42分層隨機抽樣的均值與方差3百分位數(shù)

1、4.2分層隨機抽樣的均值與方差43百分位數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分層隨機抽樣的均值與方差公式的推導(dǎo)過程，會求分層隨機抽樣的均值與 方差2理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義，會求樣本數(shù)據(jù)的p分位數(shù).知識梳理梳理教材夯實底礎(chǔ)知識點一分層隨機抽樣的均值與方差分層隨 機抽樣 的均值設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為 , % 2,，n和3,R2,，%,則這個樣本的平均數(shù)為w 1 X 1+ w2 % 2Wn % n= 叼% .i=1分層隨 機抽樣 的方差設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為X 1，X 2,，X n,方差分別為個,，明，相應(yīng)的權(quán)重分別為W1，W2，Wn，則這個樣本的方差為S2= W.S2i =1+ ( X -

2、 X )2，其中X為樣本平均數(shù)知識點二百分位數(shù).總體的p分位數(shù)的概念：一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時，給定一個百分?jǐn)?shù)p(0山，總體的p分位數(shù)有這樣的特點： 總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p.四分位數(shù)：25%,50%,75%分位數(shù)是三個常用的百分位數(shù).把總、體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個百分 位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了 4個部分，在這4個部分取值的可能性都是4.因此這三個百分位數(shù)也 稱為總體的四分位數(shù).計算一組n個數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟如下：第一步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù): 第二步，計算i=n Xp；第三步，若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則p分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)：若i是整數(shù)，則p 分

3、位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).思考辨析判斷正誤1.樣本數(shù)據(jù)分為兩層，其中一層的平均數(shù)為96，另一層的平均數(shù)為98，則樣本數(shù)據(jù)的平均96 + 98數(shù)為一 二 97.( X ).把一個樣本分成兩層，由每層數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差能求整個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.(X )題型探究. 50%分位數(shù)就是中位數(shù).(V )題型探究探究重點槌升去養(yǎng)一、分層隨機抽樣的均值與方差的計算例1 (多選)某分層隨機抽樣中，有關(guān)數(shù)據(jù)如下:樣本量平均數(shù)方差第1層4542第2層3581第3層1063則下列敘述正確的是(結(jié)果保留兩位小數(shù))()A.第1,2層所有數(shù)據(jù)的均值為5.75B.第1,2層所有數(shù)據(jù)的方差為1.50C.第

4、1,2,3層所有數(shù)據(jù)的均值約為7.68D.第1,2,3層所有數(shù)據(jù)的方差約為5.23答案AD4535一 一 _解析 第1,2層所有數(shù)據(jù)的均值為： 12=X4 + X8 = 5.75 , A正確；第1,2層 12 45 + 3545 + 35所有數(shù)據(jù)的方差為 s2 = 45 X 2 + (4 - 5.75)21+ 35 X 1 + (8 - 5.75)21= 5.5 , B 不正12 45 + 3545 + 35確；第1,2,3層所有數(shù)據(jù)的均值為了 = 40X4 + 90X8+9X6-5.78,C不正確；第1,2,3層所 有數(shù)據(jù)的方差約為 s2 = 40X 2 + (4 - 5.78)21+ 90

5、 X 1 + (8 - 5.78)2 + $ X 3 + (6 - 5.78)2 -5.23 , D 正確.反思感悟運用公式求分層隨機抽樣的均值與方差時要注意清楚公式中各個符號的含義，避免代入數(shù)據(jù)混亂.(2)運算要格外仔細(xì)，并按要求保留有效小數(shù).跟蹤訓(xùn)練1某培訓(xùn)機構(gòu)在假期招收了 A, B兩個數(shù)學(xué)補習(xí)班，A班10人，B班30人，經(jīng)過 一周的補習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，A班的平均成績?yōu)?30分，方差為115, B班的 平均成績?yōu)?10分，方差為215.求在這次測試中全體學(xué)生的平均成績和方差.解依題意 A = 130 , sa = 115,1030X130+X110=115 ,10 + 301

6、0 + 30全體學(xué)生的平均分為115分.全體學(xué)生成績的方差為S2 = WA SA + ( % A - % )2 + WB SB + ( % B - % )21010 + 301010 + 30(115 + 225) +3010 + 30(215 + 25)= 85 + 180 = 265.二、百分位數(shù)的計算及應(yīng)用例2 (1)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位數(shù)為, 75%分位數(shù)為, 90%分位數(shù) 為.答案3 8 9.5解析 因為數(shù)據(jù)個數(shù)為 10，而且 10X25% = 2.5,10X75% = 7.5,10X90% = 9. TOC o 1-5 h z % +%9+10所以該

