醫(yī)學統(tǒng)計 數(shù)值變量的描述性統(tǒng)計課件

1、第二章 數(shù)值變量的描述性統(tǒng)計山東大學公共衛(wèi)生學院劉云霞1主要內(nèi)容2.1 頻數(shù)分布2.2 集中趨勢2.3 離散趨勢2.4 正態(tài)分布及其應用22.1 頻數(shù)分布頻數(shù)分布表的概念頻數(shù)分布表的編制方法頻數(shù)分布的特征頻數(shù)分布的類型頻數(shù)分布表的用途3 例2.1某地2004年抽樣調(diào)查 100名男大學生的身高(cm)1074一、頻數(shù)分布表的概念當樣本含量 n 較大時，為了解樣本中觀察值的分布規(guī)律和便于指標計算，可編制頻數(shù)分布表，簡稱頻數(shù)表（frequency table）。頻數(shù)：對某一隨機現(xiàn)象進行重復觀察，或測量大量個體的某項特征，其中某個或某一組變量值出現(xiàn)的次數(shù)。頻數(shù)表：將各變量值與其相應的頻數(shù)列成表格形式即

2、為頻數(shù)表。5全距(或極差，range)是最大值與最小值之差，用 R 表示。例2.1中，最大值為183.5cm，最小值為162.9cm， 故R =183.5-162.9=20.6（cm）。1. 求全距數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制7組段數(shù)：根據(jù)樣本含量的多少確定，一般設813個組段。組距：各組段的起點和終點分別稱為下限和上限，相鄰兩組段的下限之差(或每一組段的上、下限之差)稱為組距。一般取等距分組，常用全距的1/10取整做組距。某組段(下限+上限)/2為組中值。劃分組段：各組段應是連續(xù)的，不能有交叉或重疊。第一組段應包括最小值；最末組段應包括最大值，并同時寫出其下限與上限。例2.1中，全距的1/10為

3、 20.6/10 = 2.06，組距取整為2.0cm ；最小值為162.9cm，故第一組段的下限為162cm，第二組段的下限為164cm，依次類推，最末組段為182cm184cm，包含最大值183.5cm 。 2. 確定組段和組距數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制82010三、頻數(shù)分布的特征頻數(shù)分布的兩個重要特征： 1. 集中趨勢（central tendency）：身高向中央部分集中，以中等身高居多(172cm組段)，此為集中趨勢。反映集中位置或平均水平。 2. 離散程度（tendency of dispersion）：由中等身高到較矮或較高的頻數(shù)分布逐漸減少，反映了身高的離散程度。對于數(shù)值變量資料，

4、應用集中趨勢和離散程度二者結(jié)合起來分析其分布規(guī)律。 11圖 某地100名18 歲男大學生身高的頻數(shù)分布集中趨勢離散程度4512圖2-1 某地100名18歲男大學生身高的頻數(shù)分布14五、頻數(shù)表的用途頻數(shù)表可以揭示資料分布類型和分布特征，以便選取適當?shù)慕y(tǒng)計方法；便于進一步計算指標和進行統(tǒng)計分析；便于發(fā)現(xiàn)資料中的某些特大或特小的可疑值。當樣本含量特別大時，可以頻率估計概率。作為資料的陳述形式。在文獻報告中，用頻數(shù)表既可直觀地反映被研究事物的分布特征，又便于作進一步的分析研究。15一、均數(shù)均數(shù)(mean)是算術(shù)均數(shù)(arithmetic mean)的簡稱。定義：指所有觀察值的代數(shù)和除以觀察值的個數(shù)。符

5、號：樣本均數(shù)用 表示，總體均數(shù)用 (miu)表示。 應用： 用于反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平，應用 甚廣。 適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的數(shù)值變量資料。計算方法：直接法 加權(quán)法17直接法：用于樣本含量 n 較小時，公式為： 式中，希臘字母 (sigma)表示求和； 為各觀察值；n為樣本含量，即觀察值的個數(shù)。例2.2 某地隨機抽取10名18歲健康男大學生身高(cm)分別為168.7，178.4，170.0，170.4，172.1，167.6，172.4，170.7，177.3，169.7，求平均身高。 集中趨勢的描述指標-均數(shù)-直接法(cm)18加權(quán)法：用于頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時，其公式

