近似等于薄片總質量第4頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四定義8.1設),(yxf是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，D任意分成n個小閉區(qū)域1sD，L,2sD，nsD，其中isD表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個isD上任取一點),(iihx，作乘積 ),(iifhxisD，),2,1(niL=，并作和 將閉區(qū)域第5頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域D上的二重積分,記為即積分號被積函數(shù)積分區(qū)域積分和面積元

3、素積分變量被積表達式第6頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四二重積分定義的幾點說明：(2)用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，則 面積元素為故二重積分可寫為第7頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四二重積分的幾何意義如果被積函數(shù)是大于零的，二重積分是柱體的體積.如果被積函數(shù)是小于零的，二重積分是柱體的體積的負值如果被積函數(shù)是時正時負的,二重積分是所有柱體體積的代數(shù)和.曲頂柱體的體積平面薄片的質量第8頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四性質性質（二重積分與定積分有類似的性質）當 為常數(shù)時，對積分區(qū)域具有可加性8.1.2 二重積分的基本性質

4、第9頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四性質性質若 為D的面積，若在D上特殊地，因為則有于是第10頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四性質 設M 、m分別是),(yxf在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，AD的面積，則為證明由性質4及性質1和性質3，有第11頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四設函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域D上連續(xù)，A為D的面積，則在D上至少存在一點),(hx使得性質6證明由性質5，有再根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理第12頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 練習1 判斷 練習2 估計積分的值，其中的符號.

5、是第13頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四8.1.3 二重積分在直角坐標系下的計算其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).假定，積分區(qū)域為第14頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法計算。表示以閉區(qū)域D為底，z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。過x作平行于yoz面的平面截曲頂柱體。得一個以區(qū)間曲線z=f(x,y)為曲邊的曲邊梯形。為底、ab第15頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四故其面積 從而得曲頂柱體的體積為簡記ab第16頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四如果積分區(qū)域

6、為：上式為先上式為先的二次積分，積分區(qū)間后的二次積分，積分區(qū)間后第17頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 X-型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.記為 Y-型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.記為若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.D3D2D1Oyx第18頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四如果積分區(qū)域既是X-型的，又是Y-型的，則特別則有公式第19頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四計算的一般步驟：的草圖，觀察是1 先畫出積分區(qū)域或或是混

7、合型區(qū)域，并確定其邊界函數(shù)表達式2.根據(jù)區(qū)域的類型和被積函數(shù)的特點，選擇積分次序.不妨假設積分區(qū)域是先對積分，而后對積分.故的積分區(qū)間是為確定的積分限，自內任取一點作垂直于第20頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四軸的直線交區(qū)域的邊界于兩點（自下向上）.這兩個交點的縱坐標（與有關）分別作為積分變量的積分下限和積分上限.如果是區(qū)域，可以類似處理 。計算二重積分的簡算法（1）若有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是關于（或者）的奇函數(shù)，而區(qū)域關于軸（或者軸）對稱，則第21頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四. 的上）半?yún)^(qū)域. （2） 若有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是關于（或者）

8、的偶函數(shù)，而區(qū)域關于軸（或者軸）對稱，則是區(qū)域（或的右（3） 若有界閉區(qū)域關于直線對稱，上的連續(xù)函數(shù)，則是第22頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四證明 只對（1）來證明.設的奇函數(shù)，即是關于由題意不妨設對第一項積分：令變換，則代入原式，知 第23頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四例1 計算二重積分.其中是由直線與 軸所圍成 的區(qū)域：解 積分區(qū)域如圖所示.看成X-型區(qū)域，即區(qū)域，于是 第24頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四看成Y-型區(qū)域，即也可將區(qū)域，于是 (2) 按先的次序積分 ，后原式 也可按先后的次序，原式計算起來比較麻煩

9、。第25頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四例2 計算解 這個二次積分的次序是先后，但是的原函數(shù)不能用的初等函數(shù)表達，于是要先交換積分次序.此時積分區(qū)域 為所以原式 第26頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四所圍成。 例3 計算其中是由解 積分區(qū)域如圖所示，按先后的次序，則原式 但若按先后的次序，原式 第27頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四例4 計算.其中是由及軸所圍成.解 積分區(qū)域如圖所示，則 （1） （2）選用（2）式計算，于是 考慮到的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達，應D第28頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期

10、四 顧被積函數(shù)的原函數(shù)是否易求，有時甚至需要交說明：對區(qū)域選擇積分次序時，要同時兼換原來的積分次序。第29頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四例5 若區(qū)域 是由直線 及軸所圍成的區(qū)域，計算 解 顯然區(qū)域關于軸是對稱的，被積函數(shù)是關于的奇函數(shù)，故第30頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四例6 求以為曲頂，矩形區(qū)域為底面的曲頂柱體的體積。解 由二重積分幾何意義知曲頂柱體的體積 第31頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四練習5 求橢圓拋物面 與平面所圍立體體積。練習3 計算其中是由直和所圍成的閉區(qū)域。練習4 計算所圍成的閉區(qū)域。 其中是由拋

11、物線線及直線第32頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四解 當 練習1 判斷故 又當 時, 于是 的符號.時，第33頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 練習2 估計積分的值，其中D是解 在的最小值為最大值為而的面積為于是內，第34頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 解 積分區(qū)域 D 既是X- 型，又是Y- 型的，化為先y 后x 的積分. 練習3 計算其中是由直和所圍成的閉區(qū)域。線第35頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四化為先可見關于的積分計算比較麻煩.的積分.后第36頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四 解 積分區(qū)域 既是 型，又是 型的，化為先 后 的積分. 練習4 計算所圍成的閉區(qū)域。 其中是由拋物線及直線第37頁，共41頁，2022年，5月20日，18點6分，星期四若化為先 后 的積分.需將 分成 和 .第38頁，