7、組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為% = 3,75%分位數(shù)為% = 8,90%分位數(shù)為9 ? 10 = = 953822(2)某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦 了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)，現(xiàn)從參賽者中抽取 了 %人，按年齡分成5組(第一組：20,25),第二組：25,30),第三組：30,35),第四組：35,40), 第五組：40,45),得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人.求;求抽取的1人的年齡的50%分位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；以下是參賽的10人的成績：90,96,97,95,92,92,98,88,96

8、,99,求這10人成績的20%分位數(shù)和 平均數(shù)，以這兩個數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價參賽人員對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，并談?wù)?你的感想.解 第一組頻率為0.01X5 = 0.05,所以 1 = 005 = 100.由圖可知年齡低于30歲的所占比例為40%，年齡低于35歲的所占比例為70%，所以抽取的1人的年齡的50%分位數(shù)在30,35）內(nèi)，由30 +嗎00竺心32，所以抽取的1人的年齡的50%分位數(shù)為32.把參賽的10人的成績按從小到大的順序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99 ,，一,90 + 92計算10X20% = 2，所以這10人成績的20%分位數(shù)為雙六二91

9、,這10人成績的平均數(shù)為-1N/JL17（88 + 90 + 92 + 92 + 95 + 96 + 96 + 97 + 98 + 99） = 94.3.評價：從20%分位數(shù)和平均數(shù)來看，參賽人員的認(rèn)知程度很高.感想：結(jié)合本題和實際，符合社會主義核心價值觀即可.（學(xué)生）反思感悟求百分位數(shù)時的注意點一定要將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列；一定要確定i = np的結(jié)果是否為整數(shù).（2）由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的方法要注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數(shù)據(jù)落在該組的頻率.一般采用方程的思想，設(shè)出p分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程并求解即可.跟蹤訓(xùn)練 2 （1）數(shù)據(jù) 7.0,8.4,8.4,8.4,8.6

10、,8.7,9.0, 9.1 的 30%分位數(shù)是答案8.4解析 因為8X30% = 2.4 ,故30%分位數(shù)是第三項數(shù)據(jù)8.4.（2）一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為答案1009答案1009解析 樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為（0.08 + 0.02） X 4=0.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40 +0.09X4 = 0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)在10,14）內(nèi)，估計此樣本數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為10 +0.10.36X10 +0.10.36X4 =1009 .隨堂演練也曲鞏固學(xué)以致用%.一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相當(dāng)于是（）A. 25%分位數(shù)B. 50%分位數(shù)

11、C. 75%分位數(shù)D. 95%分位數(shù)答案B2.某單位共有員工100人，其中有年輕人20人，平均年薪為5萬元，中年人有80人，平均年薪為8萬元，則該單位員工的平均年薪為（）A. 5萬元B. 8萬元C. 6.5萬元D. 7.4萬元答案D解析 由題意可知 =120X5+1800X8 = 7.4（萬元）.3.一組數(shù)據(jù)為6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36,則這組數(shù)據(jù)的一個四分位數(shù)是15,則它是（）A. 15%分位數(shù)B. 25%分位數(shù)C. 50%分位數(shù)D. 75%分位數(shù)答案B解析 將數(shù)據(jù)由小到大排列的結(jié)果：6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 4

12、2, 43, 47, 49 ，一共11項.由11X 25% = 2.75，故 25%分位數(shù)是 15. 900,920,920,930,930 的 20%分位數(shù)是.答案910900 + 920解析 因為5 X 20% = 1 ,所以該組數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)是一2一 二 910.已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1 ： 3 ： 6,2018年8月份調(diào)查得知該省所有城市房 產(chǎn)均價為1.2萬元/平方米，方差為20,二、三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為2.4萬元/平方米， 1.8萬元/平方米，0.8萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10,8,則二線城市的房 價的方差為.答案118.52解析設(shè)二線城市的

13、房價的方差為s2，由題意可知13620 =s2 + (L2 - 2.4)2 +10 + (1.2 - 1.8)2 +8 + (1.2 - 0.8)2，1+3+61+3+61+3+6解得s2= 118.52，即二線城市的房價的方差為118.52.課堂小結(jié)-.知識清單：分層隨機抽樣的均值與方差.(2)百分位數(shù).方法歸納：數(shù)據(jù)分析.常見誤區(qū)：求百分位數(shù)時，未排序?qū)е洛e誤.課時對點練注重雙基強也落實*基礎(chǔ)鞏固1.有兩種糖塊，A種糖塊18元/千克，B種糖塊24元/千克，超市計劃把A, B兩種糖塊按照： 2的比例混合出售，則合理的價格應(yīng)為()A. 18元/千克B. 24元/千克C. 21元/千克D. 22