6、為：例2.3 計算例2.1表2-1 資料100名男大學生的平均身高。 集中趨勢的描述指標-均數(shù)-加權(quán)法該100名18歲健康男大學生身高的均數(shù)為172.70cm。19幾何均數(shù)（geometric mean）定義：指一組觀察值的乘積，再被觀察值個數(shù)開方。符號：用 表示應用：適用于 數(shù)據(jù)經(jīng)過對數(shù)變換后呈正態(tài)分布的（對數(shù)正態(tài)分布）資料；觀察值之間呈倍數(shù)或近似倍數(shù)變化（等比關系）的資料。如醫(yī)學實踐中的抗體滴度、平均效價等。計算方法：直接法 頻數(shù)表法二、幾何均數(shù)20例2.4 有6份血清的抗體效價為1:10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160, 求其平均效價。 集中趨勢的描述指標-幾何均數(shù)-

7、直接法該6份血清的平均抗體效價為1:45。 或樣本含量 n 較小時21計算公式：例2.5 某地區(qū)50名麻疹易感兒童接種麻疹疫苗1個月后，測其血凝抑制抗體滴度，如表2-2中(1)、(2)欄，求平均抗體滴度。集中趨勢的描述指標-幾何均數(shù)-頻數(shù)表法頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時22注意：計算幾何均數(shù)時觀察值中不能有0；一組觀察值中不能同時有正值和負值。集中趨勢的描述指標-幾何均數(shù)-加權(quán)法即其血凝抗體滴度的平均滴度為1:57。24中位數(shù)（median）是一種位置指標。定義：將一組觀察值按由小到大的順序排列后位次居中的數(shù)值就是中位數(shù)，小于和大于中位數(shù)的觀察值個數(shù)相等。符號：用 M 表示。應用：用于描

8、述任何分布，特別是偏態(tài)分布資料以及頻數(shù)分布的一端或兩端無確切數(shù)據(jù)資料的中心位置。計算方法：直接法 頻數(shù)表法三、中位數(shù)50%50%M25計算步驟：按所分組段由小到大計算累計頻數(shù)和累計頻率；確定中位數(shù)所在組段，即累計頻率包含50的組段；求中位數(shù)。 式中， 分別為中位數(shù)所在組段的下限、組距和頻數(shù)； 為小于L的各組段的累計頻數(shù)。 例2.7 某疾病控制中心記錄了199名沙門氏菌屬食物中毒患者發(fā)病的潛伏期(表2-3)，計算平均發(fā)病潛伏期。集中趨勢的描述指標-中位數(shù)-頻數(shù)表法適用于n 較大時27集中趨勢的描述指標-中位數(shù)-頻數(shù)表法28例：分別取甲、乙、丙三人每人的耳垂血，然后紅細胞計數(shù)，每人數(shù)5個計數(shù)盤，得

9、結(jié)果如下（萬/mm3）2.3 離散趨勢甲乙丙29全距（range，簡記為 R）亦稱極差。定義：指一組同質(zhì)觀察值中最大值與最小值之差。全距反映了個體差異的范圍：全距大，說明變異度大；反之，全距小，說明變異度小。應用：簡單明了。常用于說明傳染病、食物中毒等的最短及最長潛伏期。公式：R = xmax- xmin不足：僅考慮了最大值與最小值之差 ，不能反映組內(nèi)其它觀察值的變異度；樣本含量越大，抽到較大或較小觀察值的可能性越大，故全距可能越大。因此，樣本含量相差懸殊時不宜用全距比較。 一、全距30二、百分位數(shù)百分位數(shù)（percentile）用 表示，0 x 100，是描述一組數(shù)據(jù)某百分位的位置指標。 將

10、全部觀察值分為兩部分，理論上有x的觀察值比它小，有(100-x)的觀察值比它大。最常用的百分位數(shù)是 ，即中位數(shù)。應用：常與中位數(shù)結(jié)合應用，可以描述一組資料在某百分位置上的水平，也可以描述資料的分布特征。 M - P5 = P95 M 時，分布近似對稱 M -P5 P95 M 時，分布呈負偏態(tài)P5P95M31百分位數(shù)（percentile）應用：也可用多個百分位數(shù)的結(jié)合來描述一組觀察值的分布特征，如 和 合用時，反映中間50%觀察值的分布情況； 百分位數(shù)可用于確定非正態(tài)分布資料的醫(yī)學參考值范圍。注意：應用百分位數(shù)，樣本含量要足夠大，否則不宜取靠近兩端的百分位數(shù)。計算公式： 分別為 所在組段的下限

