彈性力學(xué)簡明教程(第四版)-習(xí)題解答

1、 PAGE PAGE 4【2-92-172-18 上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。ohoh1 gbh2yb2FNFNFSq1h/2h/2lxyM圖2-17圖2-18圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-1。【解答】圖 2-17：上（y=0）l0m-1左-10右（x=b）10fs0 xfsghy1代入公式（2-15）得 g y h 10 g y h 10在主要邊界上 x=0， x=b 上精確滿足應(yīng)力邊界條件： x x0 x xb g(y h ),1 g(y h ),1x0 xb0;0;y 0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件： yy0 gh,xy0y 0在小邊界 y h

2、2上，能精確滿足下列位移邊界條件：uy0,v022y h22代替，當(dāng)板厚 =1時，可求得固定端約束反力分別為：F 0, FsN gh b, M 01由于 y h2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有：b dx ghb 0yyh12b 2 0yxdx 02b 22-180 xyy02dx 0上下主要邊界 y=-h/2， y=h/2 上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）y h2lm0fx0f(s)yqy h201-q01 )yy-h/ q ，)yxy-h/0，)yyh/ 0 ，)yxyh/ q1x =0 負面上應(yīng)力與面力符號相反，有h/2 )dx F h/2xy x0Sh/2 )dx F h / 2x

3、 x0Nh/2 )ydx M h/2x x0在x=l 的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件u 0,v0這兩個位移邊界xlxl條件也可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。FFNFF 0, F q l F q l FMxF0,NN1 F ql 0N1NSF ql FySM 0, M M F lASS1 ql 2 2Sq lh 0 M 21Sq12M F lSql 22由于 x=l 為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故h/2 )dy F ql F h/2x xlN1Nh/2 )ydy M q1M l ql 2 h / 2x xl2S2h/2 )dy F ql F h/2xy xlSSqox【2-10試應(yīng)用圣維

4、南原理列出圖2-19 所示的兩個Ao FxMNAM Fqb問題中OA邊上的三個積分的應(yīng)力邊界條件并比較兩者N2的面力是否是是靜力等效？l 【解答】l bhhqb2M12南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：OAfx 0, fy x q byab, ybOA 面為負面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有圖2-19b dxb f dxb xqdxqb 0yy00y0 b2b xdxb f xdxb xqb x qb2 0y00yb212 (OA 中點取矩)b yxdx 0 0y0()應(yīng)用圣維南原理，負面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢 y 向為正，主矩為負，則b dx

5、F qb 0yy0N2b xdx M qb2 0yy012b xydx 0 0y0綜上所述，在小邊界OA 上，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的?！?-14】檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：xOxOllhbxbObxbOqyqy圖2-20圖2-21（a）圖 2-20，xy2 q，b2y 0 ?！窘獯稹吭趩芜B體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足平衡微分方程（2-2（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21（3）應(yīng)力邊界條件2-1。將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且f f0 xyxxyx y 0顯然滿足xyyx將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-2，有 2

6、 等式左= x應(yīng)力分量不滿足相容方程。2 y2 =2qyb2 0 =右因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。（b）圖 2-21，由材料力學(xué)公式， x M y，IF S*sbI(取梁的厚度 b=1)，x3y x2得出所示問題的解答:x 2q，lh3-(h24 lh34y2。又根據(jù)平衡微分 xyxy3 q x 。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解答的正確性。y2 lhlh32 l【解答】（1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為 1，高為 h 的矩形，其對中性軸軸）的慣性矩I h3 ，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和12q剪力方程M(x) x3,F x qx。q26l2l所以截面內(nèi)

7、任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：Mxx3yy xI3F x4y2 x2 s1.h2 4y2。xy2bhh24lh3根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計。 y xy yx得： 3q . xyxy3 Ay根據(jù)邊界條件 yyh/22lhlh3得A q. x2l故3q . xy2q xy3 q . xy2lhlh32l將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：左 6q. x2 ylh3x2 y lh3 0右滿足第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）左 2 2 12q. xy 12q.xy 0 右 x2y2 xlh3lh3應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-1】設(shè)有

8、矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載（圖2-2，力可以不計試根據(jù)材料力學(xué)公式寫出彎應(yīng)力 0然后證明這些表達式滿y足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。OxFl（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意M(xOxFl15y的慣性矩為 Iz h3 /12 ，根據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力x M (x) Iz12F h3xy ；Fsx F ，剪應(yīng)力為F(x)S*Fhh/2 y6F h2sxy1332 yb2 y h3 4 y2 z取擠壓應(yīng)力 yh /12將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 左 12Fh212Fyh3y 0 右第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。將應(yīng)力

9、分量代入應(yīng)力表示的相容方程左 2 x ) 0右滿足相容方程y考察邊界條件在主要邊界 y h / 2 上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)ly h上2mffxy-100y h上01002代入公式（2-1，得0yy-h/2xyyh/yyh/yxyh/2在次要邊界 x=0 上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩h/2 dy 0 向面力主矢 h / 2x x0h/2 ydy 0 面力主矩 h / 2x x0 h / 2h/2 6Fh2)dy (y2)dyF 向面力主矢 h/2xy x0h/2 h34滿足應(yīng)力邊界條件FNFNFS6在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即

10、面力的主矢、主矩， FN 0,FS F, M Fl等效：h/2 )dy h/12Flydy0h / 2x xlh/2h3Nh/2)ydy h/2 12Fly2dy Fl Mh / 2x xlh/2h3h/2 )dy h/6F h2y2 dy F Fh/2xy xlh / 2 h3 4S滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。第一章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù) ay3 3-8 所示的xhlxhl矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計)?【解答】相容條:y不論系數(shù) a 取何值，應(yīng)力函數(shù) ay3 總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計時，將