14、元/千克答案D12解析 =X18+X24 = 22（兀/千克）.1+21+2.已知100個數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是（）A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B .把這100個數(shù)據(jù)按從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.把這100個數(shù)據(jù)按從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個數(shù)據(jù)按從小到大排列后，9.3是第74個數(shù)據(jù)和第75個數(shù)據(jù)的平均數(shù)答案C解析 因為100 X 75%=75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75%分位數(shù), 是 9.3.已知一組數(shù)據(jù):125,121,123,125,127,129,125,12

15、8,130,129,126,124,125,127,126則這組數(shù)據(jù) 的25%分位數(shù)和80%分位數(shù)分別是（）A. 125,128B. 124,128C. 125,129D. 125,128.5答案 D解析 把這 15 個數(shù)據(jù)按從小到大排序可得 121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130 ,由25% X 15 = 3.75,80% X 15 = 12,可知數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第4項數(shù)據(jù)為125, 80%分位數(shù)為第12項與第13項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，艮P2 X （128 + 129） = 128.5.4.（多選）某學(xué)校高一年級在

16、校人數(shù)為600人，其中男生320人，女生280人，為了解學(xué)生身高 發(fā)展情況，按分層隨機抽樣的方法抽取80名男生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為170.2 cm, 方差為2.1；抽取70名女生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為162.0 cm,方差為3.則（） A.該校高一學(xué)生的平均身高約為166.4B.該校高一學(xué)生的平均身高約為168.2C.該校高一學(xué)生身高的方差約為2.5D.該校高一學(xué)生身高的方差約為19.3答案 AD解析 設(shè)樣本中男、女的平均數(shù)分別為7,7 ,由題意可知，T = 170.2 ,亍=162.0 且 M =320 , N =280 ,所以樣本平均數(shù) V320M+NM+所以樣本平均數(shù)

17、V320M+NM+N320+280X 170.2 +280320+280X162.0心 166.4(cm),樣本方差 s2 二一32012.1 +(170.2 - 166.4)21+ 280-3 + (162.0 - 166.4)2心 19.3 , 320+280320+280故該校高一學(xué)生的平均身高約為166.4 cm，方差約為19.3.5.從某校高一新生中隨機抽取一個容量為20的身高樣本，數(shù)據(jù)從小到大排序如下（單位:cm）, 152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171,

18、%, 174, 175.若 樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是173,則的值為（）A. 171 B. 172 C. 173 D. 174答案B解析 因為20X90% = 18 ,所以90%分位數(shù)是第18項和第19項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即2（% +174）二 173，所以 =172.從某城市隨機抽取14臺自動售貨機，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下： 8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43則這14臺自動售貨機的銷售額的50%,80%分位數(shù)分別 為，.答案 23 34解析 把14臺自動售貨機的銷售額按從小到大排序，得8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,

19、34,42,43.因為14X50% = 7,14X80% = 11.2所以50%分位數(shù)是第7項和第8項數(shù)據(jù)的平均數(shù)即：*（23+ 23） = 23,80%分位數(shù)是第12項數(shù)據(jù)34. TOC o 1-5 h z .某學(xué)校統(tǒng)計教師職稱及年齡，其中高級職稱的教師3人58歲，5人40歲，2人38歲，則 該校高級職稱教師的平均年齡為歲.答案 453X58 + 5X40 + 2X38解析 由已知條件可知高級職稱教師的平均年齡為高=二45.高3+5+2.高一和高二兩個年級的同學(xué)參加了數(shù)學(xué)競賽，高一年級有450人，高二年級有350人，通 過分層隨機抽樣的方法抽取了 160個樣本，得到兩年級的競賽成績的平均分分

20、別為80分和 90分，則高一抽取的樣本量為；高一和高二數(shù)學(xué)競賽的平均分約為.答案 90 84.375解析 由題意可得高一年級抽取的樣本量為X 450=90，高二年級抽取的樣本量為450+350一X350=70.高一和高二數(shù)學(xué)競賽的平均分約為 V=90 X80 + 70 X90二 450+35090+7090+7084.375(分).某班40個學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生某次考試成績情況如下所示:組另IJ平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差第一組904第二組806求該班學(xué)生這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.解 根據(jù)題意，全班平均成績x =90X +80X 85 , x90 入 4040第一組的平均數(shù)X 1 90,方差為用=1