11、、組距和頻數(shù)； 為小于L的各組段的累計頻數(shù)。 32百分位數(shù)33定義：四分位數(shù)間距(quartile interval，Q ) 為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差(或 與 之差)。計算公式：應用：用于描述偏態(tài)分布以及分布的一端或兩端無確切數(shù)值資料或分布類型未知資料的離散程度。三、四分位數(shù)間距QLQMQU25%25%25%25%34四分位數(shù)間距包括了一組觀察值的一半，故可把四分位數(shù)間距看成是中間50%觀察值的極差。意義：Q 越大，變異度越大；反之，Q 越小，變異度越小。特點：由于四分位數(shù)間距不受兩端個別極大值或極小值的影響，因而它較全距穩(wěn)定，但仍未考慮全部觀察值的變異度 。 離散程度的描述指標-四分位數(shù)

12、間距35極差和四分位數(shù)間距都只考慮了個別觀察值的大小差異，沒有全面反映每個觀察值的變異程度。就總體而言，即應考慮總體中每個觀察值 與總體均數(shù) 的差值( )，即離均差。因離均差之和 ，不能反映變異度的大小，故用離均差平方和 (sum of squares of deviations from mean)反映之。離均差平方和的大小除與變異度有關外，還與變量值的個數(shù)N 有關。為了消除這一影響，取離均差平方和的均數(shù)，稱方差(variance)或均方(mean of squares)。四、方差36計算公式： 總體方差 樣本方差n-1為自由度(degree of freedom)，一般用 (niu)表示。

13、因方差的度量單位是原度量單位的平方，故計算結(jié)果難以解釋。 離散程度的描述指標-方差樣本方差用自由度n-1去除!37計算公式： 總體標準差 樣本標準差五、標準差樣本標準差用自由度n-1去除!38樣本標準差離均差平方和 常用 或 表示。 直接法： 加權(quán)法： 求表2-1中100名18歲男大學生身高的標準差。 39意義：標準差大，表示觀察值的變異度大； 反之，標準差小，表示觀察值的變異度小。應用：適用于描述對稱分布資料尤其是正態(tài)分布資 料的離散程度。 結(jié)合均數(shù)，描述正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布規(guī) 律，用于估計醫(yī)學參考值范圍； 結(jié)合均數(shù)，計算變異系數(shù)； 結(jié)合樣本含量，計算標準誤，估計抽樣誤 差，用于統(tǒng)計推斷。

14、標準差40例題甲：n=5 x=2500 x2=1260400乙：n=5 x=2500 x2=1251000丙：n=5 x=2500 x2=1250250(萬/mm3)(萬/mm3)(萬/mm3)41變異系數(shù)(coefficient of variation, CV )，是標準差與均數(shù)的比值，用百分數(shù)表示，沒有單位。計算公式：應用：常用于比較度量單位不同或均數(shù)相差懸殊的兩組(或多組)資料的變異度。六、變異系數(shù)42例2.9 某地調(diào)查100名18歲男大學生，身高(cm) 為172.70， 為4.01；體重(kg) 為55.02， 為4.06，試比較兩者變異度。 由此可見，該地18歲男大學生體重的變異

15、度大于身高的變異度。變異系數(shù)例題身高：體重：43例 某地調(diào)查100名7歲男童的身高(cm) 為119.95， 為4.72；100名18歲男大學生的身高(cm) 為172.70， 為4.01。試比較兩者變異度。 由此可見，該地7歲男童身高的變異程度較18歲男大學生大。變異系數(shù)例題7歲男童：18歲男大學生：44生物現(xiàn)象中有許多變量服從正態(tài)分布，如健康人群的大部分反映身體形態(tài)、生理功能、機體代謝及免疫狀況的解剖學、生理、生化、免疫學指標，一般都基本服從正態(tài)分布。例2.1中，由100名18歲男大學生的身高資料所繪制的直方圖可看出，高峰位于中部，左右兩側(cè)大致對稱。設想，如果觀察例數(shù)逐漸增多，組段不斷分細

