有限元法及其在工程中的應用

1、機械與汽車學院曹國強主要內容：1、有限元法的基本思想。2、結構力學模型的簡化和結構離散化。3、有限元法的實施過程。、有限元法的基本思想有限元法是隨著計算機的發(fā)展而發(fā)展起來的一種有效的數(shù)值方法。其基本思想是：將連續(xù)的結構分割成數(shù)目有限的小單元體（稱為單元），這些小單元體彼此之間只在數(shù)目有限的指定點（稱為節(jié)點）上相互連接。用這些/單元體組成的集合體來代替原來的連續(xù)結構。再把每個小單元體上實際作用的外載荷按彈性力學中的虛功等效原理分配到單元的節(jié)點上，構成等效節(jié)點力，并按結構實際約束情況決定受約束節(jié)點的約束。這一過程稱為結構的離散化。其次，對每個小單元體選擇一個簡單的函數(shù)來近似地表示其位移分量的分布規(guī)

2、律，并按彈性力學中的變分原理建立起單元節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關系（單元剛度方程），最后，把全部單元的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關系組集起來，就得到了一組以結構節(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程組（總體剛度方程），同時考慮結構的約束情況，消去那些結構節(jié)點位移為零的方程，再由最后的代數(shù)方程組就可求得結構上有限個離散節(jié)點的各位移分量。求得了結構上各節(jié)點的位移分量之后，即可按單元的幾何方程和物理方程求得各單元的應變和節(jié)點:as.+單元:應力節(jié)點:as.+單元:空同中的坐標竝置，具有一定自由度和存在相互物理作用D一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值.矩陣描述稱為剛度或系數(shù)拒陣b單元有韁面或騏體以貶二S或三維的單元等種類O

3、有限元模型蟲一些簡單形狀的單川;組成，單元之冋通過節(jié)點連接，并承曼一定載荷.有限元法的實質就是把具有無限個自由度的連續(xù)體，理想化為有限個自由度的單元的集合體，使問題簡化為適合于數(shù)值解法的結構型問題。經(jīng)典解法（解析法）與有限元法的區(qū)別微元數(shù)目增加到8大小趨于0解析法建立一個描述連續(xù)體性質的偏微分方程組解析法建立一個描述連續(xù)體性質的偏微分方程組有限元解法有限元連續(xù)體罔散化單元集口代替原連續(xù)體（單元分析）總體分析求得近似解二、結構力學模型的簡化和結構離散化（一）結構力學模型的簡化用有限元法硏究實際工程結構問題時，首先要從工程實際問題中抽象出力學模型，即要對實際問題的邊界條件、約束條件和外載荷進行簡化

4、，這種簡化應盡可能地反映實際情況，不至于使簡化后的解答與實際差別過大，但也不要帶來計算上的過分復雜，在力學模型的簡化過程中，必須判斷實際結構的問題類型，是二維問題還是三維問題。如果是平面問題，是平面應力問題，還是平面應變問題。同時還要搞清楚結構是否對稱，外載荷大小和作用位置，結構的幾何尺寸和力學參數(shù)（彈性模量E、波松比等）。（二）結構的離散化將已經(jīng)簡化好的結構力學模型劃分成只在一些節(jié)點連續(xù)的有限個單元，把每個單元看成是一個連續(xù)的小單元體，各單元之間只在一些點上互相聯(lián)結，這些點稱作節(jié)點，每個單元體稱為一個單元。用只在節(jié)點處連接的單元的集合體代替原來的連續(xù)結構，把外載荷按虛功等效原理移置到有關受載

5、的節(jié)點上，構成節(jié)點載荷，把連續(xù)結構進行這樣分割的過程稱為結構的離散化。現(xiàn)舉例說明。設一平面薄板，中間有一個園孔，其左端固定，右端受面力載荷q，試對其進行有限元分割和力學模型簡化。ANYS薄板模型的應力變化曲線薄板模型的位移變化曲線三、有限元方法的實施過程有限元方法的實施過程可以分為三個步驟：1、前處理。將整體結構或其一部分簡化為理想的數(shù)學模型，用離散化的網(wǎng)格代替連續(xù)的實體結構。2、計算分析。分析計算結構的受力、變形及特性。3、將計算結果進行整理和歸納。對于有限元程序使用者而言/第一步和第三步的工作量最大/一個有限元程序DIQ7的好壞，在很大程度上取決于第一步的前處理和第三步的后處理功能是否強大

6、。前處理對于第一步的前處理而言，要根據(jù)計算的目的和所關心的區(qū)域，將結構模型化、離散化。需要給出下列信息：（1）節(jié)點的空間位置。（2）單元與節(jié)點的連接信息。（3）結構的物質特性和材料參數(shù)。（4）邊界條件或約束。（5）各類載荷。在構成離散模型時，為了使模型較為合理，必須遵循以下的原則：（1）使計算模型盡量簡化，以減少計算時間和容量，但又必須抓住主要因素以不影響計算精度。（2）在所關心的區(qū)域加密計算網(wǎng)格。后處理有限元計算是一種大規(guī)模的科學計算，其特點是除了要花費巨大的計算機處理能力外，在計算過程中還會產(chǎn)生巨大數(shù)量的數(shù)字信息。只有在計算輸出信息進行仔細分析理解之后，才能洞察計算中發(fā)生的情況和問題，才能獲得對被研究對象的認識和見解。在大多數(shù)情況下，被研究的對象都是三維介質中的場分布問題（應力分布、位移分布、壓力分布、電場分布等），即所謂的“四維”問題。鑒于其計算結果分析的復雜性，人們提出了科學計算可視性的要求，即把四維的數(shù)據(jù)進行圖形處理或稱為可視化處理，使人們能夠看到場的分布圖象，從圖象上直接進