21、6.第二組的平均數(shù)X2 80,方差為s2 36.則該班學(xué)生的方差S 2 一+ S 2 一+ ( X 1 - X )2 + ( X 2 - X )2= 216 + (90 - 85)2 + 236 + (80 - 85)2 51.二 S 回.綜上可得，該班學(xué)生這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為85和231.某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層隨機抽樣 的方法從中隨機抽取了 100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30), 30,40),， 80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖.估計總體400名學(xué)生中分?jǐn)?shù)小于70的人數(shù)；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40

22、的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)根據(jù)該大學(xué)規(guī)定，把15%的學(xué)生劃定為不及格，利用(2)中的數(shù)據(jù)，確定本次測試的及格分 數(shù)線，低于及格分?jǐn)?shù)線的學(xué)生需要補考.解 根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02 + 0.04) X 10 = 0.6 ,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1 - 0.6=0.4.所以估計總體400名學(xué)生中分?jǐn)?shù)小于70的人數(shù)為400 X 0.4=160.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02) X 10 = 0.9 ,分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100 - 100X0

23、.9 - 5 = 5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400X就=20.設(shè)分?jǐn)?shù)的15%分位數(shù)為1 ,分?jǐn)?shù)小于50的頻率為1 - (0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02)X10 = 0.1，分?jǐn)?shù)小于60的頻率為0.1 + 0.1= 0.2 ,所以 1 50,60)視 0.1+(1 -50)X0.01=0.15 ,解得1 = 55 ,則本次考試的及格分?jǐn)?shù)線為55分.口綜合運用.利用分層隨機抽樣抽得A, B兩組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)分別是1A=2.3, B=2.8,這兩組數(shù) 據(jù)的平均數(shù)7 =2.4,則A組數(shù)據(jù)在兩組數(shù)據(jù)中的權(quán)重wA為()答案B _4解析 由 1 = WA1 A +

24、 wB 1 B 可得 2.4 二 WA X2.3 + (1 - wA)X2.8，解得 wA = 5.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則 ()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的平均數(shù)等于乙的成績的平均數(shù)C.甲的成績的80%分位數(shù)等于乙的成績的80%分位數(shù)D.甲的成績的極差等于乙的成績的極差答案BCD解析一 4+5+6+7+8由圖可得，甲=5二 解析一 4+5+6+7+8由圖可得，甲=5二 6,乙5 甲的成績的80%分位數(shù)為與=7.5，乙的成績的80%分位數(shù)彳=7.5，所以二者相等，所以C項正確；甲的成績的極差為4 ,乙的成績的極差也

25、為4, D項正確.已知30個數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是8.2,這30個數(shù)據(jù)從小到大排列后第18個數(shù)據(jù)是7.8, 則第19個數(shù)據(jù)是.答案8.67.8+ %解析 由于30X60% = 18 ,設(shè)第19個數(shù)據(jù)為，則F=8.2，解得 = 8.6 ,即第19個數(shù) 據(jù)是8.6.某學(xué)校共有學(xué)生2 000人，其中高一 800人，高二、高三各600人，學(xué)校對學(xué)生在暑假 中每天的讀書時間做了調(diào)查統(tǒng)計，全體學(xué)生每天的讀書時間的平均數(shù)為7=3小時，方差為 s2 = 2.003,其中高一學(xué)生、高二學(xué)生每天讀書時間的平均數(shù)分別為7 1 = 2.6, 72 = 3.2,又 已知三個年級學(xué)生每天讀書時間的方差分別為s2=1, s2

26、=2, s3=3,則高三學(xué)生每天讀書時 間的平均數(shù)7 3=.答案3.3解析由 s2 - w 1s2 + ( % 1 - % )2 + w2s2 + ( % 2 - % )2 + w3s2 + ( % 3 - % )2可得，2.003 二 800600600而口 + 6 - 3)2 + 而2 +(3-2- 3)2 + 訴3 + ( % 3- 3)2，解得T 3=3.3 或 2.7.又 % - 3 , A % 3-3.3.N拓廣探究.某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購進(jìn)一批小龍蝦，并隨機抽取40只進(jìn)行統(tǒng)計，按重量分類統(tǒng)計 結(jié)果如圖：這批小龍蝦的重量的10%分位數(shù)與90%分位數(shù)分別是(2)若該經(jīng)銷商將這批小龍蝦分成三個等級，如表：等級三等品二等品等品重量