16、，直方圖頂端中點的連線就會逐漸形成一條高峰位于中央(均數(shù)所在處)，兩側(cè)逐漸降低且左右對稱，不與橫軸相交的光滑曲線。該頻數(shù)曲線(或頻率曲線)被稱作正態(tài)分布曲線。4 正態(tài)分布及其應用1245圖2-1 頻數(shù)分布逐漸接近正態(tài)分布示意圖46正態(tài)分布(normal distribution)，也叫高斯分布(Gaussian distribution)，是最常見、最重要的一種連續(xù)型分布。定義：設 x 為一隨機變量，若其概率密度函數(shù)可以表示為： 稱 x 服從均數(shù)為 、方差為 的正態(tài)分布，記為 。一、正態(tài)分布的概念及特征47 根據(jù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 當 和 已知時，以 為橫軸， 為縱軸，可繪出正態(tài)分布圖形

17、正態(tài)曲線（normal curve）。 1. 正態(tài)分布的圖形Xf(X)m48正態(tài)曲線在橫軸上方均數(shù)處最高。正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。正態(tài)分布有2個參數(shù)-均數(shù)和標準差。均數(shù)決定了曲線的位置，稱為位置參數(shù)；標準差決定了曲線的形狀，稱為變異度參數(shù)。正態(tài)分布在 處各有一個拐點。 正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。2. 正態(tài)分布的特征Xf(X)m49正態(tài)分布的特征(1) 正態(tài)曲線為單峰曲線，在橫軸上方均數(shù)處最高，曲線兩端均以橫軸為漸近線。(2) 正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。50(3) 正態(tài)分布有2個參數(shù)，即均數(shù) 和標準差。 是位置參數(shù)，當 固定不變時， 越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之， 越小，

18、則曲線沿橫軸越向左移動。 是形狀參數(shù)(亦稱變異度參數(shù))，當 固定不變時， 越大，曲線越平闊； 越小，曲線越尖峭。通常用N( ,2)表示均數(shù)為 ，標準差為 的正態(tài)分布。 不變， 發(fā)生變化 不變， 發(fā)生變化正態(tài)分布的特征51(4) 正態(tài)分布在 處各有一個拐點。 +凸凹凹(5) 正態(tài)曲線下的面積分布有一定規(guī)律。（見下文）正態(tài)分布的特征52標準正態(tài)分布 (standard normal distribution)： 均數(shù) ，標準差 的正態(tài)分布 稱為標準正態(tài)分布。概率密度函數(shù)為： 3. 標準正態(tài)分布53 若 x N ( ,2)，對 x 進行如下變換： 則可證明，u服從標準正態(tài)分布，即 u N (0 ,1

19、)。標準正態(tài)變換標準正態(tài)離差標準正態(tài)變量x N ( ,2)u N (0 ,1)標準正態(tài)變換標準正態(tài)分布與一般正態(tài)分布的關系:54標準正態(tài)曲線只有一條，因此其性質(zhì)、規(guī)律都是固定的，而普通正態(tài)分布 又可通過 u 變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布 ，從而為研究帶來極大的方便。但在實際應用中，常以樣本為研究對象， 和 未知，此時當 n 足夠大時，可以樣本均數(shù) 和樣本標準差 代替 和 ，則標準正態(tài)變換為 。標準正態(tài)分布55正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。利用曲線下某一區(qū)間的面積占總面積的百分比，可以估計該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比（頻數(shù)分布）或估計觀察值落在該區(qū)間的概率。 正態(tài)曲線下某一區(qū)間的面積可通過對概率密度

20、函數(shù)積分求得。二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律561. 正態(tài)曲線下面積的計算圖1中陰影部分反映了(-，x)的面積，計算方法如下：圖2中陰影部分（代表任意區(qū)間）的面積，理論上可以如下計算：xab正態(tài)分布的分布函數(shù)572. 標準正態(tài)曲線下的面積計算對于標準正態(tài)分布，其分布函數(shù)記為 即標準正態(tài)曲線下（-, u）的面積，其大小隨u的變化而變化。為了應用方便，統(tǒng)計學家按 編制了標準正態(tài)分布曲線下的面積分布表(簡稱 u 值表) ，可以根據(jù)u值查表得到區(qū)間（-, u）的面積。58u-x1x2(u)u59603. 一般正態(tài)分布曲線下的面積對于一般的正態(tài)分布 N( , 2)，其曲線下（-, x）區(qū)間的面積除與x有關

