工程測量誤差測量理論例題和習(xí)題(專題復(fù)習(xí))

1、測量誤差理論nnmi(i=，2n)i【例】設(shè)有兩組同精度觀測值,其真誤差分別為:+3、1、3、+4、+2、-1、4;其次組+1、5、1、+6、4、0、+3、-1.試比較這兩組觀測值的精度，即求中誤差。解：由于m m ，可見第一組觀測值的精度比其次組高。同時(shí),通過其次組觀測誤差的分布情12況可看出其誤差值的波動(dòng)幅度較大,因而也可推斷出其次組觀測值的穩(wěn)定性較差，則精度較低. 二、相對誤差：觀測值中誤差m的確定值與相應(yīng)觀測值S相比,并化為分子為1、分母為整數(shù)的形式，即三、誤差傳播定律（610)【例】丈量某段斜距S=106.28m，斜距的豎角,斜距和豎角的中誤差分別為、，求斜距對應(yīng)的平距D及其中誤差.

2、解：平距由于是一個(gè)非線性函數(shù)，所以,對等式兩邊取全微分,化成線性函數(shù)，并用“”代替“d”得再依據(jù)（6-29）式，可以直接寫出平距方差計(jì)算公式，并求出平距方差值因此，平距的中誤差為:mD=5 cm.則最終平距可表示為:D=105。1130。050 m。單位和長度單位,所以，應(yīng)留意各項(xiàng)單位要統(tǒng)一。例如，上例中的角值需要化為弧度。綜上所述,應(yīng)用誤差傳播定律求任意函數(shù)中誤差的步驟如下： 列獨(dú)立觀測值函數(shù)式對函數(shù)式進(jìn)行全微分寫出中誤差關(guān)系式應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)特殊留意兩點(diǎn)：正確列出函數(shù)式；函數(shù)式中的各個(gè)觀測值必需是獨(dú)立觀測值。【例】用長度為l=30m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差m=5mm，求全

3、長D及其中誤差m 。D解:列獨(dú)立觀測值函數(shù)式對函數(shù)式進(jìn)行全微分寫出中誤差關(guān)系式則，全長的中誤差為m =D假如接受下面方法計(jì)算該題，考慮錯(cuò)誤之處：先列出函數(shù)式D=10l，寫出全長D的中誤差關(guān)系式 并計(jì)算中誤差mD=10m=105=50mm.答案錯(cuò)誤,緣由在于錯(cuò)誤地列出了函數(shù)式.【例】設(shè)有函數(shù)式Z=y+2y+1,而y=3x，y=2x+2，已知x的中誤差為m ，求Z的中誤差。1212x解：若直接利用式(616）和（6-23）計(jì)算,則函數(shù)Z的中誤差y1和y2均是x的函數(shù),它們不是相互獨(dú)立的觀測值，因此，不y 和y 代入函數(shù)式Z,合并同類項(xiàng)后即為獨(dú)12立觀測值，再應(yīng)用誤差傳播定律，即【例】對某段距離進(jìn)行

4、了563，試計(jì)算該段距離的最或然值及其中誤差。計(jì)算見表63。序序L改正數(shù)VV精度評定最或是值：m觀測值中誤差:cm :cm觀測成果：x=251。4940。01mL=1257.47V=0VV=20號(m）V(cm）（cm）1251。52392251.46+393251。49004251.48115251。50+11四、加權(quán)平均值及其中誤差【例】已知觀測值分別為L 、L 、L ,其中誤差分別為m =1、m2、m =3,123123則它們的權(quán)分別為：取=1時(shí)， 取=4時(shí)， 取=36時(shí)，【例】水準(zhǔn)測量中按測站數(shù)和水準(zhǔn)測量距離定權(quán).設(shè)在A、B兩點(diǎn)間進(jìn)行水準(zhǔn)測量，共設(shè)置了n個(gè)測站，各測站的高差分別為h 、

5、h 、h ,則A、B點(diǎn)間的高差h為12nABnhAB=h1+h2+h （638)n若每個(gè)測站的高差中誤差為m ,則依據(jù)誤差傳播定律可得h的中誤差為站AB（639）sA=s，由式63）可得h的中誤差A(yù)B（640）=m因此,式（6-40）變?yōu)?641)=，可見為每公里水準(zhǔn)測量高差的中誤差。公里由式（6-39)和(641）可得:水準(zhǔn)測量高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比，與距離的 平方根成正比?？梢?，在水準(zhǔn)測量中，測站數(shù)越少或距離越短，則觀測高差的精度越高。若取，依據(jù)權(quán)定義式3）(639可得觀測高差h的權(quán)為AB（642）若取c公里觀測高差的中誤差為單位權(quán)中誤差m公里可得觀測高差h的權(quán)為AB(643）