11、應(yīng)力函數(shù) 代入公式(2-24)，得圖3-8考察邊界條件6ay,x 0,xy0yx上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力. 左右邊界上；a0 時，考察分布情況，注意到x 0 ，故 y 向無面力左端: fx)x x06ay yhfy 0 xy x0右端: fxx xl6ay(0 y h)fy )0 xy xl應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)l 主矢，主矩h 時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為7OAxOAxfxyx主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距 e：因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b， eePP集中荷載 p 的偏心距 e：) p pe 0 e h / 6x Ab

12、hbh2 /6同理可知，當(dāng)a h的淺梁，y修正項很小，可忽略不計。【3-133-14 所示的懸臂梁，長度為l ，高度為h l h q ，試檢驗應(yīng)力函數(shù) Ay5 Bx2 y3 Cy3 Dx2 Ex2 y 能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量?！窘獯稹坑冒肽娼夥ㄇ蠼?。相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式（2-2，得120Ay 24By 0要使 滿足相容方程，應(yīng)使A 1B（a）5求應(yīng)力分量，代入式（2-24）20Ay3 6Bx2 y 20Ay3 30Ax2 yx2By3 2D2Ey 10Ay3 2D2Eyy（b） 6Bxy2 2Ex 30 Axy2 2Exxy考察邊界條件y h 2 上，應(yīng)精確到

13、滿足應(yīng)力邊界條件10)yy h 2 0,即-8Ah3 2D Eh0（c）23)yy h q,即10Ah3 2D Eh q（d）830)yxy h 20,即Axh2 2Ex0（e）4聯(lián)立式（d（，可得：Aq, D q , E , B （f）5h344hh3x 0 分的應(yīng)力邊界條件：h/2 h / 2)x x0dy 0滿足條件h/2 h / 2)x x0ydy h/2 h / 2(20 Ay3 6Cy) ydy 0Ah520（g）h/2 h / 2A的值帶入（，得)xy x0dy 0滿足C= q（h）10h將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式（b，得qy (4 y2 3 6 x2 )xhh25h2 q (1

14、 3 y 4 y3)y2hh3 xy2 xy(14)2 hh2【3-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力 2 F 和矩 M的作用（圖 3-15不計體力，試用應(yīng)力函數(shù) Ay2 Bxy Cxy3 Dy3 求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?。相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足。求應(yīng)力分量：將 代入（2-24） 2A6Cxy 6Dyx0（a）y B3Cy2xy24考察邊界條件。在主要邊界 y b / 2 上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件yyb/20滿足3xyyb/2 q, BCb2 q（b）4在次要邊界 x=0 上，可用圣維南原理，寫出三個積分應(yīng)力邊界條件 b / 2 (b / 2

15、)x x0dy F(2Ay3Dy2)b/2b / 2 F（c） b / 2)ydy Mb / 2 Ay2 2Dy3 M（d）b/2x x02b / 2 b / 2 dy FBy Cy3b/ F（e）b/2xyxob / 2聯(lián)立（b（d（）式得A F ，B 1q3F ，C 2 q F ，D （f）22bb2b b3將各系數(shù)據(jù)（）代入式（，得應(yīng)力分量解答F12F 12Mqxyyxybb2 b b3 1 q 3F 6 q xy2b b2 b 【分析】本題題目中原教材給出的坐標(biāo)軸有誤，無法計算。xy 后可以計算，但計算結(jié)果與題目提示解答幾乎完全不同，又將 y 左為正方向，才得到提示結(jié)果。可見，在求解問

16、題時，坐標(biāo)軸的方向及原點的位置與解答關(guān)系密切，坐標(biāo)軸不同可得到完全不同的結(jié)果?！?-15】擋水墻的密度為 1，厚度為 b(圖 3-16)，水的密度為，試求應(yīng)力分量。2（1）假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因為在y b / 2 邊界上，0；y b/2邊界上， gx，所以可以假設(shè)在yy2區(qū)域內(nèi)為y xf yy25 PAGE PAGE 27推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推求 的形式y(tǒng) 2yx2 xf y x2f y fyx21 x36f yxf1y f2y由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將代入 0，得x3 d 4 f xd 4 f1d 4 f22xd 2 f 06dy4dy4x處都成立，必須d4 fdy4dy2dy4 0 f

17、 ( y) Ay3 By2 Cy D;d4 fd2 fAB1 2 0 f ( y)y5 y4 Gy3 Hy2 Iy;dy4dy2d4 f11062dy4 0 f ( y) Ey3 Fy22代入 即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已經(jīng)略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次項，得應(yīng)力函數(shù)x3Ay5By4為：(Ay3 By2 CyD)x( Gy3 Hy2 Iy) (Ey3 Fy2 )6106（4 ） 由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量， 將 代入公式（2-24 ， 注意體力f g, f0，求得應(yīng)力分量表達式x1y3x23xB y2 fx x x3 Ay 2Ay3 2By2 2H26Ey 2F gx11 fyx2y x Ay3 By2 Cy D2x2 A2Bxyxy23Ay2 2By Cy4 23y3 3Gy2 2Hy I（5）考察邊界條件在主要邊界 y b / 2 上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件 gxb3x ABb2C b D gxyyb/228422 yyb/0 xAb3 Bb2 Cb D0842 0 x2 A3b2 BbCAb4 Bb3 G03b24Hb Ixyyb/3b24Hb I由上式得到3b2A4 Bb C