21、外，還與 和 有關。即不同的正態(tài)曲線，由于其位置和形狀不同，同一區(qū)間內(nèi)的面積是不同的。但可利用標準正態(tài)變換 ，將N( , 2)轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，再根據(jù)標準正態(tài)曲線下的面積分布表推算。611. 求 u 值當 、 和 已知時，按 求得 值，再查 值表，求得所求區(qū)間的面積占總面積的比例；當 、 未知且樣本含量n足夠大時，可用樣本均數(shù) 和標準差 分別代替 和 求得 u 的估計值。2. 查 u 值表根據(jù)所求的 u 值查表。查u界值表的步驟：62曲線下橫軸上方的總面積為100 或1；附表僅列出了標準正態(tài)曲線下-到u的面積；標準正態(tài)曲線下對稱于0的區(qū)間其面積相等，如 和 的面積相等， 即 。應用u界值表時

22、應注意：(u)u63例2.10由例2.1資料得：100名18歲男大學生身高的均數(shù) cm，標準差 cm。試估計該地18歲男大學生身高在168cm以下者占該地18歲男大學生總數(shù)的百分數(shù)。本例， 未知但n較大，用 和 分別代替 和 ，按 求得 值 。 查附表1標準正態(tài)曲線下的面積得0.1210，即該地18歲男大學生身高在168cm以下者，約占總數(shù)的12.10%。 64實例： mmol/L， mmol/L， 。 試估計該地正常女子血清甘油三脂在1.10 mmol/L以上者占正常女子血清甘油三脂總?cè)藬?shù)的百分比。本例， 未知但n較大，用 和 分別代替 和 ，按 求得 值，將x=1.10 mmol/L代入公

23、式， 。查u界值表得1-(-0.14)0.5557，即該地正常女子血清甘油三脂在1.10mmol/L以上者占總?cè)藬?shù)的55.57%。 65實例圖示55.57664. 常用正態(tài)曲線下面積及其對應的分位數(shù)x = + u67-+-1.645+1.645-1.96+1.96 -2.58+2.5815.866%15.866%68.27%5%5%90%2.5%2.5%95%99%0.5%0.5%68三、正態(tài)分布的應用許多醫(yī)學現(xiàn)象服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，如同性別、同年齡兒童的身高；同性別健康成年人的紅細胞數(shù)、血紅蛋白含量、膽固醇、心率等生理生化指標；醫(yī)學實驗中的隨機誤差等，一般都呈現(xiàn)正態(tài)或近似正態(tài)分布，故

24、可按正態(tài)分布規(guī)律處理。有些醫(yī)學資料雖然本身呈偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)變換后可成為正態(tài)或近似正態(tài)分布，如疾病的潛伏期、醫(yī)院病人的住院天數(shù)等，在施加對數(shù)變換后，轉(zhuǎn)化成正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，也可以按正態(tài)分布規(guī)律處理。691. 制定醫(yī)學參考值范圍 醫(yī)學參考值范圍（reference ranges），亦稱醫(yī)學正常值范圍，是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標的波動范圍。所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標的疾病和有關因素的同質(zhì)人群。70醫(yī)學正常值范圍的用途作為診斷標準，劃分正常與異常的界限；根據(jù)傳染病傳染期的長短確定該病患者的隔離期限，或根據(jù)潛伏期長短確定接觸者的留驗期限；制訂衛(wèi)生標準及有害物質(zhì)的容許濃度，作為保護健康的安全界限；制訂不同性別、年齡兒童的某項生長發(fā)育指標的等級標準；在質(zhì)量控制中制訂各種控制限。71制定醫(yī)學參考值范圍的步驟及要求 1. 選取研究對象，要求樣本含量足夠大，保證研究對象的同質(zhì)性；2. 根據(jù)研究目的和使用要求選定適當?shù)陌俜纸缰?，?0，90，95和99，常用95；3. 根據(jù)指標的實際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細胞計數(shù)過高或過低皆屬不正常，須確定雙側(cè)界值；又如肝功能檢查中轉(zhuǎn)氨酶過高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過低屬不正常須確定單側(cè)下界；4. 根據(jù)資料的分布特點，選用恰當?shù)慕缰涤嬎惴椒ā?2單側(cè)或