6、由（642)和（643）式可知:水準(zhǔn)測量高差的權(quán)與測站數(shù)成反比，與水準(zhǔn)路線的長度成反比。所以，通過測站數(shù)和水準(zhǔn)測量距離就可以確定觀測高差的權(quán),而不需要利用中誤差來定權(quán).n 、n 、nn 批觀12n測，得相應(yīng)的算術(shù)平均值為LLL ,求 LLL 的權(quán)。12n12n1解:m 、m 、m m1n因此，相應(yīng)的權(quán)為,再令，則,若取 c=1，則（6-44）可見,在相同的觀測條件下,算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比(或相等。n設(shè) 個(gè)不等精度觀測值L 、L 、L ，相應(yīng)的權(quán)分別為P 、P 、P ，則最或然值（稱n12n12n為加權(quán)平均值）為（645） P1PP=1 相同。下面依據(jù)式(645）推算加權(quán)平均值的中誤差

7、。設(shè)觀測值L1、L2、Ln的中誤差分別為m 、m 、m ,則依據(jù)誤差傳播定律可得加權(quán)平均值的中誤差為12n（646）由權(quán)定義式（637),有，代入式（646）可得(647）實(shí)際計(jì)算時(shí)，上式中的單位權(quán)中誤差 可用觀測值的改正數(shù)來計(jì)算，其計(jì)算公式為（648)6-4）代入式64，可得加權(quán)平均值的中誤差計(jì)算公式(650)i【例】如圖63所示，從已知水準(zhǔn)點(diǎn)A、B、C經(jīng)三條水準(zhǔn)路線,測得E點(diǎn)的觀測高程H 及水準(zhǔn)路ii線長S（見表4，E點(diǎn)的加權(quán)平均值及其中誤差各條水準(zhǔn)路線權(quán)：（由式643可得)i加權(quán)平均值：加權(quán)平均值中誤差：E則E點(diǎn)高程:H =527.4690。009（m） E圖63 不等精度水準(zhǔn)路線觀E觀

8、E點(diǎn)觀測高程觀測路線長度觀測值的改正數(shù)測路線HS觀測高程權(quán)PVVi（m）i(km)（mm)1527。4594.50.221022。002527。4843。20。311569。753527。4584。00.251130.25五、思考題習(xí)題:1。觀測條件主要由那些因素構(gòu)成？2。觀測誤差分為哪幾類?它們各自是怎樣定義的？試舉例說明。:（1)視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行；(2）儀器下沉；(3);(4）（5）水準(zhǔn)尺傾斜。?測量中為什么要進(jìn)行多余觀測?5。偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是什么?偶然誤差的概率分布曲線能說明哪些問題?真誤差是否相等?它們的相對中誤差是否相等？在三角形 ABC 中,已測出求的值及其中誤差。兩個(gè)等

9、精度觀測角度之和的中誤差為,問每個(gè)角的觀測值中誤差是多少? 3940.8、3940.6，試計(jì)算該角的最或然值及其中誤差。12（3）兩段直線之差的相對中誤差.50m，容許誤差為中誤差的兩倍，求測段12。水準(zhǔn)測量從點(diǎn)AB，如附圖所示。已知A、B觀測高差及其水準(zhǔn)測量距離分別為:求C點(diǎn)的最或然高程及其中誤差。附圖1312見附表,試計(jì)算測角中誤差。三角形編號1三角形編號123456789101112（ )3.21.61。4-250。72.33。 2。518-0.92。72.2參考答案：7。87。0719101112。48.0120。002(m)13. 為真誤差，可得三角形內(nèi)角和的中誤差，則測角中誤差。六、追加練習(xí):1. 對某基線丈量六次，其結(jié)果為：L1246.535m，L2246。548m，L3246。520m，L4246。529m，L5246。550m，L6246.537m。試求:(1)246.5365m（2)每次丈量結(jié)果的中誤差;11。36mm (3）算術(shù)平均值的中誤差和基線相對誤差.4.6mm，1/530002。 觀測 BM1 BM2 25 個(gè)測站，每測站觀測高差中誤差均為3mm，問：（1）兩水準(zhǔn)